2026年（令和８年度）愛知県公立高校入試数学の問題と解説です。
基本から標準、応用と幅広い出題範囲とレベルで出題されています。
１つでも多く取るために時間配分も重要となるので、
基本的な知識の習得と答えにたどり着く作業をする練習を重ねることです。
2026年（令和８年度）愛知県公立高校入試数学の問題
令和８年度の愛知県公立高校入試一般選抜数学の問題です。
大問は３つですがおよそ２０問、４５分の試験時間です。
レベルからいえば分量としては多いです。
2026年（令和８年度）愛知県公立高校入試数学の解説
問題ページは５ページと少なく見えますが内容が濃いです。
問題の深さをすぐには見抜けないので目標点数に応じてで良いですが、
取れる問題は確実に取りましょう。
マークシート部分は記号を省くかもしれません。
ご自身で確認してください。
また、長さの単位が\(\,\mathrm{cm}\,\)のときは単位を省略します。
第１問小問集合
\(\,\large{1}\,\)
(1)
\(\hspace{10pt}5-\color{red}{3\times (-2)}\\
=5-(\color{red}{-6})\\
=5+11\\
=\underline{ 11 }\)
計算が途切れるところを間違えないように。
(2)
\(\hspace{10pt}4(3x-1)-2(5x-6)\\
=12x-4-10x+12\\
=\underline{ 2\,x+8 }\)
ミスを減らすには過度な暗算をしないことです。
(3)
\(\hspace{10pt}(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\\
=(3+2\sqrt{6}+2)+(3-2\sqrt{6}+2)\\
=5+2\sqrt{6}+5-\sqrt{6}\\
=\underline{ 10 }\)
上手くいく計算方法を探すヒマがあれば手を動かした方が早いです。
\(\hspace{4pt}a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\)
という対称式変形で計算すると
\(\hspace{10pt}\displaystyle \{(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})\}^2-2(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\\
=(2\sqrt{3})^2-2(3-2)\\
=12-2\\
=\underline{ 10 }\)
結果的には楽に見えても慣れていないと時間をかけてしまいます。
どちらかを検算に使うやり方で良いですね。
それと、
例えミスの無い場合であっても（かっこ）を外すときは要注意です。
(4)
２つの解が\(\,a\,,\,b\,\)の２次方程式は
\(\hspace{10pt}(x-a)(x-b)=0\)
なので与えられた２次方程式の解を求めて、
それぞれを\(\,+3\,\)したものを解に持つ方程式を作れば良いです。
\(\begin{eqnarray}
x^2+6x+5&=&0\\
(x+1)(x+5)&=&0\\
x&=&-1\,,\,-5
\end{eqnarray}\)
これらを\(\,+3\,\)すると求める２次方程式の解は
\(\hspace{4pt}+2\,,\,-2\)
よって求める２次方程式は
\(\begin{eqnarray}
\{(x-(+2))\}\{(x-(-2))\}&=&0\\
(x-2)(x+2)&=&0\\
x^2-4&=&0
\end{eqnarray}\)
元の方程式の解より\(\,+3\,\)大きい解で成り立つので、
\(\,x\,\)を\(\,x-3\,\)と置き換えて変形するだけでも求まります。
\(\begin{eqnarray}
(x-3)^2+6(x-3)+5&=&0\\
x^2-6x+9+6x-18+5&=&0\\
x^2-4&=&0
\end{eqnarray}\)
元の方程式の解となる\(\,x\,\)より\(\,3\,\)大きい解は\(\,x+3\,\)なので、
求める方程式の解を\(\,x\,\)とすると\(\,x-3\,\)は元の方程式を満たすはずです。
（わかりにくいと思うので飛ばしてください。）
いずれにしても
\(\hspace{10pt}\underline{ x^2-4=0 }\)
(3)の時点で感じているのですが、
なんとなく公立高校入試の数学らしくない説明になっていますよね。
裏の解法を求めてくるのは塾生募集するための業者くらいです。
（私は業界の１人ですので素直に普通の解き方で見ておいてください。）
(5)
２点を通る直線の傾き、つまり変化の割合を求めます。
２点\(\,\mathrm{A\,,\,B}\,\)は
\(\hspace{10pt}\mathrm{A}\,(\,-2\,,\,-6\,)\)
\(\hspace{10pt}\mathrm{B}\,(\,4\,,\,3\,)\)
\(\,x\,\)の増加量\(\,4-(-2)=6\,\)
\(\,y\,\)の増加量\(\,3-(-6)=9\,\)
