長方形の辺上の動点を文字を使って表す面積が2次方程式になる問題の解き方です。
時間とともに点が動くとで囲む面積は点の位置によって変わります。
面積が一定の値になるとき2次方程式になる場合が多いですが、1次方程式の場合もあります。
方法は同じなので2次方程式の問題が解ければ1次方程式の場合は簡単に思えるようになりますよ。

長方形の辺上の点(辺の長さ)を文字を使って表す

練習問題を解く前に確認しておきますが、これができていないから図形が苦手という人が多いのです。
ここは2次方程式の説明ですが、図形が関係している問題にはすべて共通していることなので忘れないでいてほしいところです。

「長方形」や「三角形形」や「平行四辺形」などの用語は図形を表す用語です。
図を書いて考えるようにしましょう。
「問題に図は書いてある」と思う人もいるでしょうが、違います。

確かに高校入試までは書いてあることが多いです。
(大学入試では「わざと」といって良いくらいありません。)
しかし、
図が書いてあるから終わりではないのです。

問題文中に書いてある条件も書きこんで初めて図を書いた、ということになるのでそこを間違えないでください。
問題についている図は「下書き」ですよ。

図の中に書き込めば面積を文字を使って表すのは簡単なことです。
文字式の扱い方さえ知っていれば小学生にでもできます。

それを中学生や高校生ができないというのは、
「図形が苦手」とかじゃなく、解く気がない、ということになります。

解く気はあるのは知っていますが、学校では教えてくれなかったのでしょう?
でも、今知ったんだから解く気になりましょう。

簡単です。図を書くだけなんだから。

最初にやることは、問題の条件に合うように長方形上の点や辺の長さを文字を使って表すことです。

長方形の辺上の動点で表す面積が2次方程式になる問題

問題を見ながら進めた方がわかりやすいですね。

問題3
縦 AB が\(\,6\,\mathrm{cm}\),横 AD が\(\,18\,\mathrm{cm}\)の長方形 ABCD がある。
点 P は,辺 AB 上を毎秒\(\,1\,\mathrm{cm}\)の速さで A から B まで動き,
点 Q は,辺 BC 上を毎秒\(\,3\,\mathrm{cm}\)の速さで B から C まで動く。
点 P,Q が同時に出発するとき,\(\triangle\) PBQ の面積が \(12\,\mathrm{cm^2}\) になるのは何秒後か求めよ。

わざと問題に長方形を書きませんでした。笑
これは高校でも通用するように今から自分でやっておけば良いんです。
私の生徒は小学生でもやっていますよ。

理由はどうでも良いですし、やらない人はやらなくても良いんです。
ただ、やっている人は高校でも定期テスト程度あれば数学は満点が基準になっていますよ。

AB が縦と説明を入れてるのでまずは長方形を書きます。
中学生は定規が使えますが、必要ありませんよ。
長さがだいたい合っているように書くとイメージしやすいですが、長方形とわかる程度でかまいません。

条件は,

 \(\mathrm{AB=6\,,\,AD=18\,,\,P\,は\,AB\,上\,,\,Q\,は\,BC\,上の点}\)
 \(\mathrm{P\,の速さは\,1\,cm/s\,,\,Q\,の速さは\,3\,cm/s}\)

考えるのは文字を何にするかです。笑
方程式は\(\,x\,\)で解き慣れているので\(\,x\,\)を使いましょう。

\(\,x\,\)秒の長さは、\((速さ)\times (時間)\)なので
 \(\mathrm{AP}=1\,(\mathrm{cm/s})\times x\,(\mathrm{s})\,=\,x\,(\mathrm{cm})\)
 \(\mathrm{AQ}=3\,(\mathrm{cm/s})\times x\,(\mathrm{s})\,=\,3x\,(\mathrm{cm})\)
 
これを書き込めばほとんど終わりです。

忘れてはいけない2次方程式の文章題のポイント

文章問題とか、途中に計算が割とある問題では何を求めるのかを忘れがちです。
ここでは三角形の面積が \(12\,\mathrm{cm^2}\) のなるときの時間(秒数)です。
この時間を\(\,x\,\)とおいているので、面積を\(\,x\,\)で表して方程式を解きます。

 \(\color{red}{\displaystyle (三角形の面積)=\frac{1}{2}\times (底辺)\times (高さ)}\)

なので上の図ではまだ条件が足りていません。
辺 AP は \(x\) で表しましたが面積に必要なのは BP です。
 \(\mathrm{AP+BP=AB}\) なので \(x+\mathrm{BP}=6\)
これから
 \(\mathrm{BP}=6-x\)

この残りの長さを表すことがポイントですが、図を書いていれば簡単です。

これで三角形の面積が表せます。
底辺を \(3x\)、高さを \(6-x\) とすると \(\triangle \mathrm{BPQ}\) 面積は

 \(\displaystyle \triangle \mathrm{BPQ}=\frac{1}{2}\times 3x\times (6-x)\)

これが12となるときなので方程式は

 \(\displaystyle \frac{1}{2}\times 3x\times (6-x)=12\)

これを解いて、

 \(\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{2}\times 3x\times (6-x)&=&12\\
3x(6-x)&=&12\times 12\\
18x-3x^2&=&24\\
-3x^2+18x-24&=&0\\
3x^2-18x+24&=&0\\
x^2-6x+8&=&0\\
(x-2)(x-4)&=&0
\end{eqnarray}\)

これから \(x=2\,,\,4\) と出てきます。
文章題では不適な解がある場合が多いのですが、ここでは両方解となります。
図で確認するとすぐにわかるので自分でやってみてください。

 \(x=2\) のとき、\(\mathrm{AP}=2\) なので \(\mathrm{BP}=6-2=4\) が高さ、
底辺の長さは \(\mathrm{BQ}=3\times 2=6\) なので面積は
 \(\displaystyle \frac{1}{2}\times 4\times 6=12\)

 \(x=4\) のとき、\(\mathrm{AP}=4\) なので \(\mathrm{BP}=6-4=2\) が高さ、
底辺の長さは \(\mathrm{BQ}=3\times 4=12\) なので面積は
 \(\displaystyle \frac{1}{2}\times 2\times 12=12\)

どちらも問題の条件を満たしています。

(答え)2秒後と4秒後

2次方程式の文章題で気をつけなければならないのは不適な解を省くことです。
この問題は立式した2次方程式を解くと両方が適した解になりました。
しかし、不適な解がある場合が多いので図で確認すると良いですよ。

例えば解が \(x=8\) なんて出てきたら P は AB 上にないので不適です。

この問題でもそうでしたが、文章問題の2次方程式は因数分解できることがほとんどなので、解くときは解の公式をできるだけさけて、因数分解できるかどうかの確認をしてから解を求めにいく方がはやいですよ。

⇒ 因数分解を利用して2次方程式を解く問題と方法(中3)

次は簡単な関数と2次方程式との融合問題を見ておきましょう。

⇒ 座標上の三角形,四角形の面積を2次方程式で求める文章問題(中学)

関数というよりは文章題に近いものですので手順も簡単です。