京都府公立高校入試2018(平成30年度)前期日程で行われた数学の問題と解説です。
解答だけはなく解説を入れています。
ここでは大問1の(9)番までの解説ですが小問集合なので確実に取っておきたい問題です。
ただ、小問集合とはいっても計算を効率よくしないと時間がかかる数学らしい問題が並んでいます。

大問1は小問集合ですが、計算方法の違いでかかる時間がかなり違ってくるだろうと思われます。
普段から効率的な計算が身についている『覚え太郎』会員にはかなり有利な問題ですのでここは時間のかせぎどころです。
説明は一般的にしますが、いつも通り素早く解いて行ってください。

問題は京都府公式サイトにもあります。

⇒ 2018京都府立高校入試前期数学問題

正負の数と文字式の計算

(1)は普通にある正負の数の加減乗除です。
公立入試としては一つ計算過程が多いですが、計算順序さえ間違えなければほぼ正答率は100%でしょう。

加減(足し算引き算)は乗除(かけ算割り算)の後です。

 \(-2^2-8\color{red}{\div (-5)}\\
\displaystyle =-4-\frac{8}{\color{red}{-5}}\\
\displaystyle =-4+\frac{8}{5}\\
\displaystyle =\frac{-4\times 5+8}{5}\\
\displaystyle =\frac{-20+8}{5}\\
\displaystyle =\frac{-12}{5}\)

2行目は省略しても良かったのですが、負の数の扱いが苦手な人もいるので一応書いておきました。
細かいことをいうと、\(\,8\,\)の前の\(\,-\,\)は引き算を表す演算を表していますが、\(\,(-5)\,\)の\(\,-\,\)は符号のマイナスです。
計算は\(\,-8\,\)の前の\(\,-(引き算)\,\)で一度途切れます。

 \(-2\times 2-8\div (-5)\\
\displaystyle =-2\times 2-8\times \left(-\frac{1}{5}\right)\)

と同じです。

\(\,-2^2\,\)と\(\,(-2)^2\,\)は違いますので間違えないようにしましょう。
 \(\,-2^2=-2\times 2=-4\,\)
 \(\,(-2)^2=(-2)\times (-2)=4\)

\(\color{magenta}{\fbox{会員確認ポイント}}\)

 ・割り算の直後は分母に回す
 ・分数計算では分母は一つにする

徹底するとすべてが同じ計算に見えてきます。

答えのマイナス符号は分子か、分数の前に置くようにしましょう。
計算途中で分母におくのはかまいませんが答えでは分数の分母に符号のマイナスはつけません。

 (答え)\(\displaystyle \frac{-12}{5} または -\frac{12}{5}\)

京都府でも符号の位置については注意書きに書いていませんが、全体をマイナスとする符号は分子か分数全体の前です。

(2)文字式のかけ算割り算です。

これはかけ算と割り算だけなので計算は途切れません。
計算方法は(1)と同じなので見ればすぐにわかるでしょう。

 \(\displaystyle 4a^2b\div \left(-\frac{2}{5}ab\right)\times 7b^2\\
\displaystyle =-\frac{4a^2b\times 5\times 7b^2}{\color{red}{2ab}}\\
=-2a\times 5\times 7b^2\\
=-70ab^2\)

全体はマイナスになるので\(\,-\,\)を前に出せば後は文字式だけに集中します。

 \(\displaystyle -\frac{\color{red}{2}}{5}\color{red}{ab}=-\frac{\color{red}{2ab}}{5}\)

なので、割り算部分で逆数のかけ算にするときは\(\,2ab\,\)が分母に回ります。

 \(\displaystyle 4a^2b\div \left(-\frac{2}{5}ab\right)\times 7b^2\\
\displaystyle =4a^2b\div \left(-\frac{\color{red}{2ab}}{5}\right)\times 7b^2\\
\displaystyle =4a^2b\color{red}{\times} \left(-\frac{5}{\color{red}{2ab}}\right)\times 7b^2\\
\displaystyle =-\frac{4a^2b\times 5\times 7b^2}{\color{red}{2ab}}\\
=-2a\times 5\times 7b^2\\
=-70ab^2\)