よって変化の割合、求める直線の傾きは
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{9}{6}=\underline{\underline{ \frac{3}{2} }}\)
(6)
先に２直線の交点を求めますが交点を求めるときは連立です。
一文字消去ですね。ここでは\(\,y\,\)を消去します。
\(\hspace{12pt}2x-2y=-4\\
\underline{-)\,5x-2y=2 }\\
\,-3x\hspace{20pt}\,=-6\\
\hspace{40pt}x=2\)
これをどちらかに戻して、（どっちでも良いです。）
\(\begin{eqnarray}
2-y&=&-2\\
-y&=&-4\\
y&=&4
\end{eqnarray}\)
交点は\(\,(\,2\,,\,4\,)\,\)でこれを通るのは
\(\hspace{10pt}\displaystyle \underline{ y=x^2 }\)
(7)
２つ選ぶので２つ見つかるまで調べます。
ア：\(\,-5\,\)の絶対値は\(\,5\,\)です。○
イ：\(\,5\,\)の絶対値は\(\,5\,\)、\(\,-6\,\)の絶対値は\(\,6\,\)です。×
ウ：素数に素数をかけると、その素数が因数になるので素数にはなりません。×
エ：\(\,15\,\)以下の自然数で素数なのは
\(\hspace{10pt}2\,,\,3\,,\,5\,,\,7,,\,11\,,\,13\)
６個です。○
ここで次に行けますが、一応見ておきます。
オ：\(\,\sqrt{2}\,\)は非循環小数です。
カ：循環小数は有理数です。
\(\hspace{10pt}\displaystyle 1.\dot{\color{red}{2}}3\dot{\color{blue}{4}}=1.\color{red}{2}3\color{blue}{4}\color{red}{2}3\color{blue}{4}\color{red}{2}3\color{blue}{4}\color{red}{2}3\color{blue}{4}\cdots\)
これを分数で表すと\(\hspace{4pt}\displaystyle \frac{137}{111}\)で有理数です。
(8)
ヒストグラムの読み取りです。
３０人のデータであることを意識していれば問題ありません。
ア：
中央値は小さい方から１５人目と１６人目の平均になるので、
階級は１５分以上２０分未満の階級になります。×
イ：
最頻値は\(\,12.5\,\)分、平均値は\(\,16\,\)分なので小さいです。×
ウ：
20分以上25分未満の度数は6、
このとき相対度数は\(\hspace{4pt}\displaystyle \frac{6}{30}=0.2\,\)で正しい。○
ここまでで良いですが、最後まで見ておきます。
エ：
第３四分位数が\(\,\color{red}{22.5}\,\)、第１四分位数が\(\,\color{blue}{12.5}\,\)なので
四分位範囲は\(\hspace{4pt}\color{red}{22.5}-\color{blue}{12.5}=10\,\)分です。×
(9)
自然数の個数なので数えれば良いですが、
\(\,\sqrt{11}\,\)の値がはっきりしません。
正の数どうしの大小は平方しても変わらないので、
\(\begin{eqnarray}n\,&\,＜\,&\,3\sqrt{11}\\
\Leftrightarrow \hspace{4pt} n^2\,&\,＜\,&\,99
\end{eqnarray}\)
これを満たす最大の自然数\(\,n\,\)は
\(\hspace{10pt}n\,=\,9\)
よって自然数の個数は\(\,\underline{ 9 }\,\)個
※
\(\,n=10\,\)のときは\(\,n^2=100\,\)なので大小関係を満たしません。
またはルートをつけたまま
\(\hspace{10pt}\sqrt{n^2}＜\sqrt{99}\)
と変形して見ても同じです。
いずれにしても数の大小です。
やることは決まっています。
(10)
三平方の定理も頭によぎりますが、
相似の方が早いです。
二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に２等分するので、
底角を共通に持つ直角三角形なので
\(\hspace{10pt}\,\mathrm{△ABE}\,\)∽\(\,\mathrm{△BCD}\,\)
となります。
このことから
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AB:EB}&=&\mathrm{BC:DC}\\
12:4&=&8:\mathrm{DC}\\
12\times \mathrm{DC}&=&4\times 8\\
\,\mathrm{DC}\,&=&\frac{8}{3}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AD}&=&\mathrm{AC-DC}\\
