ヘンリーの法則にもとづく気体の溶解度に関する計算問題の解き方

気体の溶解度の計算問題は、ヘンリーの法則にもとづく計算となります。
ここではヘンリーの法則の確認と、計算問題の解き方を例題を通して見ておきましょう。
モル比と質量比と圧力比による公式化もできますが、できるだけ一般的な比例式で説明しておきます。

ヘンリーの法則の確認

ヘンリーの法則は溶解度があまり大きくない気体の、液体に対する溶解度と圧力の関係について成り立つ法則です。
２つの表現方法があります。

①「温度が一定のとき、一定量の液体に溶ける気体の物質量や質量は圧力に比例する。」
②「温度が一定のとき、一定量の液体に溶ける気体の体積は圧力に無関係に一定である。」

どちらも同じことをいっているのですが、②は分かりにくいかもしれませんので簡単に説明しておくと、
圧力が２倍になると体積は半分になり、
「同じ体積の気体が溶けることは、２倍の物質量の気体が溶ける」
ということで、①と同じことになるのです。

ヘンリーの法則についての説明
⇒　ヘンリーの法則気体の溶解度と混合気体の溶解度

ここでは法則を利用した計算問題を解いて行きます。

溶解度が質量で表されている問題

例題１

0 ℃、\(\mathrm {1.0\times 10^5 Pa}\)　で100g　の水に溶ける窒素は　0.003g　である。
0 ℃、\(\mathrm {0.8\times 10^5 Pa}\)　で100g　の水に溶ける窒素は何gか求めよ。

温度一定なので水に溶ける窒素の量は圧力に比例します。

求める窒素の量を　\(x\)　とすると

　\( 1.0\times 10^5 :0.8\times 10^5 =0.003: x\)

または

　\( \displaystyle \frac{x}{0.003}=\displaystyle \frac{0.8\times 10^5}{1.0\times 10^5} \)

どちらでもかまいません。

温度が一定のときヘンリーの法則によって
物質量（または質量）と圧力が比例することから

　\(\displaystyle \color{red}{\frac{n’}{n}=\frac{w’}{w}= \mathrm {\frac{P’}{P}}}\)

といった状態ごとの値に対する比例関係が成り立っているので②の方が「そのまま」です。
もちろん比例関係なので①でも良いですよ。

答えを出すだけなら、

　\( x=0.003\times \displaystyle \frac{0.8\times 10^5}{1.0\times 10^5}\\ \\
=0.0024(g)\)

ただし、
記述式の解答上には与えられた計算に必要な数値はすべて示すようにしましょう。
これはまた説明します。

例題２

0 ℃、\(\mathrm {1.0\times 10^5 Pa}\)　で 1L の水に溶ける水素は 0.002 g 溶ける。
0 ℃、\(\mathrm {3.0\times 10^5 Pa}\)　では 100 mL の水に何g溶けるか求めよ

ヘンリーの法則は「同じ水の量」に溶ける気体についてなので、
水の量を同じにして計算する必要があります。

　\(\mathrm {1.0\times 10^5 Pa}\)　で「１L」の水に溶ける水素は　0.002g
なので
　\(\mathrm {1.0\times 10^5 Pa}\)　で「100mL」の水に溶ける水素は

　\( 0.002\times \displaystyle \frac{100}{1000}\)

となります。

　\(\displaystyle \color{red}{\frac{w’}{w}=\frac{P’}{P}}\)

の関係から求める水素の量を　\(x\)　とすると

　\( \displaystyle \frac{x}{0.002\times \displaystyle \frac{100}{1000}}=\displaystyle \frac{3.0\times 10^5}{1.0\times 10^5}\)

これを解いて　 \(x=0.0006\)　(g)

例題３

20℃において純水 1000 mLに対し、
\(\mathrm {1.0\times 10^5 Pa}\)　の酸素は0.0475g溶解し、
\(\mathrm {1.0\times 10^5 Pa}\)　の窒素は0.0201g溶解する。
常圧において20℃の純水に溶けている空気の窒素と酸素のモル比を求めよ。
ただし、\(\mathrm {N=14\,,\,O=16}\)　空気の体積組成は　\(\mathrm {O_2=20 \%\,,\,N_2=80 \%}\)　とする。

混合気体の各成分は、他の成分に無関係で、独自のルールに従っています。
気体の溶解度も例外ではありません。
それぞれの分圧で溶解度は決まっています。
空気の体積組成から
　\(\mathrm {N_2}\)　の分圧は

　\( 1.0\times 10^5\times \displaystyle \frac{80}{100}=0.8\times 10^5 \mathrm {(Pa)}\)

　\(\mathrm {O_2}\)　の分圧は

　\( 1.0\times 10^5\times \displaystyle \frac{20}{100}=0.2\times 10^5 \mathrm {(Pa)}\)

（「常圧」は１気圧と考えて良いです。圧力比は変わらないので何でも同じです。）

溶けている窒素の物質量（モル量）は

　\( \displaystyle \frac{0.0201}{28}\times \displaystyle \frac{0.8\times 10^5}{1.0\times 10^5}\)

