素因数分解の方法をいくつか具体的に練習問題を取り上げて説明します。
簡単ですからできるようになります。
素因数分解とは、ある数を素数の積に分解することです。
素因数分解は、『無理数』で平方根を求めるときに何度も使います。
2次方程式の問題でも使いますので、必ずできるように練習しておきましょう。


素因数分解とは?

例えば、20を素因数分解(素数の積に)してみると、
 \( 20=2\times 2\times 5\)
なので
 \( 20=\color{red}{ 2^2\times 5}\)
とすることです。


 20=4\times 5
ですが、4は素数ではないのでこれは素因数分解とはいいません。

素因数分解の方法は簡単で、
割り算を縦に進めていきます。

素因数分解の方法

先ず20を割り切れるできるだけ小さい数を探します。

2で割り切れるので2で割ると、
)20
 10
まだ終わりではありません。
次に10を割り切れる数を探します。
2で割れるので2で割ると、
)20
)10
  5

のようにできるだけ小さい素数から割り算していけば良いのです。
5は素数なのでこれで終わりです。
1は素数ではないので5=5×1とする必要はありません。)

これは「素因数分解」を全く知らないという場合を除いて、
少し練習すれば今までできなかった中学生に出会ったことがありません。

だから練習すれば誰でもできるようになりますので、
後に出てくる「平方根を求めること」と「素因数分解する」ことの違いさえ気をつけておけば大丈夫ですよ。

素因数分解を利用する例題

例題1
 次の数を素因数分解しなさい。
 ①32 ②56 ③90


)32
)16
) 8
) 4
  2

 \(\hspace{7pt}\color{red}{ 32=2^5}\)


)56
)28
)14
  7

 \(\hspace{7pt}\color{red}{ 56=2^3\times 7}\)


)90
)45
)15
  5

 \(\hspace{7pt}\color{red}{ 90=2\times 3^2\times 5}\)

例題2
次の数はどんな自然数の平方になっていますか。
 ①225   ②484   ③576   ④729 

\(\color{red}{\hspace{7pt} 平方数とは \mathrm{A}^² となっている数のこと}\)
です。

例えば、
 \( 25 は 5^2 なので、25は5の平方数\)
ということになります。
ここでは、
 \( \hspace{7pt}\mathrm{A}^2 と素因数分解して \mathrm{A} を答えれば良いことになります。\)

 \(\hspace{7pt}x^2=4 となる x は \pm 2 ですが、\\
 どのような\color{red}{ 自然数}の平方になっているか?\)
なので正の数(自然数)だけを答えれば良いのですよ。

①225を素因数分解すると、
(自分でして下さい。人の計算を自分でやったように勘違いする人が多いです。)

 225=3^2\times 5^2=(3\times 5)^2=15^2

となるので、225は15の平方数です。
だから答えは 15 です。

 \( ②484=22^2 なので答えは 22 です。\)

 \( ③576=24^2 なので答えは 24 です。\)

 \( ④729=27^2 なので答えは 27 です。\)

素因数分解が難しいのは、11,13,17,19 などの素数の平方数です。

あまり大きな素数の平方数を聞かれることは少ないですが、
11から15ぐらいまでの平方数は覚えておくと便利です。

 11^2=121
 12^2=144
 13^2=169
 14^2=196
 15^2=225

例題3
 \( 面積が 324(\mathrm{cm^2}) の正方形の1辺の長さを求めよ。\)

正方形の面積は1辺の平方(2乗)になっています。
例えば、
 \( 1辺の長さが 5\mathrm{cm} の正方形の面積は 5^2=25\mathrm{(cm^2)} です。\)

これから、面積が324ということは、
324を素因数分解して何の平方になっているか
を求めれば良いことになります。

)324
)162
) 81
) 27
) 9
  3

 324=2^2\times 3^4=(2\times 3^2)^2=18^2

となるので、求める答えは 18cm。

ここまでは図形問題の計算過程でも出てくるものですが、
それだけでちょっとした問題になるのが次です。

最小の自然数を求める素因数分解問題

平方根でも同じような問題が出てきます。

例題4
112にできるだけ小さい自然数をかけて、
ある自然数の平方にするにはどのような数をかければよいでしょうか。
またその結果はどんな数の平方になりますか。

ある自然数の平方にするということは、
 \( A^2 にすればいい、\)
ということです。
そこで112を素因数分解してみると
 \( 112=2^\color{red}{4}\times 7\)
となりますが、

 \( 112=2\times 2\times 2\times 2\times 7\\
  =2^2\times 2^2\times \underline{\color{red}{7}}\)

と書くと、
 \(\color{red}{ 7 だけが A^2 となっていない}ことが分かります。\)

このことから112を平方数にしたければ、
7をかけてやればいいことが分かるのです。

他の例で見ると、

 \( 20=2^2\times \underline{5} は「5」\)

 \( 96=2^5\times 3=2^2\times 2^2\times \underline{2\times 3} は「6」\)

をかけてやれば平方数になるということです。
もう少し深く考えてみましょう。

\( 112=2\times 2\times 2\times 2\times 7 に7をかければ確かに、\\
 2^2\times 2^2 \times 7^2=\color{red}{ (2\times 2\times 7)^2} となって平方数になります。\)

しかし、他に平方数になるものはないかと考えると、
例えば
 \( 112 に 7\times 3^2 をかけても\)

 \(\color{blue}{ 112}\times \color{red}{ 7 \times 3^2}\\
= \color{blue}{ 2^2\times 2^2 \times 7}\times \color{red}{ 7\times 3^2}\\
= 2^2\times 2^2\times 7^2\times 3^2\\
= \color{red}{ (2\times 2\times \times 7\times 3)^2}\)

となり平方数となります。

つまり112に
\( 7\times A^2 という数をかけると\)
いつでも平方数になるということです。

そこで、問題の『できるだけ小さい数をかけて』というのが効いてくるんです。

できるだけ小さい数は、自然数で考えているので、
 \( 7\times A^2 の \color{red}{ A 中に 1 を入れたもの}\)
となります。

つまり、できるだけ小さい自然数は 7 ということになるのです。

そしてその平方数は112×7=784 です。

両方答えです。
忘れないように問題で何を答えるかは確認しましょう。

ちょっとした応用問題で
「小さい方から3つ答えよ。」
という問題に出会っても慌てずに済むようにしておくとここは十分です。

⇒ 素因数分解と平方数になる条件 練習問題と解説

にたような内容になりますが、少し違って見えるかもしれません。