&=&12-\frac{8}{3}\\
&=&\underline{\underline{ \frac{28}{3} }}
\end{eqnarray}\)
他にも三平方の定理や面積を利用した方法でも求める事はできます。
面積では\(\,\mathrm{△ABC}\,\)を、
底辺と高さを変えて見ると\(\,\mathrm{BD}\,\)が求まります。
後は普通に三平方の定理。
三平方の定理では\(\,\mathrm{AD}=x\,\)とすると、
\(\,\mathrm{DC}=12-x\,\)とおけます。
\(\,\mathrm{△ABD}\,\)と\(\,\mathrm{△BCD}\,\)で\(\,\mathrm{BD}\,\)が共通になることから
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AB^2-AD^2}&=&\mathrm{BC^2-DC^2}\\
12^2-x^2&=&8^2-(12-x)^2
\end{eqnarray}\)
やって見てください。
第２問確率と関数
\(\,\large{2}\,\)
(1)
２つのさいころですが、それぞれの確率を求めないとわかりません。
なのですごい作業量になります。
１回目に出た目の数字\(\,\color{red}{a}\,\)を赤で、
それぞれの場合だけを表で示していきます。
ア：\(\,a-b\,\)が自然数になる。\(\,(15)\,通り\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\,\color{red}{1}\, & & & & & & \\ \hline
\color{red}{2} & ○ & & & & & \\ \hline
\color{red}{3} & ○ & ○ & & & & \\ \hline
\color{red}{4} & ○ & ○ & ○ & & & \\ \hline
\color{red}{5} & ○ & ○ & ○ & ○ & & \\ \hline
\color{red}{6} & ○ & ○ & ○ & ○ & ○ & \\ \hline
\end{array}\)
イ：\(\,a-b\,\)が自然数にならない。\(\,(21)\,通り\,\)
アの表の空白部分です。
ウ：最大公約数が１になる。\(\,(23)\,通り\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\,\color{red}{1}\, & ○ & ○ & ○ & ○ & ○ & ○\\ \hline
\color{red}{2} & ○ & & ○ & & ○ & \\ \hline
\color{red}{3} & ○ & ○ & & ○ & ○ & \\ \hline
\color{red}{4} & ○ & & ○ & & ○ & \\ \hline
\color{red}{5} & ○ & ○ & ○ & ○ & & ○\\ \hline
\color{red}{6} & ○ & & & & ○ & \\ \hline
\end{array}\)
エ：最大公約数が２になる。×
これは片方が\(\,1\,,\,3\,,\,5\,\)のときを除外するので、
かなり少ないとわかります。
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\,\color{red}{1}\, & & & & & & \\ \hline
\color{red}{2} & & ○ & & ○ & & ○ \\ \hline
\color{red}{3} & & & & & & \\ \hline
\color{red}{4} & & ○ & & & & ○\\ \hline
\color{red}{5} & & & & & & \\ \hline
\color{red}{6} & & ○ & & ○ & & \\ \hline
\end{array}\)
オ：\(\,ab\,\)が素数になる。×
これも片方に\(\,4,6\,\)は来ないから少ない。
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\,\color{red}{1}\, & & ○ & ○ & & ○ & \\ \hline
\color{red}{2} & ○ & & & & & \\ \hline
\color{red}{3} & ○ & & & & & \\ \hline
\color{red}{4} & & & & & & \\ \hline
\color{red}{5} & ○ & & & & & \\ \hline
\color{red}{6} & & & & & & \\ \hline
\end{array}\)
カ：\(\,ab\,\)が３の倍数になる。\(\,(20)\,通り\,\)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\,\color{red}{1}\, & & & ○ & & & ○ \\ \hline
