【無料】中学数学の計算問題集（無理数の計算）プリント解説付き

中学数学の計算の練習用に無理数の計算を入試問題から集めました。
計算ミスを減らすための注意点なども解説していますので、
計算難易度は気にしない順番になりますが無料ですので問題集としてプリントしてご自由にご利用ください。

無理数の計算問題集

入試問題から計算問題として出題された問題を随時足して問題集として使えるようにしておきます。
基本的な解説も加えておきますので慣れるまで何度でも繰り返すと良いです。
※
問題の追加時期は不定期です。
とりあえずの目標は気楽に\(\,100\,\)問としておきます。笑
現在の問題数\(\color{blue}{\fbox{　59　}}\)

※※
正の数負の数、文字式の計算は（読み込みを遅くするので）別ページに移すことにしました。
※※
計算過程や答えにミスあることにお気づきの方はご指摘下さい。
お手数ですがよろしくお願い致します。

ある程度の基本的な解説ができたら後は計算過程のみ示していきます。

無理数を含む計算問題

無理数の計算問題です。
いうまでもなく素因数分解や分母の有理化ができないと進めないので、
確認しながら慣れていきましょう。
自分の慣れの度合いに応じて過度な暗算はさけておけば計算自体は文字式と同じです。

無理数計算問題番号（１）から（３０）

\(\color{blue}{\fbox{（１）}}\)
ルートの中身が同じなら足し算引き算ができます。
素因数分解してルートの中身を簡単にすることからですね。
　\(2\underline{)　8　}\\
2\underline{)　4　}\\
\hspace{18pt}2\)
なので
　\(\sqrt{8}=\sqrt{2^2\times 2}=2\sqrt{2}\)
とルートの中身が同じになりました。

ルートの中身が同じ場合はルートの前の有理数部分の足し算引き算ができます。
　\(\hspace{10pt}6\sqrt{2}-\sqrt{8}\\
=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\
=\underline{　4\sqrt{2}　}\)

素因数分解してルートの中身を簡単な数字にしても、同じでなければ足し算引き算はできません。
例えば　\(2\sqrt{\color{red}{3}}+3\sqrt{\color{blue}{2}}\)　はこれ以上簡単にはなりません。
\(\color{blue}{\fbox{（２）}}\)
素因数分解してルートの中を簡単にして、有理化するだけです。
素因数分解すると
　\(3\underline{)\hspace{4pt}27}\\
3\underline{)\hspace{8pt}9}\\
\hspace{16pt}3\)
よって　\(\color{blue}{27=3^2\times 3}\)
※
素因数分解というのは数学の用語です。覚えておきましょう。
素数で分解していくのです。
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \color{blue}{\sqrt{27}}-\frac{6}{\sqrt{3}}\\
\displaystyle =\color{blue}{3\sqrt{3}}-\frac{6\color{red}{\times \sqrt{3}}}{\sqrt{3}\color{red}{\times \sqrt{3}}}\\
\displaystyle =3\sqrt{3}-\frac{6\sqrt{3}}{3}\\
=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\
=\underline{　\sqrt{3}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（３）}}\)
ルートの中は簡単にしてから計算するのが普通です。
（割り算だけは約分を利用してから簡単にします。）
　\(\hspace{10pt}\sqrt{75}-\sqrt{27}\\
=5\sqrt{3}-3\sqrt{3}\\
=\underline{　2\sqrt{3}　}\)

