2次方程式の因数分解を利用する解き方のコツと注意点

因数分解を利用する2次方程式の解き方のコツと忘れがちな注意点をお伝えします。
２次方程式を解くには解の公式があるので１つを覚えておけばすべて解けますが、
文章問題を解くときに立式された２次方程式は、図形に限らず関数でも因数分解で解ける問題がほとんどです。

２次方程式を因数分解で解く重要性

文章問題で立てた２次方程式が「ほとんど因数分解で解ける」というのは、
逆に言えば因数分解では解けない問題もあるということです。

しかし、それは２次方程式の係数がどうのこうのという代入問題、
面積がどうのこうのという図形の長さの問題、
関数の交点が無理数になる場合で、
比較的難関と呼ばれる私立入試が多いです。

公立高校入試ではほとんどありません。
（関数の問題を文章問題と見るかどうかはどうでもいいです。）

公立高校入試の場合で解の公式を利用する問題は、
小問集合で解の公式の確認問題がほとんどです。

他の文章問題、例えば人数に関する問題は整数であるはずだし、
年齢、代金、濃度、道のりなどの問題で無理数になることはないでしょう。

いろいろな文章問題の答えだけを見て回ってみて下さい。
無理数が答えになる問題で、数えることができるものが関係する場合はないはずです。

だから２次方程式を解く場合は因数分解を利用することから考えましょう。

単なる「２次方程式を解きなさい。」という問題では「解の公式を使えますか？」、
ということがあるので小問集合では別ですよ。

なぜかというのは、単に時間を無駄にしないということなので、「明らかに解の公式だろう」と思われるときは因数分解を試す必要もありません。
解の公式で突っ走って下さい。
もし、「あ、因数分解できたんだ。」と後で気がついたら、因数分解して見直しにすればいいのです。

因数分解で２次方程式を解くのは無駄な時間を省くためです。
解の公式がダメといっているのではありません。

２次方程式を因数分解を利用して解くときのコツ

因数分解のコツは簡単です。

⇒　因数分解とは？公式がいらなくなる問題の解き方のポイント(中学3年)

これは「式の計算」で相当な練習をしてきたはずなので、くどくど言わず２次方程式を解いていきましょう。

\(x^2\) の係数が\(\,1\,\)で\(\,3\,\)項ある （\(x\) の\(\,1\,\)次の項もある）方程式の場合は因数分解を利用することを先ず考えましょう。

因数分解のコツは、定数項から見るんでしたよね。

定数項の\(\,35\,\)が整数の因数の積となるのは
　　\(\fbox{　1 × 35　}　\color{red}{\fbox{　5 × 7　}}\)
だけです。

この２つの組のうち足したり、引いたりして\(\,1\,\)次の項の係数\(\,-2\,\)になる組み合わせを探せばいいのです。
\(\,5\,\)と\(\,7\,\)で、\(\,7\,\)に－を付ければ、\(x\) の\(\,1\,\)次の係数(２つの数の和)が\(\,-2\,\)にります。

　\((x+5)(x-7)=0\)

　\(x+5=0\)　または　\(x-7=0\)　であれば左辺は\(\,0\,\)になるので、これらをを解けばいいのです。

　答え　\(\underline{x=-5\,,\,7}\)

これも（４）と同様に定数項「\(\,+20\,\)」から見ます。
\(\,+20\,\)なので「両方＋」か、「両方－」です。

　\(\fbox{　1 × 5　}　\fbox{　2 × 10　}　\color{red}{\fbox{　4 × 5　}}\)
のうちで\(\,x\,\)の\(\,1\,\)次の項の係数が\(\,-9\,\)になるのは、\(\fbox{　4 × 5　}\)の両方を「－」にするときで、

　\((x-4)(x-5)=0\)

これを解いて　\(\underline{x=4\,,\,5}\)

このように\(\,2\,\)次方程式でも因数分解のコツは同じです。

少し数字を大きくしてみましょう。

定数項を見ると「\(\,+108\,\)」です。
定数項が＋なので両方同じ符号（＋や－のこと）です。

積が\(\,108\,\)になる組み合わせは、
　\(\fbox{1×108}　\fbox{2×54}　\fbox{3×36}　\fbox{4×27}　\fbox{6×18}　\color{red}{\fbox{9×12}}　\)
この中で\(\,+21\,\)を作れるのは　\(\color{red}{9 と 12}\)　の組み合わせで、

　\((x+9)(x+12)=0\)　から答えは　\(\underline{x=-9\,,\,-12}\)

これは組み合わせが多く感じるかもしれませんが、
　\(\fbox{　1 × 108　}\)
　\(\fbox{　2 × 5　 }\)
　\(\fbox{　3 × 36　}\)
　\(\fbox{　4 × 27　}\)
　\(\fbox{　6 × 18　}\)
　\(\color{red}{\fbox{　9 × 12　}}\)
と縦に書き出すと、次は
　\(\fbox{ 12 × 9 }\) （左が右より大きくなったら終わり）
なので折り返した時点でやめればいいのです。