\color{red}{2} & & & ○ & & & ○ \\ \hline
\color{red}{3} & ○ & ○ & ○ & ○ & ○ & ○\\ \hline
\color{red}{4} & & & ○ & & & ○\\ \hline
\color{red}{5} & & & ○ & & & ○\\ \hline
\color{red}{6} & ○ & ○ & ○ & ○ & ○ & ○\\ \hline
\end{array}\)
それぞれの確率を出す方法は違っても、
なんとなくではわからない、
ということがわかりますか？
答え\(\,\underline{ ウ }\,\)
(2)
これは２つの問題が１つになっている欲張り、、、
応用問題になっています。
条件を順に整理していきましょう。
\(\,\mathrm{BC+CA}\,\)が最小とは、
\(\,\mathrm{A}\,\)の\(\,y\,\)軸との対称な点\(\,\mathrm{A’}\,\)を結ぶと直線です。
この時点では比例定数は決まっていません。
（正確な図形では想像はつくけど問題は\(\,y\,\)軸方向に圧縮されています。）
座標を比例定数\(\,a\,\)で表すと
\(\hspace{4pt}\mathrm{A}\,(\,2\,,\,4a\,)\)
\(\hspace{4pt}\mathrm{A’}\,(\,-2\,,\,4a\,)\)
\(\hspace{4pt}\mathrm{C}\,(\,0\,,\,4\,)\)
\(\hspace{4pt}\mathrm{B}\,(\,4\,,\,16a\,)\)
相似な図形があります。
\(\,x\,\)軸方向の長さが比になるので、
\(\,y\,\)座標の差をとって
\(\begin{eqnarray}
2:4&=&(4-4a):(16a-4)\\
4(4-4a)&=&2(16a-4)\\
2(4-4a)&=&(16a-4)\\
8-8a&=&16a-4\\
-24a&=&-12\\
a&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray}\)
比例定数\(\,a\,\)が決まったのでそれぞれの座標が出ます。
\(\hspace{4pt}\mathrm{A}\,(\,2\,,\,2\,)\)
\(\hspace{4pt}\mathrm{A’}\,(\,-2\,,\,2\,)\)
\(\hspace{4pt}\mathrm{C}\,(\,0\,,\,4\,)\)
\(\hspace{4pt}\mathrm{B}\,(\,4\,,\,8\,)\)
ここからが本題です。
四角形\(\,\mathrm{BCOA}\,\)の面積を２等分する直線を求めます。
具体的な面積が出るので全ての直線を試しても良いですが、
そんな時間はありません。
いろいろな方法がありますが、
\(\,\mathrm{CB}\,\)∥\(\,\mathrm{OA}\,\)なので
平行線による等積移動を利用するのが求められている方法かもしれません。
しかし、そんなことはどうでも良いので気にせず進めます。
直線\(\,\mathrm{CB}\,\)は\(\,y=x+4\,\)であることは確認しておいてください。
分かり易い具体的な数値で答えを出しておきましょう。
直線\(\,\mathrm{OA}\,\)と\(\,\mathrm{B}\,\)を通る\(\,y\,\)軸と平行な線との交点を\(\,\mathrm{D}\,\)とします。
四角形\(\,\mathrm{BCOA}\,\)の面積は、
平行四辺形\(\,\mathrm{BCOD}\,\)から\(\,\mathrm{△BAD}\,\)を引いたものです。
\(\begin{eqnarray}
(\,四角形\mathrm{BOCA}\,)&=&\color{red}{4}\times \color{blue}{4}-\frac{1}{2}\times \color{red}{4}\times \color{magenta}{2}\\
&=&12
\end{eqnarray}\)
原点を通る直線で２等分するとき面積は\(\,\color{red}{6}\,\)ずつ。
底辺を\(\,\mathrm{OC}\,\)と見ると直線\(\,\mathrm{BC}\,\)上に\(\,x\,\)座標が\(\,3\,\)となる点\(\,\mathrm{E}\,\)をとれば、
\(\,\mathrm{△OCE}\,\)の面積が\(\,6\,\)となる三角形ができます。
点\(\,\mathrm{E}\,\)は\(\,y=x+4\,\)上の点なので
\(\,\mathrm{E}\,(\,3\,,\,7\,)\,\)
原点を通り\(\,\mathrm{E}\,(\,3\,,\,7\,)\,\)を通る直線は
\(\displaystyle \hspace{10pt}\underline{\underline{ y=\frac{7}{3}\,x }}\)
\(\,\mathrm{△OBC}\,\)と\(\,\mathrm{△OAB}\,\)の面積比が\(\,2:1\,\)なので、