三つの文字式のかけ算割り算で大変そうに見えますが、
五つでも六つでも文字式の計算の仕方は同じです。
『約分の効用』を見直しておいてください。

 \(\color{magenta}{\fbox{会員確認ポイント}}\)

 ・割り算の \(\div\) の直後は分母に回る

(3)展開と整理だけなので簡単ですが、ミスをしやすい点が一つあります。
(会員にいっているのではありません。)

 \((2x-1)^2-(x+3)(x-6)\\
\color{green}{=(2x-1)(2x-1)-(x+3)(x-6)}\\
\color{green}{=(4x^2-2x-2x+1)-(x+3)(x-6)}\\
=(4x^2-4x+1)-(x^2-3x-18)\\
=4x^2-4x+1-x^2+3x+18\\
=3x^2-x+19\)

2行目、3行目は計算力によって省略しても良いですけど、
他の行はミスが起こりやすい変化なので暗算しない方が良いですよ。
ここは会員も簡単だからと油断しないようにしましょう。

正多角形の内角の求め方

(4)最初、『正十三角形』と読み違え、見直しで気がつきました。

『正三十角形』の一つの内角の大きさです。

これは簡単で、多角形の外角の和が常に\(\,360°\,\)であることを利用します。

正三十角形には外角が30個あります。
正多角形の外角はすべて同じなので一つの外角は
 \(\displaystyle \frac{360^{\circ}}{30}=12^{\circ}\)

よって一つの内角は
 \(180°-12°=\underline{168°}\)

これは内角の和からも出せますが出題者の方はおそらく、
 外角から攻めて下さい、
といっています。笑

 \(\,n\,\)角形の内角の和は、\(\,180(n-2)^{\circ}\,\)なので
正三十角形の内角の和は
 \(180\times (30-2)=180\times 28=5040(度)\)

これは30個の内角の和なので内角の一つは
 \(\displaystyle 5040\div 30=\frac{5040}{30}=168(度)\)

回答欄に「 \(^{\circ}\) 」が書いてるので、単位の書き方を「度」か「 \(^{\circ}\) 」を迷わず、
「 \(\,168\,\) 」を書き込めば良いですね。笑

いずれにしてもたいした計算ではないので思いついた方で突っ走って良いです。
ただ、結果までの時間に差はでます。

連立方程式と代入、求値問題のポイント

(5)普通の連立方程式です。

 \( \begin{cases}
\hspace{7pt} 5x+4y=9\\ \\
\hspace{7pt} 2x+3y=-2
\end{cases}\)

連立方程式を解くときの基本は一文字消去です。

これは迷わず係数合わせて加減法ですね。
どちらの文字から消去してもかまいません。

ここでは\(\,y\,\)から消去します。
\(\,y\,\)の係数をそろえるために
 上の方程式の両辺を3倍
 下の方程式の両辺を4倍
します。

 \( \begin{cases}
\hspace{7pt} 15x+12y=27\\ \\
\hspace{12pt} 8x+12y=-8
\end{cases}\)

上の方程式から下の方程式を辺々ひきます。

 \(\hspace{15pt}15x+12y=27\\
\underline{-)\hspace{8pt}8x+12y=-8}\\
\hspace{20pt}7x\hspace{26pt}=35\\
\hspace{51pt}x=5\)

この後は上のどの方程式に入れても\(\,y\,\)が出てきます。
 \(\,5x+4y=9\,\)
に\(\,x=5\,\)を代入しましょう。

 \(\begin{eqnarray}
5\times (5)+4y&=&9\\
25+4y&=&9\\
4y&=&9-25\\
4y&=&-16\\
y&=&-4
\end{eqnarray}\)

よって \(\underline{x=5\,,\,y=-4}\)

