2026年（令和8年度）鹿児島県公立高校入試数学問題の解説

2026年（令和8年度）鹿児島県公立高校入試数学問題の解説です。
出題分野に偏りはありませんので全範囲の基礎知識は必要です。
基本から標準まで問題はそろっていて応用は厳しくありませんが、
全体では量的に少なくはないので素早い処理が必要になります。

鹿児島県は教育委員会等の公式ページで問題を公開していません。
なので問題はご自身で入手して下さい。

問題は手元にあるということで解説をします。

2026年（令和8年度）鹿児島県公立高校入試数学問題の解説

問題は大問が５つあります。
試験時間は５０分ですが問題数は少なくはないので余裕があるわけではありません。
作業の手を止めずに問題の条件を手際よく処理していきましょう。

第１問小問集合その１

\(\color{black}{\fbox{\(\,\Large{1}\,\)}}\)
\(\,1\,\)
(1)
\(\hspace{10pt}13-2\times 4\\
=13-8\\
=\underline{　5　}\)

(2)
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{7}{8}\div \frac{3}{4}-\frac{1}{3}\\
\displaystyle =\frac{7}{8}\times \frac{4}{3}-\frac{1}{3}\\
\displaystyle =\frac{7}{6}-\frac{2}{6}\\
\displaystyle =\underline{\underline{　\frac{1}{6}　}}\)

(3)
\(\hspace{10pt}3\sqrt{2}-4\sqrt{3}\div \sqrt{6}\\
\displaystyle =3\sqrt{2}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\\
\displaystyle =3\sqrt{2}-\frac{4}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle =3\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\
=\underline{　\sqrt{2}　}\)

分母の有理化が先で良いですよ。
\(\hspace{10pt}\displaystyle 3\sqrt{2}-\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\\
\displaystyle =3\sqrt{2}-\frac{4\sqrt{18}}{6}\\
\displaystyle =3\sqrt{2}-\frac{12\sqrt{2}}{6}\\
=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\
=\sqrt{2}\)

ここまで説明は必要無いでしょう。

⇒　【無料】中学数学の計算問題集（無理数の計算）プリント解説付き

無理数の計算は練習次第で暗算できるところが変わります。
ただし、過度な暗算は全ての計算で禁物です。

(4)
割り切ることのできるいちばん大きい自然数、
それは最大公約数です。

方法はいくつかありますが中学生の方法と小学生の方法でやっておきます。
中学生：
\(\hspace{10pt}98=\color{red}{2}\times \color{red}{7}\times 7\)
\(\hspace{10pt}210=\color{red}{2}\times 3\times 5\times \color{red}{7}\)

素因数の最大かぶりが最大公約数です。

答え\(\,\underline{　14　}\,\)

小学生：
\(\hspace{10pt}\underline{\color{red}{2}\,)\,98\hspace{10pt}210}\\
\hspace{10pt}\underline{\color{red}{7}\,)\,49\hspace{10pt}105　}\\
\hspace{24pt}7\hspace{16pt}15\)

両方を割り切れなくなったところまでの左の因数の積が最大公約数です。

(5)
それぞれを関数で表せばわかります。
ア：\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{1}{2}\times 4\times x=\frac{1}{2}\,x\)
イ：\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{1}{3}\times x\times 12=\color{red}{4\,x}\)
ウ：\(\hspace{10pt}(x+4)\times 2=2x+8\)
エ：\(\hspace{10pt}x\times\,x=\color{red}{4\,x}\)

答え\(\hspace{10pt}\underline{　イ\,,\,エ　}\)

\(\,2\,\)
　\(\begin{eqnarray}
3x+9y&=&12\\
9y&=&12-3x\\
y&=&\frac{12-3x}{9}\\
y&=&\underline{\underline{　\frac{4-x}{3}　}}
\end{eqnarray}\)