酸素の物質量は

　\( \displaystyle \frac{0.0475}{32}\times \displaystyle \frac{0.2\times 10^5}{1.0\times 10^5}\)

これらから溶けている窒素と酸素のモル比は

　\( \mathrm{N_2:O_2}\\ \\
=\displaystyle \frac{0.0201}{28}\times \displaystyle \frac{0.8\times 10^5}{1.0\times 10^5}\,:\,\displaystyle \frac{0.0475}{32}\times \displaystyle \frac{0.2\times 10^5}{1.0\times 10^5}\\ \\
=2:1\)

溶解度が体積で表されている問題

最初に状態方程式を確認しておきます。

例題４

標準状態で二酸化炭素は１Lの水に1.7L溶解する。
標準状態で二酸化炭素の飽和した水１L中の二酸化炭素は何gか求めよ。
　\( \mathrm{C=12\,,\,O=16}\)

状態方程式を使って体積を物質量に換算すれば良いだけです。

　\( PV=nRT\\ \\
\Leftrightarrow \hspace{10pt} n=\displaystyle \frac{w}{M}=\displaystyle \frac{PV}{RT}\)

\(w\)　は質量、\(M\,(\mathrm {CO_2}=44)\)　は分子量です。
\(w\)　を求めたいので

　\( w=M\times \displaystyle \frac{PV}{RT}\\ \\
=44\times \displaystyle \frac{1.0\times 10^5 \times 1.7}{8.3\times 10^3\times 273}\\ \\
≒ 3.3(g)\)

ただ、ここでは「標準状態」なので別の計算もできます。

質量が　\(M\)　（分子量と同じ質量）のとき１モル（22.4L）なので

　\( M:22.4=w:V\)

または

　\( \displaystyle \frac{w}{M}=\displaystyle \frac{V}{22.4}\\ \\
\Leftrightarrow \hspace{10pt} w=M\times \displaystyle \frac{V}{22.4}\)

が成り立ちます。
これに問題の数値を代入しても求まります。

　\( w=M\times \displaystyle \frac{V}{22.4}\\ \\
=44\times \displaystyle \frac{1.7}{22.4} ≒ 3.3(\mathrm{g})\)

この公式が使えるようになるとヘンリーの法則における計算問題は楽になるのですが、比例計算でもかまいません。

例題５

二酸化炭素は標準状態で水１Lに 1.7 L溶解する。
大気中には二酸化炭素が容量で 0.03 %含まれているものとしたとき、
標準状態で水１Lに溶解する二酸化炭素は何mgか求めよ。
　\( \mathrm{C-12\,,\,O=16}\)

二酸化炭素の分圧を先に出してしまえば良いだけの問題です。
二酸化炭素の分圧（　\(P_\mathrm{CO_2}\)　）は

　\( P_\mathrm{CO_2}=1.0\times 10^5\times \displaystyle \frac{0.03}{100} \mathrm{Pa}\\ \\
=3.0\times 10\mathrm{Pa}\)

　\(\mathrm{CO_2}=44\)　,　１気圧　\(1.0\times 10^5 \mathrm{Pa}\)　から
求める二酸化炭素のmg数を　\(x(\mathrm{mg})\)　とすると　\(x\times 10^{-3}(\mathrm{g})\)　なので

　\( \displaystyle \frac{x\times 10^{-3}}{44}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3.0\times 10}{1.0\times 10^5}\times 1.7}{22.4}\)

見やすくすると

　\( \displaystyle \frac{x\times 10^{-3}}{44}=\displaystyle \frac{3.0\times 10^{-4}\times 1.7}{22.4}\\ \\
\Leftrightarrow \hspace{10pt} 22.4\times x \times 10^{-3}=3.0\times 10^{-4}\times 1.7\times 44\\ \\
\Leftrightarrow \hspace{10pt} x=\displaystyle \frac{3.0\times 10^{-1}\times 1.7\times 44}{22.4} ≒ 1.0 \mathrm{(mg)}\)

ややこしく見えますが自分でやって見るとそれほどやっかいな計算ではありませんよ。

次はおまけです。

例題６

二酸化炭素は 20 ℃、圧力　\(1.0\times 10^5(\mathrm{Pa})\)　で100gの水に93mL溶解する。
同じ温度で圧力を　\(3.0\times 10^5(\mathrm{Pa})\)　にしたとき、何mL溶けるか求めよ。

単なる比例でヘンリーの法則そのものですが、
圧力が変わっても溶ける体積は変わらないということを確認しておいてください。

温度は一定なので２つ圧力における状態方程式は

　\(\displaystyle n=\frac{PV}{RT}=k\times PV\)

　\(\displaystyle n’=\frac{P’V’}{RT}=k\times P’V’\)

\(k\)　は同じ定数となるので

　\(\displaystyle \color{red}{\frac{n’}{n}=\frac{P’V’}{PV}}\)

またここで登場する気体は二酸化炭素のみなので、
溶解度を示す　\(\color{red}{V,,\,V’}\)　は同じ数値なので、

　\(\displaystyle \color{red}{\frac{n’}{n}=\frac{P’V’}{PV}=\frac{P’}{P}}\)