無理数の計算では素因数分解ができないとどうにもなりません。
　\(5\underline{)\hspace{2pt}75}\\
5\underline{)\hspace{2pt}15}\\
\hspace{16pt}3\)
などの素因数分解は問題用紙の片隅で確実に書いて確認しましょう。
文字式と同じで、ルートの中身が同じときだけ係数の足し算引き算ができます。
\(\color{blue}{\fbox{（４）}}\)
分母の有理化の説明は必要はないと思いますが、ていねいにやっておきます。
　\(\displaystyle \hspace{10pt}\frac{9}{\sqrt{3}}-2\sqrt{3}\\ \\
\displaystyle =\frac{9\times \color{red}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}\times \color{red}{\sqrt{3}}}-2\sqrt{3}　←（\color{red}{有理化です}）\\ \\
\displaystyle =\frac{\color{blue}{9}\times \sqrt{3}}{\color{blue}{3}}-2\sqrt{3}　←（\color{blue}{約分です}）\\ \\
=\color{magenta}{3}\sqrt{3}-\color{magenta}{2}\sqrt{3}　←（ルートの中が同じなので整数部分の引き算）\\ \\
=\underline{　\sqrt{3}　}\)　

無理数は普通は近似しませんので問題に書いていなくても無理数のままで良いですよ。
ただし、分母の無理数は有理化するように指示されます。
\(\color{blue}{\fbox{（５）}}\)
この展開は公式を使うとすぐに答えが出ます。
この程度の練習はさんざんやってきたと思いますが、
一つひとつ展開すれば答えは出ますよ。

展開公式
　\(\color{red}{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}\)
を利用すると
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{7}+2\sqrt{3})(\sqrt{7}-2\sqrt{3})\\
=(\sqrt{7})^2-(2\sqrt{3})^2\\
=7-4\times 3\\
=7-12\\
=\underline{　-5　}\)

展開してもしれてますので公式使って計算したとしても、
展開するというのも確実性を増す見直しになります。
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{7}+2\sqrt{3})(\sqrt{7}-2\sqrt{3})\\
=\sqrt{7}\times \sqrt{7}-\sqrt{7}\times 2\sqrt{3}+2\sqrt{3}\times \sqrt{7}-2\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}\\
=7-2\sqrt{21}+2\sqrt{21}-4\times 3\\
=7-12\\
=\underline{　-5　}\)

２行目は省略しても手が止まるほど過度な暗算にはならないです。
\(\color{blue}{\fbox{（６）}}\)
　\(\displaystyle \hspace{10pt}\frac{18}{\sqrt{2}}-\sqrt{98}\\
=\displaystyle \frac{18\times \color{red}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\times \color{red}{\sqrt{2}}}-7\sqrt{2}\\
=\displaystyle \frac{\color{red}{18}\sqrt{2}}{\color{red}{2}}-7\sqrt{2}\\
=9\sqrt{2}-7\sqrt{2}\\
=\underline{　2\sqrt{2}　}\)

無理数の有理化と引き算ですが、ていねいにやりましょう。
　\(\sqrt{98}=\sqrt{2\times 7 \times 7}=\sqrt{2\times 7^2}=7\sqrt{2}\)
はルートの中を素因数分解すれば出てきます。
問題用紙のすき間で必ず確認するようにしましょう。
\(\color{blue}{\fbox{（７）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{10}{\sqrt{2}}+\sqrt{18}\\
\displaystyle =\frac{10\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}+3\sqrt{2}\\
\displaystyle =\frac{10\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}\\
\displaystyle =5\sqrt{2}+3\sqrt{2}\\
=\underline{　8\sqrt{2}　}\)

無理数の分母の有理化と足し算です。
ルートの中身が同じときはルートの前の数で足し算引き算ができます。
文字式と同じようにあつかえば良いだけですね。
　\(2\,\underline{)18　}\\
\color{red}{3}\,\underline{)\hspace{4pt}9　}\\
\hspace{14pt}\,\color{red}{3} \hspace{10pt}⇒\hspace{10pt}18=2\times 3^2\)
ルートの中身を簡単にするときの素因数分解はしっかりやった方がミスは減ります。
\(\color{blue}{\fbox{（８）}}\)
通分が基本の分数計算ですが有理化を先にしていいですよ。
　\(\displaystyle \hspace{10pt}\frac{3}{\sqrt{5}}+\frac{20}{5}\\
\displaystyle =\frac{3\color{red}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}\times \color{red}{\sqrt{5}}}+\frac{2\sqrt{5}}{5}\\
\displaystyle =\frac{3\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}\\
\displaystyle =\frac{3\sqrt{5}+2\sqrt{5}}{5}\\
\displaystyle =\frac{5\sqrt{5}}{5}=\underline{　\sqrt{5}　}\)