等式変形の基本通りです。
\(\,3\,\)
直接代入しても算数で処理できますが、
　\(\begin{eqnarray}
25a^2-9b^2&=&(5a+3b)(5a-3b)\\
&=&(5\times 8+3\times 13)(5\times 8-3\times 13)\\
&=&(40+39)(\color{red}{40-39})\\
&=&\underline{　79　}
\end{eqnarray}\)

計算が楽になる方法があるのです。
無ければ問題になっていないでしょう。

\(\,5\,\)
角度を求めますのでわかるところから書き込んで行けば出ます。直径に対する円周角は当然利用します。
同一の弧に対する円周角が等しいことから
　\(\begin{eqnarray}
∠x&=&90°-56°\\
&=&\underline{　34°　}
\end{eqnarray}\)

三角形の内角の和からでも良いです。

\(\,5\,\)
これって、分野分けできない。
小学校の割合？
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{1208+1067}{5438}\\
\displaystyle =\frac{2275}{5438}\\
=0.418\cdots\)

答え\(\,\underline{　42　}％\,\)

第２問小問集合その２

\(\color{black}{\fbox{\(\,\Large{2}\,\)}}\)
ここでもいくつかの問題が別々にあります。
\(\,1\,\)
確率なので樹形図です。

２枚のカードを同時に引くのと、１枚ずつ引くのは同じです。
ここでは表で見ますが同じカードを引くことはないです。
（どちらを先に見ても良いです。）
　\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
1 & × & & ● & & \\ \hline
2 & & × & ● & & \\ \hline
3 & ● & ● & × & ● & ● \\ \hline
4 & & & ● & × & \\ \hline
5 & & & ● & & × \\ \hline
\end{array}\)
樹形図で見ることを前提にしていますが、
組み合わせで見るなら半分になります。

積が３の倍数になるのはどちらかが３になるときで、
それ以外は３の倍数になりません。

答え\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{12}{20}=\underline{\underline{　\frac{3}{5}　}}\)

\(\,2\,\)
反比例の関数\(\,②\,\)の比例定数を求めることになります。
本来ならグラフに書き込みながら見るべきですがここでは座標だけで済ませます。
（決してメンドクサイからではありません。）
自分でグラフに座標を書き込み、確認して下さい。

点\(\,\mathrm{A}\,\)は２つの関数の交点で\(\,x\,\)座標が\(\,1\,\)なので、
\(\,①\,\)の関数\(\,y=-x+9\,\)から
\(\hspace{10pt}\mathrm{A}\,(\,1\,,\,8\,)\)

\(\,②\,\)は\(\,\displaystyle y=\frac{a}{x}\,\)とおけて点\(\,\mathrm{A}\,\)を通るので、
　\(\begin{eqnarray}
a&=&x\times y\\
&=&1\times 8\\
&=&8
\end{eqnarray}\)

答え\(\hspace{10pt}\displaystyle \underline{\underline{　y=\frac{8}{x}　}}\)

\(\,3\,\)
作図です。
\(\,\mathrm{AP=BP}\,\)を満たすのは辺\(\,\mathrm{AB}\,\)の垂直二等分線上の点です。
\(\,\mathrm{∠APB=120°}\,\)にするには\(\,\mathrm{∠PAB=30°}\,\)となれば良いので、
正三角形の１つの角の二等分線を引けば終わりです。最初１つの半径で作図しましたが、
解答用紙の広さがわからないので修正します。
縦に\(\,\mathrm{AB}\,\)を上限下限とするように作図しておきます。あれ、解答用紙は左右にも限界があるのかな。
左右にも小さくしておきます。手順は、
\(\,①\,\)線分\(\,\mathrm{AB}\,\)の垂直二等分線を描く。
\(\,②\,\)頂点の１つを\(\,\mathrm{A}\,\)とする正三角形を作る。
\(\,③\,\)\(\,②\,\)で書いた正三角形の角の二等分線と\(\,①\,\)の垂直二等分線との交点を\(\,\mathrm{P}\,\)とする。

