因数分解練習問題と解説その1

普通の中学校の進度でいえば一学期の山場と言える因数分解ですが、2次方程式でも重要になりますのでこの式の計算単元で身につけておきましょう。練習問題の中で使い分けを出来るように解説してみましたので参考にして下さい。


さて、因数分解です。
ここは大きな単元のひとつですよ。後にやる2次方程式では、因数分解ができないと答えが出せないものが多くあります。文章題が苦手、因数分解もできない、となれば、数学は捨てた方がマシです。

 「因数分解せよ。」と問題にあれば必ず因数分解できる んだから、高校の因数分解でも手順さえ覚えてしまえば楽勝です。中学生の因数分解なんて、幼稚園生でもできる、ってそれは言い過ぎだけど、それくらい簡単なんです。公式さえ覚えて、ちょっと工夫するコツさえつかめばね。

今回取り上げている問題は基本的なものしかないけど、難しい因数分解でも必ずできるように問題はつくられているから、「因数分解は得意」っていえるようになると良いですね。

因数分解の公式は、展開公式の逆だから、展開公式を覚えたら、因数分解はできるし、因数分解の公式を覚えたら展開はできる、はず。

公式は4つ(3つともいえる)しか無いから覚えて。まあ、実際の問題を解きながら、因数分解の公式と手順を覚えましょう。
早速問題に入りましょう。(って前書きが長すぎたかな。)

1.次の式を因数分解せよ。

(1) 16x^2+24xy

因数分解の手順①は『共通因数を抜き出す』ことです。共通因数はすべての項に存在している因数のことです。
ここでは、係数の 8x が共通因数です。

16x^2+24xy
=8x(2x+3y)

共通因数を抜き出した後は残りの因数を( )で結べば因数分解のできあがりです。

(2) x^2-10x+24

公式 x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) を使うのですが、どう使うかがコツになります。

公式に合うように、a , b を決めるのですが、先ずは定数項に着目します。
問題の定数項は+24です。

a\times b(定数項) が+24ということは、かけて24になる数を探せば良いのです。

符号が+なので、a , b がともに+、か、ともに-、です。
かけて+にするにはそれしかありません。

そこで、いろいろと実験します。
かけて24になる二つの数は、
1\times 242\times 123\times84\times 6
の四つです。
(24×1 は 1×24 と同じことなので逆は考えなくて良い。)

この作業は慣れるまで実際にノートの横に自分で書き出す練習を続けた方が良いです。
高校生になって参考書や問題集の解答見て「わからない」といっている人は、
他人の計算(解答)をみて自分でやった気になっている人が多いからです。
途中の作業を自分でしてみないと、見えてこないことがこれから多くなりますので気をつけてください。

実際には、
1\times 24  24\times 1
2\times 12  12\times 2
3\times 8   8\times 3
4\times 6   6\times 4
といった感じだけど、右の列は左を逆にしたものだから必要ないので左半分で折り返した時点で終了です。かける数が、かけられる数より小さくなった時点で終わり。

ここで、x の1次の項の係数をみると-10なので、
両方に-をつけて足して-10になる組を選べば良いだけ。

この問題では4と6の両方に-をつければ、足して-10になるので、

x^2-10x+24
=(x-4)(x-6)

かけて24、足して-10になる二つの数を探すのです。

この方法ができれば、
x^2-a^2=(x+a)(x-a)
以外の公式は実はいらないんです。後で示してみましょう。

(3) a^2+4a+-32

これは(2)と同じです。
かけて-32、足して+4、になる数の組を探せばいいのです。

先ずは-(マイナス)は考えずに32になるかけ算の組を探します。
すると、4\times 8=32 で、
4の方に-をつければ、8-4=+4になるので、8と-4だと分かります。
(慣れるまでは組み合わせを自分でいろいろ試さないとすぐには見つからないよ。)

a^2+4a-32
=(a+8)(a-4)

長くなると頭の中がごちゃごちゃしてくるので、とりあえずここで一度切りますね。
次の
因数分解練習問題と解説その2
に行くまでにここまでをしっかり出来るように同じような問題で良いので練習しておいてください。

2つの数の組み合わせを書き出すかどうかで大きく差がでますよ。




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