連立方程式の解き方の基本となる加減法の問題と説明です。
方程式の解を求めることを方程式を解くといいますが、連立方程式の場合文字(未知数)が2つ以上あります。
ここでは文字を2つまでとして解き方を解説して行きます。
文字が3つ以上でも方針は変わりませんので計算の仕方や解き方の流れを覚えてしまいましょう。

連立方程式を解くときのポイント

連立方程式では最初に計算問題があり、文章題へと進みます。

文章題のコツは1年の方程式でも3年の2次方程式でも同じですので、
先ずは連立方程式の解き方を覚えましょう。

1年生のときに方程式というのを解いたと思います。
 \(2x+5=11\) の \(x\) を求めるような問題です。

十分理解できていると思いますが文字は一つでした。

連立方程式は、
文字が2つになって、方程式が2つが並んだものになります。

1次方程式よりは少しややこしくなりますが基本的には同じ要領で解けます。

連立方程式を解くときのポイントは、
 「一文字消去
です。
これは少し練習すればすぐに理解できるでしょう。

ひとつ文字を消して、ひとつの文字の方程式にする
というのを方針にすればすべての連立方程式が解けるようになります。

連立方程式の便利さ

連立方程式が解けるようになると、
文章題を解くとき、「分からないもの」、「求めたいもの」を、
2つまで文字でおけるようになるので、
解答できる問題の幅が広くなります。

小学生のときに聞いたことがあるかもしれませんが、
『つるかめ算』というものを方程式で解くことと同じですよ。

では、実際に解いていきましょう。
問題を先に書いておきます。

問題1
次の連立方程式を解け。

(1)\( \begin{cases} x+y=7 \\ \\ x-y=3 \end{cases}\)

(2)\( \begin{cases} x+4y=-2 \\ \\ 2x+3y=1 \end{cases}\)

加減法とは?

(1)から解いて行きましょう。

(1)\( \begin{cases} x+y=7 \\ \\ x-y=3 \end{cases}\)

連立方程式を解くときの基本は、「一文字消去」です。

 \( \begin{cases} x+y=7 \\ x-y=3\end{cases}\)

上の式と下の式を両辺をそれぞれ足すと \( y\) が消えます。
このように \(y\) という一文字消すことを \( y\) を消去すると言います。

また、
2つの方程式を足したり、引いたりして文字を消去する
解き方を「加減法」といいいます。

両辺をそれぞれ加えると
 \( 2x=10\)
 となり、
 \( x=5\)
が先に求まりますのでこれを連立方程式のどちらかに戻します。
どちらでもかまいません。

上の式に戻す(代入する)と、

 \( 5+y=7\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} y=2\)

ここでは下に書いていますが、代入する式の右横で計算すると確認しやすいです。

これで \( x\,,\,y\) ともに求まりました。

これが解です。
これで終わるのではなく答えをしっかりと書きましょう。

 \(\color{red}{ x=5 , y=2}\)
または
 \(\color{red}{(x\,,y\,)=(5\,,\,2)}\)
と書きます。

答えの書き方は解答用紙に指定がある場合もありますので合わせて下さい。

次に進みます。

少し手を加える加減法

(2)\( \begin{cases} x+4y=-2 \\ \\ 2x+3y=1 \end{cases}\)

一文字消去しますが、そのままでは足しても引いても消えません。

どっちを消すか?
どっちでも良いです。

 \( y\) を消そうとすると上も下も何倍かしなければならないので、
ここでは \( x\) を消しましょう。

上の式を2倍すると(両辺を2倍ですよ),\( x\) の係数がそろいます。

 \( \begin{cases} 2x+8y=-4 \\ \\ 2x+3y=1 \end{cases}\)

上の式から下の式を、左辺と右辺の両方をそれぞれ引きます。

 \(\hspace{10pt} 2x+8y=-4\)
 \(\underline{-)\hspace{7pt}2x+3y=1}\)
 \(\hspace{40pt}5y=-5\)
よって
 \( y=-1\)

これをどの式にでもいいから代入します。
一番上の問題の式に代入してみましょうか。

 \( x+4\times (-1)=-2\)
 \( x-4=-2\) 
 \( x=-2+4=2\)

答えは \( x=2\,,\,y=-1\)

基本的にはこの「一文字消去」の繰り返しです。

次はもう少し手間のかかる計算問題を解いてみましょう。

⇒ 連立方程式の問題と解き方(加減法と代入法の選び方)

ここまででも文章題は解けるようになります。