角の二等分線を作るときの半径は好きにしていいです。

⇒　作図問題集『さくっと！』

『さくっと！』を使い込むと手法が多くて迷うこともあります。笑

\(\,4\,\)
相似の証明です。頂点\(\,\mathrm{A}\,\)を挟む２辺の比がどちらも\(\,4:3\,\)です。
証明としては、
「\(\,\mathrm{△ABC}\,\)と\(\,\mathrm{△AED}\,\)において」と書き出すので
\(\hspace{10pt}\mathrm{AB:AE=AC:AD}=2:1\)
を言っておけば良いです。
（\(\,∠\mathrm{A}\,\)は共通）
相似条件は「２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」です。

⇒　中学の図形証明問題(合同･相似)の解き方と証明の書き方ポイント

証明は解答と一言一句同じでなければならない、ということはありません。
ルールはあるけど自分の書きやすい表現で構いません。

\(\,5\,\)
みかんでも何でも良いです。
連立方程式になりますが方程式を立てるときの着目点は「変わらないもの」。
変わらないものは袋の数とみかんの数です。
先ずは袋、
\(\hspace{10pt}x+y=13　･･･①\)
みかんの総数は変わりません。
大に\(\,8\,\)，小に\(\,4\,\)入れると\(\,7\,\)個残るので
\(\hspace{10pt}8x+4y+7　･･･㋐\)
大に\(\,10\,\)、小に\(\,5\,\)入れると全部入って小さい袋が\(\,2\,\)残る。
つまり小さい袋は\(\,y-2\,\)使って全部のみかんが入ったということです。
\(\hspace{10pt}10x+5(y-2)　･･･㋑\)
\(\,㋐㋑は\,\)等しいので
\(\hspace{10pt}8x+4y+7=10x+5(y-2)　･･･②\)

\(\,①②\,\)を連立して、
　\( \begin{cases}
\hspace{4pt} x+y=13\\
\hspace{4pt} 8x+4y+7=10x+5y-10
\end{cases}\)

これを解いて
\(\hspace{10pt}x=4\,,\,y=9\)

答え\(\,大きい袋\underline{　4　}枚、小さい袋\underline{　9　}枚\)

連立方程式の解き方は代入法でも加減法でもどちらでも良いです。

⇒　連立方程式の問題と解き方(加減法と代入法の選び方)

いずれにしても一文字消去です。

第３問データの活用

\(\color{black}{\fbox{\(\,\Large{3}\,\)}}\)
度数折れ線の読み取りは切りが無いので問題に沿っていきます。
\(\,1\,\)
今年のグラフは昨年のグラフより大きい階級側にずれているので、
合計時間は今年の方が多いといえそうです。累積相対度数が\(\,0.3\,\)のとき累積度数は\(25\times 0.3=7.5\)
これを超えない階級値は昨年は\(\,210\,\)、今年は\(\,270\,\)です。

答え
a\(\underline{　ウ　}\)
b\(\underline{　カ　}\)
c\(\underline{　キ　}\)

\(\,2\,\)
今度は箱ひげ図の読み取りです。全部を見ていきます。
ア：第１四分位数に着目しますが２５人のデータなのでわからない。×
イ：最大値は２月の方が大きい。○
ウ：箱ひげ図では平均値を『＋』と印しますがありませんのでわかりません。×
エ：四分位範囲は箱の幅で２月が大きい。○

答え\(\hspace{4pt}\underline{　イ\,,\,エ　}\)

\(\,3\,\)
今度は個別データと箱ひげ図です。
(1)
代表値とは「平均値」「中央値」「最頻値」のことで、
中央値はデータを小さい順に並べてまん中に位置する値になります。
\(\hspace{4pt}10\,,\,20\,,\,30\,,\,40\,,\,\color{red}{50}\,,\,70\,,\,80\,,\,80\,,\,90\)
\(\,9\,\)人のデータなので\(\,\color{red}{5}\,\)番目が中央値になります。