これを\(\,\color{red}{④}:\color{red}{②}\,\)と見て、
\(\,\mathrm{△OCE}\,\)と\(\,\mathrm{△OBE}\,\)の面積比が\(\,\color{red}{③}:\color{red}{①}\,\)となれば、
直線は四角形を２等分すると見た人もいると思います。
どちらでも良いです。
ちなみに\(\,\mathrm{△OAC：△ABC}\,\)も\(\,2:1\,\)です。
(3)
マジか？中学生にはここまでもかなりの作業量だと思うけど、
中盤でどれだけ日本語読ませるんだよ、と思うほどややこしい。
もっとシンプルな問題が良いよねえ。
しかし、問題の条件を読み取ればただの関数のクラフを書け、いう問題です。
立方体があって、同じ速さで動く点が３つある。
点\(\,\mathrm{P}\,\)：\(\,18\,\)秒動く。
\(\hspace{4pt}\mathrm{B}\rightarrow \mathrm{A}\rightarrow \mathrm{D}\rightarrow \mathrm{C}\)
点\(\,\mathrm{Q}\,\)：\(\,6\,\)秒動く。
\(\hspace{4pt}\mathrm{B}\rightarrow \mathrm{C}\)
点\(\,\mathrm{R}\,\)：（点\(\,\mathrm{P\,,\,Q}\,\)の出発後\(\,2\,\)秒後から\(\,\mathrm{I}\,\)を出発する。）
\(\hspace{4pt}\mathrm{I}\rightarrow \mathrm{F}\rightarrow \mathrm{B}\rightarrow \mathrm{F}\rightarrow \mathrm{B}\cdots\)
問題の順に図で見て行くことにします。
①
\(\,x=4\,\)のとき立体\(\,\mathrm{BFPQ}\,\)の体積\(\,y\,\)を求めます。
\(\,4\,\)秒後は\(\,\mathrm{P\,,\,Q}\,\)ともにまだ最初の１辺上にいます。
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{1}{3}\times 4\times 4\times 6\\
&=&\underline{ 16 }
\end{eqnarray}\)
⑫
①で気がつくように変化が起こるのは６秒後と１２秒後です。
６秒までは\(\,\mathrm{△BPQ}\,\)は時間の２乗に比例します。
高さは一定なので体積\(\,y\,\)も時間の２乗に比例します。
\(\begin{eqnarray} y&=&\frac{1}{3}\times \frac{1}{2} \times x^2\times 6\\
&=&\color{red}{x^2}
\end{eqnarray}\)
\(\,6\,\)秒後からは\(\,\mathrm{Q}\,\)は止まっているので、
\(\,12\,\)秒後までは\(\,\mathrm{\color{red}{△PBQ}}\,\)の面積は一定です。
高さも一定なので\(\,y\,\)も一定です。
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{1}{3}\times \color{red}{\frac{1}{2}\times 6\times 6}\times 6\\
&=&\color{blue}{36}
\end{eqnarray}\)
１２秒後からは\(\,\mathrm{\color{red}{△PBQ}}\,\)の面積は一定の割合で減っていくので、
体積\(\,y\,\)も小さくなります。
点\(\,\mathrm{P}\,\)が\(\,\mathrm{C}\,\)に到達するまで\(\,18\,\)秒で、
\(\,x\,\)秒かけて移動した残りの\(\,\mathrm{PQ}\,\)は
\(\hspace{4pt}\mathrm{PQ}=\color{red}{18-x}\)
体積\(\,y\,\)は
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{1}{3}\times \color{red}{\frac{1}{2}\times 6\times (18-x)}\times 6\\
&=&\color{magenta}{6(18-x)}
\end{eqnarray}\)
実はこれは求めなくても良いです。
\(\,18\,\)秒後には\(\,0\,\)になるので直線で結ぶだけです。
ここまでをグラフにしておきます。
これとは別に立体\(\,\mathrm{REFH}\,\)の体積を考えます。
点\(\,\mathrm{R}\,\)は２秒後まで動きません。
なので体積\(\,V\,\)は
\(\begin{eqnarray}V&=&\frac{1}{3}\times 6\times 6\times 3\\
&=&36
\end{eqnarray}\)
２秒後から５秒後までは\(\,\mathrm{F}\,\)に向かうので体積は減ります。
底面積は一定なので高さに比例して体積も変わります。
