有理数と無理数とは？平方根と無理数の表し方(中学3年)

有理数と無理数の違いとはなにかをお伝えします。
そのためにも平方根と無理数の表し方を確認しておきましょう。
この単元では無理数（根号を使った数）という新しい数の世界を知ります。
今後すべての単元に無理数は使うことになるので正の数負の数と同じように慣れることが大切です。

有理数と無理数とは

数の世界を簡単にですがまとめて見ます。
これくらいのことは入試ではあまり聞かれません。
何故なら、これは知っていて当たり前、という前提で問題が作られるからです。
定期テストで聞かれるくらいですが、確実に理解してきましょう。
「定義を書け。」なんて問題を意表をついて出してくるのは東京大学くらいです。（笑）

実数は有理数と無理数に分かれます。

有理数とは、分母と分子がともに整数として
「分数で表される数」
のことです。

　\(\,\displaystyle \color{red}{(有理数)=\frac{q}{p}\hspace{10pt}(p,q\,は整数)}\,\)

有理数は
・整数
　例：\(0,1,2,10\)
・有限小数（割り切れる）
　例：\(\displaystyle \frac{3}{5}=0.6\,,\,\frac{1}{8}=0.125\,\)
・無限小数（割り切れず無限に循環する）
　例：\(\displaystyle \frac{1}{3}=0.333\cdots\,,\,\frac{1}{11}=0.0909090\cdots\)
に分けることができます。

無理数とは分数で表せない、
「無限に続く循環しない小数」
のことです。

　\(\,\sqrt{ルート}\,\)が外せない数と、円周率\(\,\pi\,\)　

と、中学の間は覚えておけば良いですよ。
※
高校になると少し増えます。
通常ですと理系は定数でも増えますが文系では高校でもあつかいません。
（数学\(\,\mathrm{Ⅲ}\,\)を文系理系関係無しに履修する高校は別。）

数字の世界も高校になると広がりますが中学では無理数までです。

平方根と無理数 数字の世界の広がり

無理数を知ることで数学の世界が拡がります。
中学の数学ではこの無理数までですが、
無理数に入る前に平方根を知っておきましょう。

平方根とは、「ある数」を\(\,2\,\)乗するとその数になる「ある数」のことです。

例えば、\(\,3\,\)を平方すると\(\,9\,\)になります。
だから\(\,3\,\)は\(\,9\,\)の平方根です。

しかし、ここで引っかかります。

\(\,-3\,\)も平方すると\(\,9\,\)になります。
　\((-3)^2=9\)
だから\(\,-3\,\)も\(\,9\,\)の平方根です。

つまり、\(\,9\,\)の平方根は、\(\,3\,\)と\(\,-3\,\)の\(\,2\,\)つがあります。
まとめて、\(\, \pm\, 3\,\)と表します。

\(\,9\,\)の平方根のうち、
　\(\,\color{red}{+3\,を正の平方根}\,\)
　\(\,\color{blue}{-3\,を負の平方根}\,\)
といいます。

「平方数」と「平方根」という言葉がきっちり理解できていない人が多いので、
その点に注意すれば難しい単元ではありません。

ところで、
平方数（自然数の\(\,2\,\)乗で表される数）の平方根は、整数で表せるので良いのですが、
平方数でない場合、例えば、\(\,5\,\)とかだと平方根は整数になりません。

\(\,2\,\)乗して\(\,5\,\)になる数というのは、小数でも、分数でも表すことができません。
小数で表すと無限に、くりかえしなく続きます。
※
無限に続く小数を無限小数といいますが、
無限小数のうち循環しない（繰り返しがない）ものを非循環小数といいます。

そこで\(\sqrt{ルート}\)という記号を用いるのです。

　\(\,5\,\)の平方根は\(\,\pm \sqrt{5}\,\)
と表すことができます。

読み方は「プラスマイナス・ルート・\(\,5\,\)」です。

ルートという記号があるおかげで、
　\(\sqrt{5}=2.2360979774997\cdots\)
と永遠に続く数を書かなくて良いということです。

無理数を表す記号

無理数を表す記号\(\sqrt{ルート}\)を根号（こんごう）といいます。

根号については教科書程度で十分理解できますので、
ここでは、みんながつまずきやすい点について少し触れておきます。
※
高校生も見てるかもしれないのでちょっと説明を加えておきます。
\(\,5\,\)の平方根\(\,\sqrt{5}\,\)という記号には\(\sqrt[\color{red}{2}]{5}\)の\(\,\color{red}{2}\,\)が省略されています。
\(\sqrt[\color{blue}{3}]{5}\)などは省略されないので\(\,\color{blue}{3}\,\)乗根だとすぐに気がつきますが、平方根の\(\,2\,\)が省略されていることを忘れていることや、省略されていることすら知らない高校生もいますので気をつけておきましょう。

無理数単元のポイントは先ず、大小関係です。

　\(\sqrt{ルート}\,\)のついた数
無理数の大小は良く聞かれますができない人も多いです。

何故できないか？
それは、今までと違う数の世界に入っているからです。

大小関係のコツはすべての数に共通してありますが、
新しい数の世界に入るので少し時間をかけ、
無理数自体に慣れることが先でいいでしょう。

練習問題を通じて計算法則が普通に成り立つことを理解しておきましょう。

今後の単元全てに使います。

計算法則は今までとほとんど変わりません。
素因数分解が大きなカギとなるので、
数学の教科書で「素因数分解」が「式と計算」の単元になっている人はしっかり復習しておいて下さい。

⇒　素因数分解とは？分解方法と最小の自然数を求める練習問題(中学3年)

「式の計算」単元で覚えた公式との組合せで無理数計算問題が良く出されますが、
計算をきっちりできるようになれば有理数と同じように公式も使えます。

後は分母の有理化、近似値と出てきますが、大した難しさはありません。
ただし、平方根や無理数の計算で苦労する人は少ないのですがミスが目立ちます。

短期間で良いので計算ミスをしにくい計算、
工夫を加えた計算の練習をできるだけ多くやっておくことをおすすめします。
無理数自体になれていないということが大きな原因でもありますから、
やはり慣れるためにはある程度の数はこなさないとなりません。
学校の宿題程度で十分ですが『下手』な計算方法で慣れないようにしておきましょう。

「式の計算」でも同じことがいえますが、
無理数でも計算の工夫の仕方で、大きく差のでる分野です。

因数分解を利用するオキマリの計算問題なんかも多いので、
単に、
「計算ができれば良い」、
で済まさずにどんな利用法があるのかなども全体的に目を通しておくといいでしょう。

大小比較や有理化などの問題はこの後続いて説明していきますので、
まずは無理数になれてください。

分数、小数が出てきたときのように新しい数が出てきたときは先ずなれること。
これがポイントです。

新しい数の世界に入ったので数学の世界も広くなったということですよ。
といっても整数や分数と計算方法は同じだし、
文字式の計算とあつかいかたは同じなので難しくはありません。

⇒　素数とは？素因数分解の方法と平方根の求め方(ルートの使い方準備)　

無理数そのものに慣れれば分数や小数と同じようにあつかえます。