答え\(\hspace{4pt}\underline{　50　}分\)
(2)
\(\,\mathrm{J}\,\)さんを除いた\(\,9\,\)人のデータ
\(\hspace{4pt}10\,,\,\color{blue}{20}\,,\,\color{blue}{30}\,,\,40\,,\,\color{red}{50}\,,\,70\,,\,\color{magenta}{80}\,,\,\color{magenta}{80}\,,\,90\)
をもとに箱ひげ図を書いて、\(\,\mathrm{J}\,\)さんを加えた箱ひげ図と比べてみます。中央値と第３四分位数が大きくなっていることから\(\,\mathrm{J}\,\)さんの値は、
中央値が\(\,60\,\)となることから\(\,70\,\)以上です。

\(\,10\,\)人の値の中央値は\(\,5\,\)番目と\(\,6\,\)番目の平均になるので、
\(\,50\,\)と\(\,70\,\)が\(\,5\,,\,6\,\)番目にあるはずだからです。

\(\,\mathrm{J}\,\)さんの値は\(\,70\,\)か\(\,80\,\)か\(\,90\,\)で、
最も小さいのは\(\,70\,\)分。

答え\(\hspace{4pt}\underline{　70　}分\)

\(\,\mathrm{J}\,\)さんの値として箱ひげ図が一致するものを試していくのも良いですね。
\(\,10\,\)人のデータを並べて箱ひげ図を書きます。
\(\hspace{4pt}10\,,\,20\,,\,\color{blue}{30}\,,\,40\,,\,\color{red}{50}\,,\,\color{red}{70}\,,\,\color{green}{\large{70}}\,,\,\color{magenta}{80}\,,\,80\,,\,90\)
\(\hspace{4pt}10\,,\,20\,,\,\color{blue}{30}\,,\,40\,,\,\color{red}{50}\,,\,\color{red}{70}\,,\,\color{green}{\large{80}}\,,\,\color{magenta}{80}\,,\,80\,,\,90\)
\(\hspace{4pt}10\,,\,20\,,\,\color{blue}{30}\,,\,40\,,\,\color{red}{50}\,,\,\color{red}{70}\,,\,80\,,\,\color{magenta}{80}\,,\,\color{green}{\large{90}}\,,\,90\)
どれも四分位数は変わりません。

(3)
最初の\(\,9\,\)人のデータは
\(\hspace{4pt}10\,,\,\color{blue}{20}\,,\,\color{blue}{30}\,,\,40\,,\,\color{red}{50}\,,\,70\,,\,\color{magenta}{80}\,,\,\color{magenta}{80}\,,\,90\)
という最小値、最大値、四分位数の位置でした。
入れかえた後は第１四分位数と中央値が変わっています。
第１四分位数：\(\color{blue}{35}\)、中央値：\(\,\color{red}{60}\,\)第１四分位数\(\,\color{blue}{35}\,\)から２番目３番目の値は\(\,30\,\)と\(\,40\,\)になっているはずなので、
入れかわったのは\(\,20\,\)の\(\,\mathrm{I}\,\)さんで、
\(\,\mathrm{K}\,\)さんの値は中央値を\(\,\color{red}{60}\,\)にする\(\,60\,\)ということになります。
\(\hspace{4pt}10\,,\,\color{blue}{30}\,,\,\color{blue}{40}\,,\,50\,,\,\color{red}{60}\,,\,70\,,\,\color{magenta}{80}\,,\,\color{magenta}{80}\,,\,90\)

答え：入れかえたのは\(\,\underline{　\mathrm{I}　}\,\)さん、\(\,\mathrm{K}\,\)さんの値は\(\,\underline{　60　}\,\)分