(6) \(x=\sqrt{6}+2\,,\,y=\sqrt{6}-2\) のような形を見たら、
基本対称式を利用したくなりますがここではちょっと違っています。

ただ、条件式をいきなり代入するなんていう算数するくらいなら会員はこの問題捨てて下さい。
数学は計算できれば良いのではなく、いかに工夫して計算を楽にするかです。

まあ、入試のときは一点でも多く欲しいでしょうからあがいて算数していいですけど。笑

与式(求値式)から変形します。

 \(\hspace{10pt}x^2y-2xy\\
=xy(x-2)\)

ここで
 \(\begin{eqnarray}
\color{red}{xy}&=&(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)\\
&=&6-4\\
&=&\color{red}{2}
\end{eqnarray}\)

また
 \(\begin{eqnarray}
\color{magenta}{x-2}&=&(\sqrt{6}+2)-2\\
&=&\color{magenta}{\sqrt{6}}
\end{eqnarray}\)

よって
 \(\hspace{10pt}x^2y-2xy\\
=\color{red}{xy}(\color{magenta}{x-2})\\
=\color{red}{2}\times \color{magenta}{\sqrt{6}}=\underline{2\sqrt{6}}\)

問題に与えられた
 \(x=\sqrt{6}+2\,,\,y=\sqrt{6}-2\) のような式を条件式
 値を求める\(\,x^2y-2xy\,\)のような式を与式または求値式
といいます。
高校に行って使うので覚えておくと良いです。 

非常にやりたくないのですが、いきなり代入して求めてみるとどうなるかやってみます。

 \(x^2y-2xy\\
=(\sqrt{6}+2)^2(\sqrt{6}-2)-2(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)\\
=(6+4\sqrt{6}+4)(\sqrt{6}-2)-2(6-4)\\
=(10+4\sqrt{6})(\sqrt{6}-2)-2\times 2\\
=10\sqrt{6}-20+4\sqrt{6}\times \sqrt{6}-8\sqrt{6}-4\\
=10\sqrt{6}-20+4\times 6-8\sqrt{6}-4\\
=2\sqrt{6}-20+24-4\\
=2\sqrt{6}
\)

この程度なら根性見せても良いですかね。笑
ただ、計算ミスは増えることになるでしょう。

2次方程式と1次関数の変化の割合

(7)2次方程式を解くときは最初に試すのは因数分解です。

文章題では2次方程式の解となるものが人数であったり、個数であったりするので整数が解になることが多いので因数分解できることが多いからです。

ただし、この問題のように単に2次方程式を解く場合は解の公式を使う場合も多くなります。
関数で2次方程式を解くのに解の公式を使う場合もありますが、割とレベルの高い私立入試に多いですね。
計算力も関数の中で試されているんですね。

 \(3x^2-2x-5=0\)

このように\(\,x^2\,\)の係数が\(\,1\,\)ではなくて、共通因数もないときは解の公式になります。
ただ、この2次方程式は因数分解できないわけではありません。

 \(3x^2-2x-5=0\\
\Leftrightarrow (3x-5)(x+1)=0\)

と因数分解することもできるのですが、現行の中学生にはできません。
高校でやるタスキガケ因数分解になります。
(会員はやって良いですよ。)

ですのでここでは解の公式を使いましょう。

 \(\large{\color{magenta}{\fbox{解の公式}}}\)

 2次方程式 \(a\,x^2+b\,x+c=0\) の解は
  \(\displaystyle \color{red}{x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}}\)
です。
その場で導くのは時間がかかるので、必ず覚えておきましょう。

⇒ 中学3年 2次方程式の解の公式の求め方と文章題の解き方

『2次方程式を解く』ことと『2次方程式の解を求める』ことは同じことです。

 \(\color{red}{3}x^2\color{blue}{-2}x\color{magenta}{-5}=0\)

に解の公式を使って解を求めましょう。

 解の公式 \(\displaystyle x=\frac{-\color{blue}{b}\pm \sqrt{\color{blue}{b}^2-4\,\color{red}{a}\,\color{magenta}{c}}}{2\color{red}{a}}\)

