pHの求め方（公式の利用と計算問題）とlogの確認

pHの求め方は水素イオン濃度との関係で定義されます。
だから水素イオン濃度が出ていないと求められません。
ここでは水素イオン濃度の求め方の確認と公式を利用しpHを求める計算練習を具体的にしてみましょう。
常用対数のlogの扱いは学校でずれている（習っていない）場合があるので簡単に説明し注意点を加えておきます。

pHの定義

　\(\mathrm{pH}\)（ピーエイチ）は、
水素イオン濃度を　\( \color{red}{[\mathrm{H}^+]}\)　とすると

　\( \mathrm{pH}=-\log_{10}\color{red}{[\mathrm{H}^+]}\)

で求めることになります。

⇒　ｐHの値を求める計算（水素イオン濃度と水酸化物イオン濃度）

つまり水素イオン濃度の常用対数を取って「－」をつければ良いのですが、
強酸や強塩基においては元々のpHの考え方から1(mol/L)より濃度の高い場合は使わないので
　「pHは０～１４の値になる」
ということは覚えておいてください。

化学基礎の段階では

　\([\mathrm{H}^+]=10^{-\color{red}{a}}\)

のとき「　\( \mathrm{pH}=\color{red}{a}\)　」でいいでしょう。

水のイオン積とpHとpOHの関係

水のイオン積は
　「水素イオン濃度と水酸化物イオン濃度の積」
のことで
　\( \large{\color{red}{[\mathrm{H}^+][\mathrm{OH}^-]=10^{-14}}}\)　（25℃）
となります。
これ以外の温度は考えなくて良いです。

⇒　水素イオン濃度と水酸化物イオン濃度の求め方計算例題

水のイオン積の両辺に常用対数を取って「－」をつけると

　\( \mathrm{-\log_{10}{[H^][OH^-]}}=-\log_{10}10^{-14}\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} \mathrm{-\{\log_{10}[H^+]+\log_{10}[OH^-]\}}=14\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} \mathrm{pH+pOH}=14\)

という関係式が成り立ちます。

この関係式は水素イオン濃度からだけではなく、
「水酸化物イオン濃度からも \( \mathrm{pH}\) が求めることができる」
という便利な関係式ですが、後の例題で説明します。

常用対数の取り扱い注意点

対数　\( \log_{a}x\)　の
　\( a\)　を「底（てい）」
　\( x\)　を「真数（しんすう）」
といいます。

定義は「指数関数の逆関数」で

　\( y=a^x \hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} x=\log_a{y}\)

の関係にあるのですが、
ここでは底が１０の常用対数に限っての説明をしておきます。

対数ではいくつか公式があります。
pH計算で使う対数の公式は３つ覚えておけば大丈夫です。

　\( \color{red}{\log_{10}10=1}\)
（底と真数が同じ値なら対数の値は１になる）

　\( \color{red}{\log_{10}{\underline{MN}}=\log_{10}\underline{M}+\log_{10}\underline{N}}\)
（真数の掛け算は対数の足し算になる）

　\( \color{red}{\log_{10}M^{\underline{a}}=\underline{a}\log_{10}M}\)
（真数の指数は係数として前に出る）

つまり、

　\( \mathrm{[H^+][OH^-]=10^{-14}}\)

という水のイオン積から

　\( \mathrm{-\log_{10}{[H^+][OH^-]}=-\log_{10}10^{-14}}\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} \mathrm{-(\log_{10}{[H^+]+\log_{10}[OH^-])}=14\log_{10}10}\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} \mathrm{-\log_{10}[H^+]-\log_{10}[OH^-]}=14\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} \underline{\mathrm{pH+pOH=14}}\)

この「　\(\color{red}{\mathrm{pH+pOH=14}}\)　」の関係を知っておくこと。
この関係は対数は関係ありませんので覚えておいてください。

それと、

　\( -\log_{10}10^{-2}=2\)