第４問関数

\(\color{black}{\fbox{\(\,\Large{4}\,\)}}\)
放物線が２つあり、これらは固定の関数です。
\(\hspace{10pt}\displaystyle y=x^2\)
\(\hspace{10pt}\displaystyle y=-\frac{1}{3}\,x^2\)四角形\(\,\mathrm{ABCD}\,\)は長方形です。
\(\,1\,\)
点\(\,\mathrm{A}\,\)の\(\,y\,\)座標が\(\,4\,\)のとき、
　\(\begin{eqnarray}
4&=&x^2\\
x&=&\pm 2
\end{eqnarray}\)
　
点\(\,\mathrm{A}\,\)の\(\,x\,\)座標は\(\,-2\,\)で、
\(\hspace{10pt}\mathrm{A}\,(\,-2\,,\,4\,)\)
点\(\,\mathrm{D}\,\)は点\(\,\mathrm{A}\,\)と\(\,y\,\)座標が同じなので、
\(\,x=2\,\)が点\(\,\mathrm{D}\,\)の\(\,x\,\)座標になります。
\(\hspace{10pt}\mathrm{D}\,(\,2\,,\,4\,)\)
点\(\,\mathrm{C}\,\)は点\(\,\mathrm{D}\,\)と\(\,x\,\)座標が同じで、
もう１つの放物線\(\displaystyle \,y=-\frac{1}{3}\,x^2\,\)上の点なので
　\(\begin{eqnarray}
y&=&-\frac{1}{3}\times (\,2\,)^2\\
&=&-\frac{4}{3}
\end{eqnarray}\)

答え\(\hspace{10pt}\displaystyle \underline{\underline{　\left(\,2\,,\,-\frac{4}{3}\,\right)　}}\)

\(\,2\,\)
(1)
点\(\,\mathrm{A}\,\)の\(\,x\,\)座標を\(\,-3\,\)としたときの辺\(\,\mathrm{AB}\,\)の長さを求めます。
座標だけで十分でしょう。
点\(\,\mathrm{A}\,(\,-3\,,\,9\,)\,\)
点\(\,\mathrm{B}\,(\,-3\,,\,-3\,)\,\)

辺\(\,\mathrm{AB}\,\)の長さは\(\,y\,\)座標の差になるので
\(\hspace{10pt}9-(-3)=\underline{　12　}\)

(2)
\(\hspace{4pt}\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{5}{6}\,\mathrm{BC}\)
となるときの点\(\,\mathrm{A}\,\)の\(\,x\,\)座標を\(\,t\,\)とします。
\(\hspace{10pt}\,\mathrm{A}\,(\,t\,,\,t^2\,)\,\)
点\(\,\mathrm{B}\,\)は点\(\,\mathrm{A}\,\)と\(\,x\,\)座標が同じです。
\(\hspace{10pt}\displaystyle \,\mathrm{B}\,\left(\,t\,,\,-\frac{1}{3}\,t^2\,\right)\)
点\(\,\mathrm{C}\,\)は点\(\,\mathrm{B}\,\)と\(\,x\,\)座標の符号が逆になります。
\(\hspace{10pt}\displaystyle \,\mathrm{C}\,\left(\,-t\,,\,-\frac{1}{3}\,t^2\,\right)\,\)辺\(\,\mathrm{AB}\,\)は\(\,y\,\)座標の差から
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AB}&=&t^2-\left(\,-\frac{1}{3}\,t^2\,\right)\\
&=&\color{red}{\frac{4}{3}\,t^2}
\end{eqnarray}\)
辺\(\,\mathrm{BC}\,\)は\(\,x\,\)座標の差から
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{BC}&=&-t-t\\
&=&\color{blue}{-2t}
\end{eqnarray}\)