この計算はどこまで省略（暗算）するかは人によって違います。
しかし、あまり過度の暗算をするとミスします。
暗算で出せるってかっこいいと思っているのかわかりませんが、
実際は早くもないし間違えるとかっこ悪いですよ。
（４行目はなくても良いとは思うけど。）

かっこ悪くても良いけど、点数落とすのもったいないでしょう？
\(\color{blue}{\fbox{（９）}}\)
展開公式
　\(\,\color{red}{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\,\)
を利用して、強引に展開してみます。
　\(\hspace{10pt}\color{red}{(\sqrt{3}+1)^2}-2(\sqrt{3}+1)\\
=\color{red}{3+2\sqrt{3}+1}-2\sqrt{3}-2\\
=\underline{　2　}\)

または共通因数が見えるので、
　\(\hspace{10pt}(\color{blue}{\sqrt{3}+1})^2-2(\color{blue}{\sqrt{3}+1})\\
=(\color{blue}{\sqrt{3}+1})(\sqrt{3}+1-2)\\
=(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)\\
=3-1\\
=\underline{　2　}\)

３行目で展開公式
　\(\color{red}{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}\)
を利用しました。
\(\color{blue}{\fbox{（１０）}}\)
無理数計算ですがていねいに展開すれば良いだけです。
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{3}-2\sqrt{5})^2\\
=(\sqrt{3})^2-2\times \sqrt{3}\times (2\sqrt{5})+(2\sqrt{5})^2\\
=3-4\sqrt{15}+20\\
=\underline{　23-4\sqrt{5}　}\)

展開公式通りの計算なので
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{3}-2\sqrt{5})^2\\
=3-4\sqrt{15}+20\\
=\underline{　23-4\sqrt{15}　}\)

でも良いですが、２行目を飛ばすのは本番としてはちょっと暗算しすぎです。
計算ミスしやすくなるだえではなくて、逆に遅くなりますよ。

\(\color{blue}{\fbox{（１１）}}\)
無理数の割り算の場合は約分を使うとはやい場合もありますが、
基本的にルートの中を簡単にしてから計算すると良いです。
素因数分解ですね。
　\(2\underline{)\hspace{10pt}28}\\
2\underline{)\hspace{10pt}14}\\
\hspace{24pt}7\)
なので\(\hspace{4pt}\color{red}{\sqrt{28}}=\sqrt{2^2\times7}=\color{red}{2\sqrt{7}}\)
　\(\hspace{10pt}6\sqrt{7}-\color{red}{\sqrt{28}}\\
=6\sqrt{7}-\color{red}{2\sqrt{7}}\\
=(6-2)\sqrt{7}\\
=\underline{　4\sqrt{7}　}\)

ルートの中が同じ場合はルートの前の足し算引き算です。
ルートの中が違う場合は計算できません。
\(\color{blue}{\fbox{（１２）}}\)
展開公式
　\(\color{red}{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)
を使えば暗算レベルですが、展開してもたいした計算ではありません。

試験時間を考えると暗算できるくらい公式を使い慣れておくと良いですね。
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{3}+2)^2\\
=3+4\sqrt{3}+4\\
=\underline{　7+4\sqrt{3}　}\)

地道に展開したとしても
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{3}+2)^2\\
=(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+2)\\
=\sqrt{3}\times \sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\times 2\\
=3+4\sqrt{3}+4\\
=\underline{　7+4\sqrt{3}　}\)

展開公式で答えを出して先に進み検算するとき地道に展開する、
という二つの方法で一致させるのが一番確実になります。

有理数と無理数は足すことはできないので、
答えは\(\underline{　7+4\sqrt{3}　}\)です。
\(\color{blue}{\fbox{（１３）}}\)
文字式でも無理数でも同じように展開公式を利用して計算するだけです。
　\(\hspace{10pt}(3\sqrt{3}+\sqrt{2})(3\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{6}-4)^2\\
=(3\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2-(6-8\sqrt{6}+4^2)\\
=27-2-(6-8\sqrt{6}+16)\\
=25-(22-8\sqrt{6})\\
=25-22+8\sqrt{6}\\
=\underline{　3+8\sqrt{6}　}\)

