2026年（令和8年度）秋田県公立高校入試数学の問題と解説です。
受験する学校での指定問題があるのは受験者の方は知っていると思いますが注意して下さい。
問題自体は基本から標準（ちょっとした応用）となりますが、
誘導がしっかりあるので基本の確認から総復習には良い問題です。
2026年（令和8年度）秋田県公立高校入試数学の問題
令和８年度秋田県の問題です。
大問は５つ、選択問題があるので受験の際は注意してください。
2026年（令和8年度）秋田県公立高校入試数学の解説
解説は簡単にすませますので、不明な点はご質問下さい。
※
長さの単位が\(\,\mathrm{cm}\,\)のときは省略します。
第１問小問集合その１
\(\,\Large{1}\,\)
(1)
\(\hspace{10pt}-5+3\times 4\\
=-5+12\\
=\underline{ 7 }\)
掛け算部分が先です。
(2)
\(\hspace{10pt}2(x-6)-(x-8)\\
=2x-12-x+8\\
=\underline{ x-4 }\)
計算ミスを減らしたいなら
２行目を省略しないよいにすると良いです。
(3)
\(\hspace{10pt}\displaystyle 2\sqrt{6}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle =2\sqrt{6}-\frac{3\sqrt{6}}{2}\\
\displaystyle =\frac{4\sqrt{6}-3\sqrt{6}}{2}\\
\displaystyle =\underline{\underline{ \frac{\sqrt{6}}{2} }}\)
無理数計算と分数計算の基本通りの作業です。
⇒ 【無料】中学数学の計算問題集（無理数の計算）プリント解説付き
無理数計算に限らず過度な暗算はさけましょう。
(4)
２０以下の素数を数えれば良いだけです。
\(\hspace{4pt}2\,,\,3\,,\,5\,,\,7\,,\,11\,,\,13\,,\,17\,,\,19\,\)
答え\(\,\underline{ 8 }個\,\)
⇒ 素数とは？素因数分解の方法と平方根の求め方(ルートの使い方準備)
素数とは何か、定義を忘れずに。
(5)
１次方程式を解きます。
\(\begin{eqnarray}
2x+1&=&-3x-9\\
2x+3x&=&-9-1\\
5x&=&-10\\
x&=&\underline{ -2 }
\end{eqnarray}\)
移項さえ気をつければ問題ないでしょう。
(6)
２次方程式です。
\(\begin{eqnarray}
x^2&=&9x\\
x^2-9x&=&0\\
x(x-9)&=&0\\
x&=&\underline{ 0\,,\,9 }
\end{eqnarray}\)
\(\,x=0\,\)も解です。
(7)
連立方程式です。
\( \begin{cases}
\hspace{4pt} 2x-5y=8\\
\hspace{4pt} y=\color{red}{3x+1}
\end{cases}\)
代入法が早いでしょう。
下の方程式を上の方程式に代入します。
\(\begin{eqnarray}
2x-5(\color{red}{3x+1})&=&8\\
2x-15x-5&=&8\\
-13x&=&13\\
x&=&-1
\end{eqnarray}\)
これを下の方程式に戻します。
\(\begin{eqnarray}
y&=&3(\,-1\,)+1\\
&=&-3+1\\
&=&-2
\end{eqnarray}\)
答え\(\hspace{4pt}\underline{ x=-1\,,\,y=-2 }\)
(8)
不等式の表現です。
答え\(\hspace{4pt}\underline{ 2.5\,≦\,a\,＜\,3.5 }\)
⇒ 近似値とは？誤差の大きさと真の値の範囲の表し方(中１資料の活用)
中学一年では無くなっているかもしれないけど、
高校でも必要な近似値と有効数字は忘れないように復習しておきましょう。
(9)
直接代入する算数はやめて欲しいところです。
\(\hspace{10pt}x=\color{red}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\)
\(\hspace{10pt}y=\color{blue}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\)
与式（求値式）を先に変形します。
\(\hspace{10pt}x^2+y^2+2xy\\
=(\,x+y\,)^2\)
上の条件式から
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
x+y&=&(\color{red}{\sqrt{5}+\sqrt{2}})+(\color{blue}{\sqrt{5}-\sqrt{2}})\\
&=&2\sqrt{5}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