に代入していくだけです。
 \(\color{red}{a=+3}\,,\,\color{blue}{b=-2}\,,\,\color{magenta}{c=-5}\)
を代入すると
 \(\begin{eqnarray}
\displaystyle x&=&\frac{-(\color{blue}{-2})\pm \sqrt{(\color{blue}{-2})^2-4(\color{red}{3})(\color{magenta}{-5})}}{2(\color{red}{3})}\\
\displaystyle &=&\frac{2\pm \sqrt{4+60}}{6}\\
\displaystyle &=&\frac{2\pm \sqrt{64}}{6}\\
\displaystyle &=&\frac{2\pm 8}{6}\\
\displaystyle &=&\frac{2+8}{6}\,,\,\frac{2-8}{6}\\
\displaystyle &=&\frac{10}{6}\,,\,\frac{-6}{6}\\
\displaystyle &=&\frac{5}{3}\,,\,-1
\end{eqnarray}\)

この計算でミスが一番多いのは1行目から2行目に移るときです。
1行目ルートの中を暗算する人はミスが多いので、1行目は書くようにすると良いですよ。

ところでこの解の公式は\(\,x\,\)の\(\,1\,\)次の係数が偶数のときは、少し計算が楽になる公式があります。

 \(ax^2+2b’x+c=0\)
のときの解は
 \(\displaystyle x=\frac{-b’\pm \sqrt{b’\,^2-ac}}{a}\)

導き方は解の公式のbに2b’を入れるだけなので簡単です。
簡単ですが覚えておかないと時間の短縮にはなりません。笑

これを使うと
 \(\,3x^2-2x-5=0\,\)
の解は
 \(\begin{eqnarray}
\displaystyle x&=&\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-(3)(-5)}}{3}\\
\displaystyle &=&\frac{1\pm \sqrt{1+15}}{3}\\
\displaystyle &=&\frac{1\pm \sqrt{16}}{3}\\
\displaystyle &=&\frac{1\pm 4}{3}\\
\displaystyle &=&\frac{5}{3}\,,\,\frac{-3}{3}\\
\displaystyle &=&\frac{5}{3}\,,\,-1
\end{eqnarray}\)

これ、高校生でも覚えようとしない人がいます。
解の公式でやれば解が求まるからでしょうけど、進歩なく計算時間ばかりかかりますよ。
センター試験や共通テストで時間が足りなくなる典型的な「できるからいい」で、
成績の伸びないもったいない受験生タイプです。

この程度の計算だからあまり差を感じないかもされないけど、
文字を含んだ2次方程式を解いてみると差がわかります。

覚えるのに一日3分、三日で覚えることはできるけど、
覚えなければその先ずっと計算時間をムダにするのだからどれだけの差かわかりますよね。
あ、ここは高校受験生向けでした。

消すのももったいないので忘れてください。w

今は普通の解の公式で良いですよ。

高校に進学してから、一度覚えればずっと楽できるのに、覚えることをめんどくさがってずっと無駄な時間を費やすようなことはやめましょう。

(8)変化の割合の問題です。

変化の割合はすべての関数で使いますが、
1次関数の傾きは変化の割合に一致します。

 \(\,\displaystyle\color{red}{ 傾き=変化の割合=\frac{ y\,の増加量 }{ x\,の増加量 }}\,\)

問題では「傾き」つまり「変化の割合」と「\(\,x\,\)の増加量」とが与えられています。

傾きは \(\displaystyle y=\frac{4}{3}x-7\) から \(\displaystyle \frac{4}{3}\)

 \(\,x\,\)の増加量は\(\,6\,\)(問題に書いてある)

だから
 \(\displaystyle \frac{4}{3}=\frac{ \color{red}{y\,の増加量} }{6}\)

これから
 \(\displaystyle \,\color{red}{y\,の増加量}=\frac{4}{3}\times 6=\underline{8}\)