無理数の計算は慣れの程度により暗算の度合いが変わりますが、
慣れたからといって過度な暗算はやめたほうが良いです。
\(\color{blue}{\fbox{（１４）}}\)
無理数の分母の有理化と引き算です。
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{30}{\sqrt{6}}-\sqrt{24}\\
\displaystyle =\frac{30\times\color{red}{\sqrt{6}}}{\sqrt{6}\times \color{red}{\sqrt{6}}}-\color{blue}{2\sqrt{6}}\\
\displaystyle =\frac{30\sqrt{6}}{6}-2\sqrt{6}\\
=5\sqrt{6}-2\sqrt{6}\\
=\underline{　3\sqrt{6}　}\)

⇒　近似値とは？ルートのついた無理数の分母の有理化と近似値の使い方

無理数の有理化と同時に、近似値までの利用を復習しておくと良いです。

\(\hspace{10pt}\sqrt{24}=\color{blue}{2\sqrt{6}}\)
としている部分の素因数分解はミスを減らすためにも確実にやっておいた方が良いですよ。
\(\color{blue}{\fbox{（１５）}}\)
展開公式を使うことできれいな数になります。
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{13}+2)(\sqrt{13}-2)\\
=(\sqrt{13})^2-2^2\\
=13-4\\
=\underline{　9　}\)

展開公式
　\(\color{red}{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}\)
を利用しています。
展開は公式を覚えていなくても地道に展開すれば、
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{13}+2)(\sqrt{13}-2)\\
=(\sqrt{13})^2-2\sqrt{13}+2\sqrt{13}-2^2\\
=13-4\\
=\underline{　9　}\)
答えは出ますが公式利用すると計算結果は早く、楽にでますよ。
\(\color{blue}{\fbox{（１６）}}\)
無理数の分母の有理化と足し算です。
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{12}{\sqrt{2}}+\sqrt{6}\times \sqrt{3}\\
\displaystyle =\frac{12\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}+\color{red}{\sqrt{18}}\\
\displaystyle =\frac{12\sqrt{2}}{2}+\color{blue}{3}\color{red}{\sqrt{2}}\\
=6\sqrt{2}+3\sqrt{2}\\
=\underline{　9\sqrt{2}　}\)

ルートの中の素因数分解は簡単な数値でも
　\(\color{red}{2}\underline{\,)\,18}\\
\color{blue}{3}\underline{\,)\hspace{6pt}9}\\
\hspace{16pt}\color{blue}{3}　\hspace{10pt}⇒　18=2\times 3^2\)
問題用紙のあいているところで確実にやった方が良いですよ。
\(\color{blue}{\fbox{（１７）}}\)
一気にやっても良いのですが有理化と素因数分解を分けてやります。

前半の有理化部分です。
　\(\displaystyle\hspace{10pt} \frac{12}{\sqrt{6}}\\
\displaystyle =\frac{12\color{red}{\times \sqrt{6}}}{\sqrt{6}\color{red}{\times \sqrt{6}}}\\
\displaystyle =\frac{12\sqrt{6}}{6}\\
=2\sqrt{6}\)
後半のルートの中をできるだけ小さくする部分は
　\(2\,\underline{)\hspace{10pt}96　}\\
2\,\underline{)\hspace{10pt}48　}\\
2\,\underline{)\hspace{10pt}24　}\\
2\,\underline{)\hspace{10pt}12　}\\
2\,\underline{)\hspace{14pt}6　}\\
\hspace{24pt}3　\)
と素因数分解できるので
　\(\hspace{10pt}\sqrt{96}\\
=\sqrt{2^2\times 2^2\times 2\times 3}\\
=2\times 2\times \sqrt{6}\\
=4\sqrt{6}\)
慣れてくると一気にルートの中を簡単にしたくなりますが、
計算ミスないように気をつけてください。