x^2+y^2+2xy&=&(\,x+y\,)^2\\
&=&(\,2\sqrt{5}\,)^2\\
&=&\underline{ 20 }
\end{eqnarray}\)
条件式と与式どちらを先に変形するのかはどちらでも良いですが、
条件式から与式変形のポイントはおおよそは推測できます。
(10)
正の整数なので自然数です。
\(\hspace{10pt}\sqrt{n^2+15}\)
これが整数になるのはいくらでもあるような気がしますが、
実は限られています。
\(\hspace{10pt}\sqrt{n^2+15}=k\)
とおいて両辺正の数なので平方します。
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
(\,\sqrt{n^2+15}\,)^2&=&k^2\\
n^2+15&=&k^2\\
n^2-k^2&=&-15\\
(\color{red}{n+k})(\color{blue}{n-k})&=&-15
\end{eqnarray}\)
左辺の因数は全て整数なので組み合わせは
\(\hspace{4pt}(\color{red}{1}\,,\,\color{blue}{-15})\,,\,(\color{red}{3}\,,\,\color{blue}{-5}\,)\,(\color{red}{5}\,,\,\color{blue}{-3})\,,\,(\color{red}{15}\,,\,\color{blue}{-1})\)
しかありません。（\(\,(\,\color{blue}{n-k}\,)\,\)の方が小さい。）
後は条件を満たすか確かめていきます。
\(\hspace{4pt}(1\,,\,-15)\)のとき
\(\hspace{4pt}n+k=1\)
\(\hspace{4pt}n-k=-15\)
辺々足すと（左辺が\(\,2n\,\)になることを確認しておいて下さい。）
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
2n&=&-14
\end{eqnarray}\)
正の整数ではありません。
同じように調べます。
\(\hspace{4pt}(3\,,\,-5)\)のとき
\(\begin{eqnarray}
2n&=&-2
\end{eqnarray}\)
正の整数ではありません。
\(\hspace{4pt}(5\,,\,-3)\)のとき
\(\begin{eqnarray}
2n&=&2\\
n&=&1
\end{eqnarray}\)
条件を満たします。
\(\hspace{4pt}(15\,,\,-1)\)のとき
\(\begin{eqnarray}
2n&=&14\\
n&=&7
\end{eqnarray}\)
条件を満たします。
答え\(\hspace{4pt}n=\underline{ 1\,,\,7 }\,\)
(11)
角度を求めますが、
四角形なので内角の和でも外角の和でもどちらでも良いです。
内角からだと
\(\hspace{10pt}70+95+122=287\)
これから残りの内角の数値は
\(\hspace{10pt}360-287=73\)
よって、
\(\begin{eqnarray}
∠x&=&180°-73°\\
&=&\underline{ 107 }°
\end{eqnarray}\)
外角からだと
\(\begin{eqnarray}
∠x&=&360°-(110°+85°+58°)\\
&=&\underline{ 107 }°
\end{eqnarray}\)
求めるのが外角なので外角から進めるというのもありますが、
内角を求める場合でも（角数が多くなっても）、
外角に注目すると\(\,360\,\)より小さな計算ですみます。
(12)
同一円周上の点なので円周角が等しくなるところがあります。
三角形の１つの外角は他の内角の和になる性質を利用します。
\(\,\mathrm{∠ADB}=∠x+30°\,\)なので
\(\hspace{10pt}∠y=∠x+30°\)
よって、
\(\begin{eqnarray}
x+(x+30)&=&80\\
2x&=&50\\
x&=&25
\end{eqnarray}\)
このとき
\(\begin{eqnarray}
y&=&30+x\\
&=&30＋25\\
&=&55
\end{eqnarray}\)
答え\(\hspace{4pt}∠x=\underline{ 25 }°\,,\,∠y=\underline{ 55 }°\)
(13)
回転体の表面積です。
球を切った半球になりますが切り口の円を忘れないように注意です。
球面の表面積\(\,S_1\,\)は
\(\begin{eqnarray}
S_1&=&4\,\pi\,(\,2\,)^2\times \frac{1}{2}\\
&=&8\,\pi
\end{eqnarray}\)
切り口の円の面積\(\,S_2\,\)は
\(\begin{eqnarray}
S_2&=&\pi\,(\,2\,)^2\\
&=&4\,\pi
\end{eqnarray}\)