３秒動いた５秒後の体積は０です。
その後は６秒おきに最大、最小を一定で繰り返します。
体積\(\,V\,\)の最大値は
\(\begin{eqnarray}
V&=&\frac{1}{3}\times 6\times 6\times 6\\
&=&72
\end{eqnarray}\)
これを先ほどのグラフに書き加えます。
体積が等しくなるのは交点の数だけあります。
答え\(\hspace{4pt}\underline{ 4\,回 }\)
\(\,V\,\)の関数は
\(\hspace{4pt}V=36\hspace{10pt}(\,0\,≦\,x\,≦\,2\,)\)
\(\hspace{4pt}V=-12(x-5)\hspace{10pt}(\,2\,≦\,x\,≦\,5\,)\)
\(\hspace{4pt}V=12(x-5)\hspace{10pt}(\,5\,≦\,x\,≦\,11\,)\)
\(\hspace{4pt}V=-12(x-17)\hspace{10pt}(\,11\,≦\,x\,≦\,17\,)\)
\(\hspace{4pt}V=12(x-17)\hspace{10pt}(\,17\,≦\,x\,≦\,18\,)\)
となりますが求めなくても良いです。
直線の関数になるので２点を結んでグラフはかけます。
第３問図形総合
\(\,\large{3}\,\)
(1)
弧\(\,\mathrm{DC}\,\)の中心角を求めます。
直径に対する円周角が\(\,90°\,\)なので、
\(\hspace{4pt}\mathrm{∠DBC}=17°\)
これは弧\(\,\mathrm{DC}\,\)に対する円周角なので中心角は
\(\hspace{10pt}\mathrm{∠DOC}=\underline{ 34 }度\)
(2)
正方形と角の二等分線です。
①
線分\(\,\mathrm{AF}\,\)の長さは\(\,\mathrm{△ADF}\,\)において三平方の定理で求まります。
\(\hspace{4pt}\mathrm{FC}=3\)なので\(\,\mathrm{DF}=\color{blue}{9}\,\)また\(,\,\mathrm{AD}=\color{red}{12}\,\)だから
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AF^2}&=&\mathrm{AD^2+DF^2}\\
&=&12^2+9^2\\
&=&225\\
\mathrm{AF}&=&\pm 15
\end{eqnarray}\)
長さだから正の値をとって
\(\hspace{10pt}\mathrm{AD}=\underline{ 15 }\mathrm{cm}\)
３辺の比が\(\,3:4:5\,\)として求めると早いです。
②
四角形\(\,\mathrm{AECF}\,\)の面積を求めます。
①で三平方の定理で②も三平方の定理、でも良いです。
ここでは相似を利用した求め方を示しておきます。
\(\,\mathrm{AF}\,\)の延長と\(\,\mathrm{BC}\,\)の延長の交点を\(\,\mathrm{G}\,\)とすると、
\(\,\mathrm{△EAG}\,\)は二等辺三角形になります。
\(\,\mathrm{E}\,\)から\(\,\mathrm{AG}\,\)に下ろした垂線と\(\,\mathrm{AG}\,\)との交点を\(\,\mathrm{H}\,\)とすると、
\(\hspace{10pt}\,\mathrm{AH=GH}=10\,\)
（二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に等分する。）
ここで\(\,\mathrm{△GCF}\,\)∽\(\,\mathrm{△GHE}\,\)で、
相似比が\(\,\mathrm{GC:GH}=4:10\,\)になっているから、
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{FC:EH}&=&4:10\\
3:\mathrm{EH}&=&2:5\\
2\times \mathrm{EH}&=&3\times 5\\
\mathrm{EH}&=&\frac{15}{2}
\end{eqnarray}\)
よって求める面積\(\,S\,\)は
\(\begin{eqnarray}
S&=&\mathrm{△EAG-△GCF}\\
&=&\frac{1}{2}\times 20\times \frac{15}{2}-\frac{1}{2}\times 4\times 3\\
&=&75-6\\
&=&\underline{ 69 }\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray}\)
別解というほどでは無く計算方法の違いですが、
正方形\(\,\mathrm{ABCDか}\,\)ら\(\,\mathrm{△ABE}\,\)と\(\,\mathrm{△ADF}\,\)を引いても求められます。
（\(\,\mathrm{△AEC}\,\)と\(\,\mathrm{△ACF}\,\)を足しても良いです。）