間違えていると後で引き算できなくて気がつくのですが、
時間がムダに過ぎてしまうので確実に素因数分解することをおすすめします。
ただし、３行目は省略できるように練習はしておきましょう。

では答えを出しておきましょう。
自分で計算するときはこの二つはつなげて計算して下さい。
　\(\displaystyle \hspace{10pt} \frac{12}{\sqrt{6}}-\sqrt{96}\\
\displaystyle =\frac{12\sqrt{6}}{6}-4\sqrt{6}\\
=2\sqrt{6}-4\sqrt{6}\\
=\underline{　-2\sqrt{6}}　\)

ルートの中が同じときだけルートの前の数の足し算引き算ができるのです。
文字式の係数と同じ扱いしたら良いんですよ。
\(\color{blue}{\fbox{（１８）}}\)
　\(\hspace{10pt}\sqrt{6}\times \sqrt{2}-\sqrt{3}\\
=\sqrt{12}-\sqrt{3}\\
=2\sqrt{3}-\sqrt{3}\\
=\underline{　\sqrt{3}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（１９）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \sqrt{3}-\frac{9}{\sqrt{3}}-\sqrt{12}\\
\displaystyle =\sqrt{3}-\frac{9\sqrt{3}}{3}-2\sqrt{3}\\
\displaystyle =\sqrt{3}-3\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\
=\underline{　-4\sqrt{3}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（２０）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \sqrt{24}-\frac{18}{\sqrt{6}}\\
\displaystyle =\sqrt{\color{red}{2^2}\times 6}-\frac{18\times \color{blue}{\sqrt{6}}}{\sqrt{6}\times \color{blue}{\sqrt{6}}}\\
\displaystyle =\color{red}{2}\sqrt{6}-\frac{18\sqrt{6}}{6}\\
=2\sqrt{6}-3\sqrt{6}\\
=\underline{　-\sqrt{6}　}\)

\(\color{blue}{\fbox{（２１）}}\)
　\(\hspace{10pt}\sqrt{50}-\sqrt{8}\\
=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\
=\underline{　3\sqrt{2}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（２２）}}\)
　\(\hspace{10pt} (\sqrt{7}-1)^2\\
=\underline{　8-2\sqrt{7}　}\)
または
\(\hspace{10pt}(\sqrt{7}-1)^2\\
=(\sqrt{7})^2-2\times \sqrt{7}\times 1+(1)^2\\
=7-2\sqrt{7}+1\\
=\underline{　8-2\sqrt{7}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（２３）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \sqrt{63}+\frac{42}{\sqrt{7}}\\
\displaystyle =3\sqrt{7}+\frac{42\sqrt{7}}{7}\\
=3\sqrt{7}+6\sqrt{7}\\
=\underline{　9\sqrt{7}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（２４）}}\)
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{3}+4)(\sqrt{3}-1)\\
=3-\sqrt{3}+4\sqrt{3}-4\\
=\underline{　-1+3\sqrt{3}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（２５）}}\)
　\(\hspace{10pt}\sqrt{3}(\sqrt{5}-3)+\sqrt{27}\\
=\sqrt{15}-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}\\
=\underline{　\sqrt{15}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（２６）}}\)
　\(\hspace{10pt} \sqrt{32}-\sqrt{8}-\sqrt{2}\\
=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{2}\\
=\underline{　\sqrt{2}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（２７）}}\)
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{7}-2\sqrt{5})(\sqrt{7}+2\sqrt{5})\\
=(\sqrt{7})^2-(2\sqrt{5})^2\\
=7-20\\
=\underline{　-13　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（２８）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \sqrt{27}+\frac{12}{\sqrt{3}}\\
\displaystyle =3\sqrt{3}+\frac{12\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}\\
\displaystyle =3\sqrt{3}+\frac{12\sqrt{3}}{3}\\
=3\sqrt{3}+4\sqrt{3}\\
=\underline{　7\sqrt{3}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（２９）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle (3-\sqrt{5})^2+\frac{10}{\sqrt{5}}\\
\displaystyle =(9-6\sqrt{5}+5)+\frac{10\sqrt{5}}{5}\\
\displaystyle =14-6\sqrt{5}+2\sqrt{5}\\
=\underline{　14-4\sqrt{5}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（３０）}}\)
　\(\hspace{10pt}\color{red}{\sqrt{27}}+\color{blue}{\sqrt{24}}\times \color{magenta}{\sqrt{8}}\\
=\color{red}{3\sqrt{3}}+\color{blue}{2\sqrt{6}}\times \color{magenta}{2\sqrt{2}}\\
=3\sqrt{3}+4\color{red}{\sqrt{12}}\\
=3\sqrt{3}+4\times \color{red}{2\sqrt{3}}\\
=3\sqrt{3}+8\sqrt{3}\\
=\underline{　11\sqrt{3}　}\)

