倍数の見分け方はいろいろとありますが、説明できなくても覚えておいた方が良い倍数もあります。
高校生でも知らない人もいるようなので少しでも整数に慣れることができるように、
最低限覚えておいた方が良いだろうと思える倍数の見分け方を紹介しておきます。
倍数の見分け方は覚えておかなければならないか？
はっきりいうと覚えておかなくてもいいです。
整数で割って、商がその整数で割り切れれば倍数だとわかるので、
時間がかかっても良いなら必要ありません。
ただ、簡単に見分けることができるものもあるので、
問題によっては答えまでが早い場合もあります。
割と多くの受験生の軽いつまずきにもなっているようなので、
時間のあるとき表をつくって（書き出して）壁にでも貼っておくといいでしょう。
すぐに覚えられますよ。
倍数の見分け方は、知っているかもしれないけど、一応書いておきます。
倍数の見分け方
ここでの倍数の見分け方は
入試でよく使われる数字だけにしておきます。
２の倍数（偶数）
２の倍数 ： 偶数であれば\(\,2\,\)の倍数。
（一の位が偶数なら良い。）
※
「位」というのは「一のくらい」、「十のくらい」の「位」です。
例：１２２３８、５６５５４
３の倍数
３の倍数 ： 各位の数の和が３の倍数。
例： ３５１ は ３＋５＋１＝９ なので３の倍数です。
４の倍数
４の倍数 ： 下二桁が４の倍数。
例：１２５４２４ など
５の倍数
５の倍数 ： 一の位が０か５。
例：１２３６５、８４６５０ など
６の倍数
６の倍数 ： 偶数かつ３の倍数。
（２の倍数でもあり３の倍数でもある）
つまり、各位の数の和が３の倍数で、一の位が偶数である数です。
例：３４５６７８
（各位の数の和）
\(3+4+5+6+7+8=33\)（３の倍数）
かつ、偶数なので６の倍数です。
※
連続する３つの数でできている３桁の数字は３の倍数です。
１２３，２３４，３４５，４５６ など。
\(\hspace{10pt}100\,n+10(\,n+1)+(\,n+2)\\
=111\,n+12\\
=3(37\,n+4)\)
※※
連続する3つの数の積も3の倍数になる
ことは大学入試でもよく利用されます。
\(\hspace{10pt}n(n+1)(n+2)\)
３つの連続する整数のうち
１つは偶数であり、
かつ
１つは3の倍数
になるからです。
８の倍数
８の倍数 ： 下３桁が８の倍数。
例：３６８５１３６ など
９の倍数
９の倍数 ： 各位の数の和が９の倍数。
例：３５１ など
（３の倍数の例３５１は９の倍数でもある。）
他にもあるけどこれだけ知っておけば大丈夫です。
\(\,7\,\)の倍数や\(\,11\,\)の倍数などの見分け方もありますが、覚えなくて良いです。
実際に割ってみて割り切れれば倍数、と判断すれば良いだけです。
見分け方が少しややこしいので数学が得意でない人は、
そんな時間があればもっと基本的なことを覚えた方がいいです。
証明方法は問題になるか？
倍数の見分け方自体は問題にはなりません。
ただ、ある条件において倍数であることの証明は
高校入試では割と問題になります。
大学入試では多くは当たり前のこととして利用します。
が、たまに問題になります。
中学生の証明問題による倍数の見分け方の例
例えば、\(\,351\,\)は、\(\,3+5+1=9\,\)で、
各位の数の和が\(\,3\,\)の倍数だから、\(\,351\,\)は\(\,3\,\)の倍数である。
百の位の数を\(\,a\,\)、十の位の数を\(\,b\,\)、一の位の数を\(\,c\,\)として、
\(\,3\,\)桁の自然数について、このわけを説明しなさい。
さて、文字式による証明の典型的な問題ですが
百の位を\(\,a\,\) 、 十の位を\(\,b\,\) 、 一の位を\(\,c\,\)
とすると、この３桁の自然数は、
\(\color{red}{\hspace{7pt} 100\,a\,+\,10\,b\,+\,c}\)
と表すことができます。
これが「\(\,3\,\)の倍数」であることを言わなければなりません。
しかし、これだけでは\(\,3\,\)の倍数とは言えません。
もう一つの条件があります。
「各位の数の和が３の倍数」
これはどういう表現ができるかというと、（これが数学の言葉です。）
\(\color{red}{\hspace{7pt} a\,+\,b\,+\,c=\,3k} （ k は自然数）\)
となります。
問題にある条件はこれだけです。
これを利用して証明しなくてはなりません。
ここで、
\( a+b+c=3k から、c=3k-(a+b)\)
として、\(\,3\,\)桁の数に代入すると、
（方程式の条件から、一文字消去するんです。）
\(\hspace{7pt}100\,a+10\,b+\color{blue}{ c}\\
=100\,a+10\,b+\color{blue}{ 3k-(a+b)}\\