　\( -\log_{10}10^{-13}=13\)

のように指数を係数として前に出すことができれば、
底と真数が同じなら「　\( \log_{10}10=1\)　」になるのでほとんど大丈夫です。

　\( \log_{10}2\)

のように底と真数が一致していないときは必ず値が与えられます。
（化学基礎の段階でこの計算が出る事はないでしょう。）

例えば、

　\( \log_{10}(2\times 10^{-4})\\ \\
=\log_{10}2+ \log_{10}10^{-4}\\ \\
=\log_{10}2-4\)

となりますが、「　\( \log_{10}2\)　」の値は問題の中で必ず与えられます。

ところで、
常用対数の底を化学では省略することがあります。

　\( \mathrm{\log_{\underline{\underline{\,10\,}}}[H^+]}=\mathrm{\log\,[H^+]}\)

のようにです。

しかし、
数学では一時期までは常用対数で底を省略していましたが、自然対数と区別するため省略することはなくなりました。
化学でも省略しないことにはなってますが、たまにですがあります。
皆さんも省略しないようにして下さい。
もし、省略されていても「化学では底は１０」だと判断して下さいね。

前置きが長くなりましたが例題を解いてみましょう。

ポイントは、「水素イオン濃度」と『水のイオン積』です。
だから目的は

　\(\mathrm{[H^+]}\)　か　\( \mathrm{[OH^-]}\)

を求めることと、

　\( \mathrm{pH+pOH=14}\)

を利用することです。

例題１

0.05 mol/Lの希硫酸のpHを求めよ。

水素イオン濃度　\(\mathrm{[H^+]}\)　の単位は　\(\color{red}{\mathrm{mol/L}}\)　です。

だからこの問題はそのまま濃度が使えますが硫酸が２価であることに注意して、

　\( \mathrm{[H^+]}=0.05\times 2=0.10=10^{-1}\)

　\( ∴\, \mathrm{pH=-log_{10}10^{-1}=1}\)

水素イオン濃度を出して、常用対数をとっただけです。
（「－」はつけますけど）

例題２

0.001 mol/Lの塩酸のpHはいくらか求めよ。

塩酸は１価なのでモル濃度そのものが水素イオン濃度です。

　\( \mathrm{[H^+]=0.001=10^{-3}}\)

　\( ∴ \,\mathrm{pH=-\log_{10}10^{-3}=3}\)

次は対数計算の練習にもなります。

例題３

0.002 mol/Lの塩酸のpHを求めよ。
ただし、\( \log_{10}2=0.3\)　とする。

　\( \mathrm{[H^+]=0.002=2\times 10^{-3}}\)

　\(∴　\mathrm{pH}=-\log_{10}(2\times 10^{-3})\\ \\
\hspace{30pt} =-(\,\underline{\log_{10}2}+\log_{10}10^{-3})\\ \\
\hspace{30pt} =-\,\underline{0.3}+3=2.7\)

対数の値は問題に与えられた数値を使って下さい。

例題４

0.01 mol/Lの水酸化ナトリウム水溶液のpHを求めよ。

対数値が与えられていないということは簡単に計算できる範囲だということです。笑

水素イオン濃度を出すことが基本です。

　\( \mathrm{[H^+][OH^-]=10^{-14}}\)

から
　\(\displaystyle\mathrm{[H^+]=\frac{10^{-14}}{[OH^-]}}\)　･･･①

水酸化ナトリウムは１価なので、
水酸化物イオン濃度は溶液の濃度に等しいので
　\(\mathrm{[OH^-]=0.01=10^{-2}}\) (mol/L)

①に代入すると

　\( \mathrm{[H^+]=\displaystyle \frac{10^{-14}}{10^{-2}}}=10^{-12}\)

　\( ∴ \, \mathrm{pH}=-\log_{10}10^{-12}=12\)

と計算できますが回りくどいですよね。