これらから\(\,\displaystyle \mathrm{AB}=\frac{5}{6}\,\mathrm{BC}\,\)を満たすとき
　\(\begin{eqnarray}
\color{red}{\frac{4}{3}\,t^2}&=&\frac{5}{6}\times (\color{blue}{-2\,y})\\
4\,t^2&=&-5\,t\\
4\,t^2+5\,t&=&0\\
t\,(\,4t+5\,)&=&0\\
t&=&0\,,\,-\frac{5}{4}
\end{eqnarray}\)
\(\,t=0\,\)は不適です。

答え\(\hspace{4pt}\displaystyle \underline{\underline{　-\frac{5}{4}　}}\)

\(\,3\,\)
点\(\,\mathrm{B}\,\)を通る１次関数が加わります。
\(\,\mathrm{△ABP}\,\)の面積が長方形\(\,\mathrm{ABCD}\,\)の\(\displaystyle \,\frac{1}{3}\,\)になるときです。実際とは違ってきますが問題にある縮尺のグラフで考えていきます。
考え方はいろいろありますが問題の順に見ていきましょう。
(1)
点\(\,\mathrm{A}\,\)の\(\,x\,\)座標が\(\,-6\,\)のときです。
それぞれ座標を表すと
\(\hspace{10pt}\mathrm{A}\,(\,-6\,,\,36\,)\)
\(\hspace{10pt}\mathrm{B}\,(\,-6\,,\,-12\,)\)
\(\hspace{10pt}\mathrm{C}\,(\,6\,,\,-12\,)\)
\(\hspace{10pt}\mathrm{D}\,(\,6\,,\,36\,)\)方針としては大きく２つ。
\(\,①\,\)具体的な面積を利用する方法。
\(\,②\,\)面積を分割して比を出す方法。
どちらでも良いですが両方やっておきます。

具体的な面積を利用する方法

点\(\,\mathrm{P}\,\)の\(\,x\,\)座標を\(\,t\,\)とすると\(\,y\,\)座標は\(\,\mathrm{A\,,\,D}\,\)と同じで
\(\hspace{10pt}\mathrm{P}\,(\,t\,,\,36\,)\)
底辺を\(\,\mathrm{AB}\,\)、高さを\(\,\mathrm{AP}\,\)とみます。
\(\hspace{10pt}\mathrm{AP}=t-(-6)=\color{red}{t+6}\)このことから
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{△ABP}&=&\frac{1}{3}\times (\,長方形\mathrm{ABCD}\,)\\
\frac{1}{2}\times 48\times (t+6)&=&\frac{1}{3}\times 48\times 12\\
24\times (t+6)&=&48\times 4\\
t+6&=&8\\
t&=&2
\end{eqnarray}\)

点\(\,\mathrm{P}\,\)の座標は\(\,(\,2\,,\,36\,)\)となります。
直線\(\,\mathrm{BP}\,\)の式は２点
\(\hspace{10pt}\mathrm{B}\,(\,-6\,,\,-12\,)\)
\(\hspace{10pt}\mathrm{P}\,(\,2\,,\,36\,)\)
を通るので
　\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{48}{8}\,(\,x-2\,)+36\\
&=&\underline{　6\,x+24　}
\end{eqnarray}\)

答え\(\hspace{4pt}\underline{　y=6\,x+24　}\)

⇒　変化の割合とは？1次関数の求め方と直線の方程式との違い

１次関数はできるだけ早くの求められる方法を覚えておいた方が良いです。

面積を分割して比を出す方法

四角形\(\,\mathrm{ABCD}\,\)の面積は対角線\(\,\mathrm{BD}\,\)で２等分されます。
だから点\(\,\mathrm{P}\,\)で分割するとき、
\(\,\mathrm{AP:PD=2:1}\,\)
となるように点\(\,\mathrm{P}\,\)を取れば\(\,\mathrm{△ABP}\,\)の面積は\(\displaystyle \,\frac{1}{3}\,\)となります。つまり点\(\,\mathrm{P}\,\)の\(\,x\,\)座標が\(\,2\,\)のとき
\(\hspace{10pt}\mathrm{AP:PD}=8:4=2:1\)
となるので点\(\,\mathrm{P}\,\)の座標が
\(\hspace{10pt}\mathrm{P}\,(\,2\,,\,36\,)\)