無理数計算問題番号（３１）から（５９）

\(\color{blue}{\fbox{（３１）}}\)
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{7}+2\sqrt{5})(\sqrt{7}-2\sqrt{5})\\
=(\sqrt{7})^2-(2\sqrt{5})^2\\
=7-20\\
=\underline{　-13　}\)
地道に展開した場合
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{7}+2\sqrt{5})(\sqrt{7}-2\sqrt{5})\\
=(\sqrt{7})^2-2\sqrt{35}+2\sqrt{35}-(2\sqrt{5})^2\\
=7-20\\
=\underline{　-13　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（３２）}}\)
　\(\hspace{10pt}\sqrt{32}-\sqrt{18}+\sqrt{2}\\
=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\sqrt{2}\\
=\underline{　2\sqrt{2}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（３３）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}+\sqrt{18}\\
\displaystyle =\frac{4\times \color{red}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\times \color{red}{\sqrt{2}}}+\sqrt{\color{blue}{3^2\times 2}}\\
\displaystyle =\frac{4\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}\\
=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}\\
=\underline{　5\sqrt{2}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（３４）}}\)
　\(\hspace{10pt}\color{blue}{4\sqrt{3}\div\sqrt{2}}+\color{red}{\sqrt{54}}\\
\displaystyle =\color{blue}{\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}+\color{red}{3\sqrt{6}}\\
\displaystyle =\frac{4\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}+3\sqrt{6}\\
\displaystyle =\frac{4\sqrt{6}}{2}+3\sqrt{6}\\
=2\sqrt{6}+3\sqrt{6}\\
=\underline{　5\sqrt{6}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（３５）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \sqrt{45}-\frac{25}{\sqrt{5}}\\
\displaystyle =3\sqrt{5}-\frac{25\sqrt{5}}{5}\\
=3\sqrt{5}-5\sqrt{5}\\
=\underline{　-2\sqrt{5}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（３６）}}\)
　\(\hspace{10pt}\sqrt{14}\times \sqrt{7}-\sqrt{8}\\
=\sqrt{98}-\sqrt{8}\\
=\sqrt{2\times 7^2}-\sqrt{2^2\times 2}\\
=7\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\
=\underline{　5\sqrt{2}　}\)
無理数計算に慣れてきたら
　\(\hspace{10pt}\sqrt{\color{red}{14}}\times \sqrt{7}-\sqrt{\color{blue}{8}}\\
=\sqrt{\color{red}{2\times 7}\times 7}-\sqrt{\color{blue}{2^2\times 2}}\\
=7\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\
=\underline{　5\sqrt{2}　}\)
の２行目は省略できます。
\(\color{blue}{\fbox{（３７）}}\)
　\(\hspace{10pt}\sqrt{24}\div \sqrt{8}-\sqrt{12}\\
=\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\
=\underline{　-\sqrt{3}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（３８）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{6}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle =\frac{6\color{red}{\times \sqrt{2}}}{\sqrt{2}\color{red}{\times \sqrt{2}}}\\
\displaystyle =\frac{6\sqrt{2}}{2}\\
=\underline{　3\sqrt{2}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（３９）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{10}{\sqrt{5}}-\color{blue}{\sqrt{45}}\\
\displaystyle =\frac{10\color{red}{\times \sqrt{5}}}{\sqrt{5}\color{red}{\times \sqrt{5}}}-\color{blue}{3\sqrt{5}}\\
\displaystyle =\frac{10\sqrt{5}}{5}-3\sqrt{5}\\
=2\sqrt{5}-3\sqrt{5}\\