意外と「変化の割合」を忘れている人が多いです。
復習しておきましょう。

1次関数の場合は、傾き=変化の割合、になります。 

中央値と平均値

(9)資料の活用の問題です。

資料の整理では用語の意味を忘れたら終わりです。
その場で思い出せなければ、考えても出てこない「意味」なので答えにはたどり着きません。

問題に「とった金魚の数」とありますが、私はこの数の意味は読んでいませんでした。
データとしての数字が並べてあることには変わりがないので問題はありません。

問題を整理すると
 \(2\,,\,2\,,\,5\,,\,\mathrm{X}\,,\,13\,,\,15\)
の6つの数字が小さい順番に並べてあって、

 \(\color{black}{\fbox{平均値と中央値が等しい}}\)

条件はこれだけです。

 \(\displaystyle \color{red}{平均値=\frac{ 総得点 }{ 総人数 }}\)

これは忘れていないでしょう。

データを使って関係を式にすると
 \(\displaystyle \color{magenta}{平均値}=\frac{2+2+5+X+13+15}{6}\)

中央値ですが、
データを小さい順に並べて、ちょうど真ん中の順番に来るデータの数値のことです。

数字を並べて真ん中に並ぶ数字を探します。
この問題では小さい順に並べてくれているので自分で並べなくて良いですね。

中央に来る数字ですが、奇数の場合は分かり易いです。
例えば、
 \(\,1,2,3,4,\color{red}{5},6,7,8,9\,\)
と9個のデータの真ん中は、左右に\(\,4\,\)個置いて、\(\,5\,\)が中央にあります。
このデータの中央値は\(\,5\,\)です。

問題は偶数の場合です。
例えば
 \(\,1,2,3,\color{red}{4,5},6,7,8\,\)
偶数の場合は中央に来る数字が二つになります。
この場合は中央二つの平均値が中央値になります。
 \(\displaystyle \,中央値=\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}=4.5\,\)
(資料では小数を使うことが多いです。)

この問題の数字をもう一度見てみましょう。
 \(2\,,\,2\,,\,\color{red}{5\,,\,\mathrm{X}}\,,\,13\,,\,15\)

中央の二つの数字 \(\,\color{red}{5\,,\,\mathrm{X}}\,\) の平均が中央値になります。

 \(\displaystyle \,\color{magenta}{中央値}=\frac{5+\mathrm{X}}{2}\,\)

関係式(問題の条件)
 \(\color{black}{\fbox{平均値と中央値が等しい}}\)
から

 \(\displaystyle \frac{2+2+5+\mathrm{X}+13+15}{6}=\frac{5+\mathrm{X}}{2}\)

この処理は分母を最初になくしたいですが、整数の足し算が分子に多いので先に足し算を済ませてからでも良いでしょう。

 \(\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{2+2+5+X+13+15}{6}&=&\frac{5+\mathrm{X}}{2}\\
\displaystyle \frac{37+\mathrm{X}}{6}&=&\frac{5+\mathrm{X}}{2}\\
\color{red}{(両辺6倍した)}\hspace{10pt}37+\mathrm{X}&=&3(5+\mathrm{X})\\
37+\mathrm{X}&=&15+3\mathrm{X}\\
\mathrm{X}-3\mathrm{X}&=&15-37\\
-2\mathrm{X}&=&-22\\
2\mathrm{X}&=&22\\
\mathrm{X}&=&\underline{11}
\end{eqnarray}\)

答えは出ました。\(\,\mathrm{X}=11\,\)
確認してみましょう。
  \(2\,,\,2\,,\,5\,,\,\color{red}{11}\,,\,13\,,\,15\)
のデータにより
 \(\displaystyle 平均値=\frac{2+2+5+11+13+15}{6}=\frac{48}{6}=8\)

 \(\displaystyle 中央値=\frac{5+11}{2}=\frac{16}{2}=8\)

確かに一致します。

資料の整理の問題は難しいからミスするのではありません。
用語を忘れているという初歩的なミスです。

覚えているつもりでも忘れることもあります。
入試の一日前には『覚え太郎』に目を通すようにしましょう。
長くても、5分もかからないでしょう?

これで大問1が終わりです。

大問2は関数の基本の確認問題です。

⇒ 全国の公立高校入試 数学過去問の解答解説(順次公開)

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