点\(\,\mathrm{B}\,\)の座標は書き出していると思うので、
２点\(\,\mathrm{B\,,\,P}\,\)を通る直線が答えです。

答え\(\hspace{4pt}\underline{　y=6\,x+24　}\)

⇒　三角形の面積を直線が二等分する2つのパターン

二等分する場合でも方針としては同じですが、
どちらかと言えば座標を設定する方が機械的に求める事ができます。

(2)
\(\,\mathrm{△ABP}\,\)の面積が長方形\(\,\mathrm{ABCD}\,\)の面積の\(\displaystyle \,\frac{1}{3}\,\)となるときであることは変わりません。

直線\(\,\mathrm{BP}\,\)の傾きが\(\,9\,\)となるとき、
点\(\,\mathrm{A}\,\)の座標を求めます。点\(\,\mathrm{A}\,\)の\(\,x\,\)座標を\(\,t\,\)とおいても良いのですが、
点\(\,\mathrm{D}\,\)の\(\,x\,\)座標を\(\,-t\,\)と表すことになりややこしいので、
\(\,t＞0\,\)として点\(\,\mathrm{A}\,\)の\(\,x\,\)座標を\(\,-t\,\)とします。
\(\hspace{10pt}\mathrm{A}\,(\,-t\,,\,t^2\,)\)
\(\hspace{10pt}\displaystyle \mathrm{B}\,\left(\,-t\,,\,-\frac{1}{3}\,t^2\,\right)\)
\(\hspace{10pt}\mathrm{D}\,(\,t\,,\,t^2\,)\)線分\(\,\mathrm{AD}\,\)の長さは\(\,\color{red}{2\,t}\,\)なので、
線分\(\,\mathrm{AP}\,\)の長さは
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AP}&=&\mathrm{AD}\times \frac{2}{3}\\
&=&2\,t\times \frac{2}{3}\\
&=&\color{red}{\frac{4}{3}\,t}
\end{eqnarray}\)
（比がわからないときは(1)を見直しておいて下さい。）

線分\(\,\mathrm{AB}\,\)の長さは\(\,y\,\)座標の差なので
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AB}&=&t^2-\frac{1}{3}\,t^2\\
&=&\color{blue}{\frac{4}{3}\,t^2}
\end{eqnarray}\)このことから
　\(\begin{eqnarray}
\frac{4}{3}\,t:\frac{4}{3}\,t^2&=&1:9\\
t^2&=&9t\\
t(t-9)&=&0\\
t&=&0\,,\,9
\end{eqnarray}\)
\(\,t=0\,\)は不適で\(\,t=9\,\)

よって求める点\(\,\mathrm{A}\,\)の座標は
\(\hspace{10pt}\mathrm{A}\,\underline{　(\,-9\,,\,81\,)　}\)

第５問図形総合

\(\color{black}{\fbox{\(\,\Large{5}\,\)}}\)
もとの立体は底面が正方形の四角柱です。\(\,1\,\)
\(\hspace{10pt}\mathrm{BI=BF}\,,\,\mathrm{AJ=AE}\)
となるように点\(\,\mathrm{I\,,\,J}\,\)をとります。辺\(\,\mathrm{AI=12}\,\)であり、辺\(\,\mathrm{BC=6}\,\)なので、
三角形\(\,\mathrm{BCI}\,\)は三角定規です。(1)
線分\(\,\mathrm{CI}\,\)の長さは三角定規の比から
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{BC:CI}&=&1:\sqrt{3}\\
6:\mathrm{CI}&=&1:\sqrt{3}\\
\mathrm{CI}&=&6\sqrt{3}
\end{eqnarray}\)

答え\(\hspace{4pt}\mathrm{CI}=\underline{　6\sqrt{3}　}\mathrm{cm}\)