忘れがちな因数分解を利用する２次方程式（要注意）

因数分解の第一歩は？

共通因数を抜き出すことです。
これは高校生になっても変わりませんからね。

因数分解の前に、\(\,2\,\)次方程式だけでなく方程式では項をすべて左辺に集めることから始まります。
(１)の \(x^2=8^2\) ように左辺に集めなくてもできる方法もありますが、

⇒　２次方程式を平方根と文字の置きかえを利用して解く方法(中３)

左辺に集めることから始めるのです。
因数分解できなくても\(\,2\,\)次方程式の場合なら解の公式で全て処理できますからね。

　\(\begin{eqnarray}
7x^2&=&9x\\
7x^2-9x&=&0\\
x(7x-9)&=&0
\end{eqnarray}\)

ここで忘れていけないのは \(\color{red}{x=0}\) という解です。

上の\(\,2\,\)次方程式は　\(x=0\)　または　\(7x-9=0\)　で成り立ちます。

よって解は、\(\displaystyle \underline{x=0\,,\,\frac{9}{7}}\)　です。

この　\(x=0\)　を忘れる人が多いので注意しておきましょう。
普通は\(\,2\,\)次方程式の解は２つありますよ。

しかし次は解が１つしかない場合です。

左辺にすべての項があるので基本通り定数項「\(\,64\,\)」に着目します。
　\(\fbox{1×64}　\fbox{2×32}　\fbox{4×16}　\color{red}{\fbox{8×8}}\)　

この中で足して\(\,x\,\)の\(\,1\,\)次の項の係数\(\,+16\,\)になるのは　\(\color{red}{\fbox{8×8}}\)　です。

　\(\begin{eqnarray}
x^2+16x+64&=&0\\
(x+8)(x+8)&=&0\\
(x+8)^2&=&0
\end{eqnarray}\)

これは　\((x+8)(x+8)=0\)　を解くことで \(x=-8\) と \(x=-8\) のように同じ解が出てきます。
これを重解といいますが、1つの解を書くだけでいいです。

　（答え）\(\underline{x=-8}\)

もちろん　\((x+8)^2=0\)　を解いても　\(x=-8\)　です。

　\(A^2=0\)　となるのは　\(A=0\)　だけです。
（\(\,\mathrm{A=\pm 0}\,\)と書かないで下さい。\(\,\pm 0\,\)という表現は違った意味になります。）

ただし、重解は解２つと数えますので「\(\,2\,\)次方程式の解は２つ」、といつも考えておいて下さい。
　\(x=0\)　という解を忘れないためにです。

もう一つ、因数分解できなさそうで因数分解できる方程式をやっておきます。

これは実は平方根型の解き方で解は出ますが、因数分解もできるという問題です。

平方根を利用すると、
　\(\begin{eqnarray}
9x^2-49&=&0\\
9x^2&=&49\\
\displaystyle x^2&=&\frac{49}{9}\\
\displaystyle x&=&\pm \frac{7}{3}
\end{eqnarray}
\)

一方で、２次の項と定数項が平方数（二乗の数）なので因数分解もできます。

　\(\begin{eqnarray}
9x^2-49&=&0\\
(3x)^2-(7)^2&=&0\\
(3x+7)(3x-7)&=&0\\
\displaystyle x&=&-\frac{7}{3}\,,\,+\frac{7}{3}\\
&=&\pm \frac{7}{3}
\end{eqnarray}
\)

これは \(x^2\) の係数が \(1\) じゃないし、共通因数もないのでわかりにくいですが、
係数が平方数のときによく使う因数分解ですね。

ここでは　\(\color{red}{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}\)　を使ってます。

何度も言いますが、２次方程式では因数分解する方法から試す方がはやいです。
因数分解は計算問題だけじゃなく、方程式でも利用されるということです。

次は分数係数や小数係数を持つ\(\,2\,\)次方程式や、因数分解や解の公式を使う前の処理の仕方を説明しておきます。

中１の方程式でも詳しく説明してありますので、確認しておくといいです。

⇒　分数や小数が係数にある１次方程式の解き方と練習問題(中学1年)

高校の数学でも使うことなので今のうちに習得しておくと後が楽です。
普通に数学の勉強をしていれば身についているはずなのですが、
計算が遅いという人はこういった基本作業ができていないことが多いですよ。

確認できたら\(\,2\,\)次方程式の解を求める最終段階に入りましょう。

⇒　分数係数や両辺に項がある２次方程式を解く方法と手順(中３)

ここを見直しておけば後は解の公式を使うだけです。