=\underline{　-\sqrt{5}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（４０）}}\)
　\(\hspace{10pt}\color{red}{\sqrt{18}}-6\sqrt{2}\\
=\color{red}{3\sqrt{2}}-6\sqrt{2}\\
=\underline{　-3\sqrt{2}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（４１）}}\)
　\(\hspace{10pt}(2-\sqrt{6})(1+\sqrt{6})\\
=2+2\sqrt{6}-\sqrt{6}-6\\
=\underline{　-4+\sqrt{6}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（４２）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \sqrt{28}+\frac{49}{\sqrt{7}}\\
\displaystyle =2\sqrt{7}+\frac{49\times \color{red}{\sqrt{7}}}{\sqrt{7}\times \color{red}{\sqrt{7}}}\\
\displaystyle =2\sqrt{7}+\frac{49\sqrt{7}}{7}\\
=2\sqrt{7}+7\sqrt{7}\\
=\underline{　9\sqrt{7}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（４３）}}\)
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{2}+1)^2-5(\sqrt{2}+1)+4\\
=2+2\sqrt{2}+1-5\sqrt{2}-5+4\\
=\underline{　2-3\sqrt{2}　}\)
因数分解を利用して計算しても良いです。
　\(\hspace{10pt}(\color{red}{\sqrt{2}+1})^2-5(\color{red}{\sqrt{2}+1})+4\\
=(\color{red}{\sqrt{2}+1}-1)(\color{red}{\sqrt{2}+1}-4)\\
=\sqrt{2}(\sqrt{2}-3)\\
=\underline{　2-3\sqrt{2}　}\)
ただ、因数分解しても簡単とは限らないので普通に展開で良いです。
（ここでは因数分解するときれいになるようにしてくれています。）
\(\color{blue}{\fbox{（４４）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \color{red}{\sqrt{75}}-\frac{9}{\sqrt{3}}\\
\displaystyle =\color{red}{5\sqrt{3}}-\frac{9\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}\\
\displaystyle =5\sqrt{3}-\frac{9\times \sqrt{3}}{3}\\
=5\sqrt{3}-3\sqrt{3}\\
=\underline{　2\sqrt{3}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（４５）}}\)
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{10}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{3})\\
=\color{red}{\sqrt{60}}-\sqrt{30}+\sqrt{30}\color{blue}{-\sqrt{15}}\\
=\color{red}{2\sqrt{15}}\color{blue}{-\sqrt{15}}\\
=\underline{　\sqrt{15}　}\)
または
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{10}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{3})\\
=\color{red}{\sqrt{5}}(\color{blue}{\sqrt{2}+1})\color{red}{\sqrt{3}}(\color{blue}{\sqrt{2}-1})\\
=\color{red}{\sqrt{15}}(\color{blue}{2-1})\\
=\underline{　\sqrt{15}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（４６）}}\)
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{5}-1)^2+\sqrt{20}\\
=5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}\\
=\underline{　6　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（４７）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle 5\sqrt{6}+2\sqrt{24}-\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\
=5\sqrt{6}+4\sqrt{6}-3\sqrt{6}\\
=\underline{　6\sqrt{6}　}\)
かかる時間はあまり変わらないので無理して暗算しなくて良いです。
　\(\hspace{10pt}\displaystyle 5\sqrt{6}+2\color{red}{\sqrt{24}}-\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\
=\displaystyle 5\sqrt{6}+2\times \color{red}{2\sqrt{6}}-\frac{6\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}\\
=\displaystyle 5\sqrt{6}+4\sqrt{6}-\frac{6\sqrt{6}}{2}\\
=\displaystyle 9\sqrt{6}-3\sqrt{6}\\
=\underline{　6\sqrt{6}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（４８）}}\)
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2\\