=100\,a+10\,b+3k-a-b\\
=99\,a+9\,b+3k\\
=\color{red}{ 3(33\,a+3b+k)}\)
ここで、
\(\,33\,a+3\,b+k\,\) は自然数なので、
\(\,\color{red}{ 3(33\,a+3b+k)} は、「\color{red}{ ３の倍数である}」\)
となります。
もう一つの方法としては
\(\color{red}{\hspace{7pt} a\,+\,b\,+\,c=\,3k} （ k は自然数）\)
がいえて、
\(\,a+b+c\,\)が\(\,3\,\)の倍数だと分かれば、
\(\hspace{7pt}\color{red}{100\,a}+\color{blue}{10\,b}+c\\
=(\color{red}{99a+a})+(\color{blue}{9b+b})+c\\
=(\color{red}{99a}+\color{blue}{9b})+\color{red}{a}+\color{blue}{b}+c\\
=9(11\,a+b)+\color{magebnta}{a+b+c}\\
=3\times \color{magenta}{3}(11\,a+b)+\color{magenta}{a+b+c}\)
と\(\,3\,\)の倍数と\(\,3\,\)の倍数の和になっているので、
全体は\(\,3\,\)の倍数だといっても良いです。
⇒ 文字式を使った証明問題と証明の方法(式の計算 中学２年)
同じような問題は大学入試でもでています。
\(\,a,b,c,d\,\)は一桁の自然数で、
\(\,1000a+100b+10c+d\,\)で表される\(\,4\,\)桁の整数がある。
\(\,a+b+c+d\,\)が\(\,9\,\)の倍数のとき、
\(\,1000a+100b+10c+d\,\)も\(\,9\,\)の倍数であることを示しなさい。
\(\hspace{10pt}1000a+100b+10c+d\\
=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)\\
=\color{red}{9}(111a+11b+c)+(\color{red}{a+b+c+d})\)
\(\,9\,\)の倍数と\(\,9\,\)の倍数の和なので\(\,9\,\)の倍数です。
これは大学入試なのでもう少しわかりにくい表現で出題されますが、同じことです。
また、
\(\,1000a+100b+10c+d\,\)が\(\,9\,\)の倍数であるとき、
\(\,a+b+c+d\,\)も\(\,9\,\)の倍数である。
ということも同時に言えます。
これ、いちいちやる必要ありません。
いずれ証明できるようになれればそれでいいし、
今証明できなくても大した問題ではありません。
だから証明方法は覚えなくて良いです。
問題なのは今あなたが数学が苦手だということなので、
まずは事実を使うことから始めて下さい。
見分け方で少し簡単になる方法
ここは上の方法で倍数の見分けができるようになってからで良いですよ。
例えば\(\,9\,\)の倍数を見分けるとき、
各くらいの数を全部足すとめんどくさいときがあります。
\(\,1539634725\,\)
は\(\,9\,\)の倍数か？
で、\(\,1+5+3+9+6+\cdots\,\)とすべて足すってめんどうです。
このとき、
すべての数を足して\(\,9\,\)の倍数かどうか、
なので、
部分的に足して\(\,9\,\)になる組
をどんどん消していくのです。
\(\,153\color{red}{9}634725\,\)
まずは\(\,\color{red}{9}\,\)そのものは\(\,\color{blue}{9}\,\)の倍数
\(\,153\,\)９\(\,634725\,\)
\(\,\color{red}{6}\,\)と\(\,\color{red}{3}\,\)、\(\,\color{red}{7}\,\)と\(\,\color{red}{2}\,\)、\(\,\color{red}{4}\,\)と\(\,\color{red}{5}\,\)、は足して\(\,\color{blue}{9}\,\)の倍数
\(\,153\,\)９６３４７２５
残りは \(\,153\,\)
だけどこれも足すと
\(\,1+5+3=9\,\)で\(\,9\,\)の倍数
と足し算しなくても見分けることができます。
（\(\,3\,\)の倍数も同じようにできます。）
倍数の見分けができるだけでも、いつの間にやら、レベルアップした気になりませんか？
⇒ 中学数学で使う文字式の一覧(奇数や偶数などの整数の表し方)
文字式の使い方は、高校受験までは、倍数の見分け方よりも大切になります。
整数を捨てていない高校生は見ておいた方が良いですよ。
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