\(\,\mathrm{BE}=x\,\)とすると、
\(\hspace{10pt}\mathrm{EC}=12-x\,,\,\mathrm{AE=EC+GC}=16-x\)
三平方の定理から
\(\begin{eqnarray}
12^2+x^2&=&(16-x)^2\\
144+x^2&=&256-32x+x^2\\
32x&=&112\\
x&=&\frac{112}{32}\\
&=&\frac{7}{2}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}
S&=&12^2-\mathrm{△ADF-△ABE}\\
&=&144-\frac{1}{2}\times 12\times 9-\frac{1}{2}\times 12\times \frac{7}{2}\\
&=&144-54-21\\
&=&144-75\\
&=&69
\end{eqnarray}\)
いずれにしても二等分線が与えられた意味を考えないとダメですね。
他にもありそうですけどそれ程悩むことも無い。
(3)
底面が正方形、側面は全て正三角形の正四角錐です。
正方形、正三角形ともに１辺が\(\,\color{red}{6}\,\)です。
①
線分\(\,\mathrm{FE}\,\)の長さは\(\,\mathrm{OE}\,\)の半分です。
正方形の対角線\(\,\mathrm{AC}\,\)は\(\,\color{red}{6\sqrt{2}}\,\)なので、
\(\hspace{10pt}\mathrm{OE=AE}=\color{blue}{3\sqrt{2}}\)
\(\,\mathrm{F}\,\)は\(\,\mathrm{OE}\,\)の中点なので
\(\hspace{10pt}\displaystyle \mathrm{FE}=\underline{\underline{ \frac{3\sqrt{2}}{2} }}\mathrm{cm}\)
②
台形\(\,\mathrm{GHAB}\,\)の面積です。
台形の面積なので上底と下底と高さを求めます。
正方形を２つ並べるとわかりますが、
\(\hspace{4pt}\,\mathrm{OG:GC}=1:2\,\)
となります。
この比を\(\,\mathrm{△ODC}\,\)で見ると
\(\hspace{10pt}\mathrm{HG}=2\,,\,\mathrm{DC=AB}=6\)
これで台形の上底と下底がわかりました。
後は高さですが、\(\,\mathrm{GB}\,\)が高さではありません。
\(\,\mathrm{GB}\,\)は台形の脚です。
\(\,\mathrm{B}\,\)から\(\,\mathrm{OC}\,\)に垂線を引くと三角定規ができて、
このとき\(\hspace{4pt}\mathrm{BI}=\color{blue}{3\sqrt{3}}\,\)です。
\(\,\mathrm{△GBI}\,\)は直角三角形なので三平方の定理から
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{BG^2}&=&\mathrm{GI^2+BI^2}\\
&=&1^2+(3\sqrt{3})^2\\
&=&1+27\\
&=&28\\
\mathrm{BG}&=&\pm 2\sqrt{7}
\end{eqnarray}\)
長さなので\(\,\mathrm{BG}=\color{magenta}{2\sqrt{7}}\,\)
台形は等脚台形なので高さが求まります。
\(\,\mathrm{G}\,\)から\(\,\mathrm{AB}\,\)に垂線を下ろし\(\,\mathrm{AB}\,\)との交点を\(\,\mathrm{K}\,\)とすると、
\(\hspace{10pt}\mathrm{KB}=\color{blue}{2}\)
三平方の定理から高さとなる\(\,\mathrm{GK}\,\)を求めることができます。
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{GK^2+KB^2}&=&\mathrm{GB^2}\\
\mathrm{GK^2}+2^2&=&(2\sqrt{7})^2\\
\mathrm{GK^2}&=&24\\
\mathrm{GK}&=&2\sqrt{6}\,（＞\,0\,だから）
\end{eqnarray}\)
よって求める面積\(\,S\,\)は
\(\begin{eqnarray}
S&=&\frac{2+6}{2}\times 2\sqrt{6}\\
&=&\underline{ 8\sqrt{6} }\,\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray}\)
後になってしまいましたが、
等脚台形では図の青線の部分が等しくなります。
説明しなくても対称性からわかりますよね。
以上です。
日程が１つになって数年になります。
数学の問題でやるべきことは同じなのですが、どうなんでしょうね。
ここは対策ページではないのであまり深入りしないことにします。