=5-2\sqrt{10}+2\\
=\underline{　7-2\sqrt{10}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（４９）}}\)
　\(\hspace{10pt}\sqrt{3}(2-\sqrt{6})\\
=2\sqrt{3}-\sqrt{18}\\
=\underline{　2\sqrt{3}-3\sqrt{2}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（５０）}}\)
　\(\hspace{10pt}(2-\sqrt{6})(1+\sqrt{6})\\
=2+2\sqrt{6}-\sqrt{6}-6\\
=\underline{　-4+\sqrt{6}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（５１）}}\)
　\(\hspace{10pt}\sqrt{3}\times \color{red}{\sqrt{32}}+3\sqrt{6}\\
=\sqrt{3}\times \color{red}{4\sqrt{2}}+3\sqrt{6}\\
=4\sqrt{6}+3\sqrt{6}\\
=\underline{　7\sqrt{6}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（５２）}}\)
　\(\hspace{10pt}\sqrt{45}+5\sqrt{5}\\
=\color{red}{3}\sqrt{5}+5\sqrt{5}\\
=\underline{　8\sqrt{5}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（５３）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{6-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\color{red}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}\\
\displaystyle =\frac{6\sqrt{2}-6}{2}+\sqrt{2}\color{red}{(1-3)}\\
=3\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}\\
=\underline{　\sqrt{2}-3　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（５４）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \sqrt{27}-\frac{6}{\sqrt{3}}\\
=\displaystyle 3\sqrt{3}-\frac{6\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}\\
=\displaystyle 3\sqrt{3}-\frac{6\sqrt{3}}{3}\\
=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}\\
=\underline{　\sqrt{3}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（５５）}}\)
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{2}+\sqrt{7})^2\\
=2+2\sqrt{14}+7\\
=\underline{　9+2\sqrt{14}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（５６）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \sqrt{75}-\frac{9}{\sqrt{3}}\\
\displaystyle =5\sqrt{3}-\frac{9\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}\\
\displaystyle =5\sqrt{3}-\frac{9\sqrt{3}}{3}\\
\displaystyle =5\sqrt{3}-3\sqrt{3}\\
=\underline{　2\sqrt{3}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（５７）}}\)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \sqrt{75}-\frac{9}{\sqrt{3}}\\
\displaystyle =5\sqrt{3}-\frac{9\times \color{red}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}\times \color{red}{\sqrt{3}}}\\
\displaystyle =5\sqrt{3}-\frac{9\sqrt{3}}{3}\\
=5\sqrt{3}-3\sqrt{3}\\
=\underline{　2\sqrt{3}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（５８）}}\)
　\(\hspace{10pt}\sqrt{28}-\sqrt{7}\\
=2\sqrt{7}-\sqrt{7}\\
=\underline{　\sqrt{7}　}\)
\(\color{blue}{\fbox{（５９）}}\)
　\(\hspace{10pt}(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-2)\\
=5-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-6\\
=\underline{　-1+\sqrt{5}　}\)

無理数計算問題への対応ポイント

無理数は新しい数の世界になるので慣れるまで時間が必要になります。
暗算の程度も慣れの程度に比例します。
時間を掛ければ良いと良いということではありませんが、
ある程度慣れるまでは繰り返すことがポイントです。

⇒　【無料】中学数学の計算問題集（文字式の計算）プリント解説付き

無理数も計算の方法は文字式と同じです。
無理数計算では分母の有理化などやることは増えますが、
文字式計算はセットでやっておくと良いですね。

⇒　全国の公立高校入試 数学過去問の解答解説

無理数計算が難なくできるようになれば、
全国の入試問題で計算問題はボーナス点に変わります。