(2)
三角柱\(\,\mathrm{ADJ-BCI}\,\)の体積を求めます。求める体積\(\,V\,\)は
　\(\begin{eqnarray}
V&=&\frac{1}{2}\times 6\times 6\sqrt{3}\times 6\\
&=&108\sqrt{3}
\end{eqnarray}\)

答え\(\hspace{4pt}\underline{　108\sqrt{3}　}\mathrm{cm^3}\)

(3)
今度は角度です。\(\,\mathrm{△BFI}\,\)が二等辺三角形なので底角が\(\,75°\,\)となり、
\(\,\mathrm{△BCI}\,\)は三角定規なので
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{∠FIG}&=&180°-(30°+75°)\\
&=&75°
\end{eqnarray}\)

答え\(\hspace{4pt}\mathrm{∠FIG}=\underline{　75　}度\)

\(\,2\,\)
正四角柱に戻り辺\(\,\mathrm{ＡＤ\,,\,ＣＤ}\,\)の中点をそれぞれ\(\,\mathrm{M\,,\,N}\,\)とし、
内部にある面と対角線\(\,\mathrm{BH}\,\)との交点が\(\,\mathrm{P\,,\,Q}\,\)です。(1)
\(\,\mathrm{BP:PH}\,\)を求めます。

対角線\(\,\mathrm{BH}\,\)は面\(\,\mathrm{BFHD}\,\)上にあるので面を抜き出します。頂点\(\,\mathrm{A\,,\,C}\,\)が重なるように見ると相似で、
底面の対角線\(\,\mathrm{BD}\,\)の半分と対角線\(\,\mathrm{FH}\,\)の比になっています。
\(\hspace{10pt}\mathrm{BP:PH}=\underline{　1:2　}\)

実際の長さは\(\,\mathrm{BD}=\mathrm{FH}=6\sqrt{2}\,\)、
その半分が\(\,3\sqrt{2}\,\)となりますが相似比は変わりませんので、
長さは求めても求めなくても良いです。

ただし、(2)で使うなら出しておくと良いですね。

(2)
線分\(\,\mathrm{PQ}\,\)の長さを求めます。(1)と同じく\(\,\mathrm{BH}\,\)は面\(\,\mathrm{BFHD}\,\)上にあります。\(\,\mathrm{BD\,,\,FH}\,\)の中点をそれぞれ\(\,\mathrm{R\,,\,S}\,\)とし、
\(\,\mathrm{M\,,\,N}\,\)の中点を\(\,\mathrm{T}\,\)とすると
(1)から\(\,\mathrm{BP:PH=\color{red}{1}:\color{red}{2}}\,\)です。

\(\,\mathrm{△BQT}\,\)∽\(\,\mathrm{△HQS}\,\)で相似比は\(\,\mathrm{BT:HS=3:2}\,\)なので、
\(\hspace{10pt}\,\mathrm{BQ:QH}=\color{blue}{3}:\color{blue}{2}\,\)全体となる\(\,\mathrm{BH}\,\)を\(\,①\,\)としても良いのですが、
比の和\(\,\color{blue}{⑤}\,\)と\(\,\color{red}{③}\,\)の最小公倍数の\(\,\large{⑮}\,\)とします。
（公倍数なら何でも良いです。）直方体の対角線\(\,\mathrm{BH}\,\)の長さは
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{BH}&=&\sqrt{\mathrm{BF^2+FG^2+GH^2}}\\
&=&\sqrt{12^2+6^2+6^2}\\
&=&\sqrt{216}\\
&=&6\sqrt{6}
\end{eqnarray}\)
よって、
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{PQ}&=&\frac{4}{15}\times \mathrm{BH}\\
&=&\frac{4}{15}\times 6\sqrt{6}\\
&=&\underline{\underline{　\frac{8}{5}\sqrt{6}　}}\mathrm{cm}
\end{eqnarray}\)