求める表面積\(\,S\,\)は
\(\begin{eqnarray}
S&=&S_1+S_2\\
&=&8\,\pi+4\,\pi\\
&=&\underline{ 12\,\pi }\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray}\)
球においては展開図が書けません。
球に関する公式は小学生でも知っていますが必ず覚えておきましょう。
(14)
これは三角定規が思い浮かぶので\(\,\mathrm{AD}\,\)を延長します。
直線\(\,\mathrm{AD}\,\)と直線\(\,\mathrm{BC}\,\)の交点を\(\,\mathrm{E}\,\)とすると、
\(\hspace{10pt}\mathrm{AE}=\color{blue}{12}\,,\,\mathrm{BE}=\color{blue}{6\sqrt{3}}\)
\(\,\mathrm{△ABE}\,\)∽\(\,\mathrm{△CDE}\,\)で
\(\hspace{10pt}\mathrm{CE}=6\sqrt{3}-4\)
なので
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AE:BA}&=&\mathrm{CE:DC}\\
\color{blue}{12}:\color{red}{6}&=&(6\sqrt{3}-4):\mathrm{DC}\\
12\times \mathrm{DC}&=&6\times (6\sqrt{3}-4)\\
\mathrm{DC}&=&\underline{\underline{ 3\sqrt{3}-2 }}\mathrm{cm}
\end{eqnarray}\)
四角形\(\,\mathrm{ABCD}\,\)は円に内接しますが遠回りな気がするのでパス。
(15)
四角形\(\,\mathrm{APQC}\,\)の面積です。
四角形は等脚台形で、
\(\,\mathrm{AC\,,\,PQ}\,\)は直角二等辺三角形の斜辺になるので、
\(\hspace{10pt}\mathrm{AC}=\color{red}{2\sqrt{2}}\,,\,\mathrm{PQ}=\color{blue}{\sqrt{2}}\)
線分\(\,\mathrm{AP}\,\)は直角三角形の斜辺になるので
\(\hspace{10pt}\mathrm{AP}=\sqrt{5}\)
点\(\,\mathrm{P\,,\,Q}\,\)から\(\,\mathrm{AC}\,\)に垂線を下ろした交点を\(\,\mathrm{R\,,\,S}\,\)とすると
\(\hspace{10pt}\displaystyle \mathrm{RS}=\color{blue}{\sqrt{2}}\,,\,\mathrm{AR=CS}=\color{red}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
さんざん使ってきておいて今さらですが、
三平方の定理から
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AR^2+PR^2}&=&\mathrm{AP^2}\\
\left(\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\mathrm{PR^2}&=&(\,\sqrt{5}\,)^2\\
\frac{1}{2}+\mathrm{PR^2}&=&5\\
\mathrm{PR^2}&=&\frac{9}{2}\\
\mathrm{PR}&=&\pm \frac{3}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray}\)
長さなので正の平方根をとって
\(\hspace{10pt}\displaystyle \mathrm{PR}=\color{magenta}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\)
台形の高さが出たので四角形の面積\(\,S\,\)が求まります。
\(\begin{eqnarray}
S&=&\frac{\color{red}{2\sqrt{2}}+\color{blue}{\sqrt{2}}}{2}\times \color{magenta}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\\
&=&\frac{3\sqrt{2}}{2}\times \frac{3\sqrt{2}}{2}\\
&=&\frac{18}{4}\\
&=&\underline{\underline{ \frac{9}{2} }}\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray}\)
ダラダラ説明していますが、
次々と作業を続けていればそれ程時間はかかりません。
第２問小問集合その２
\(\,\Large{2}\,\)
(1)
変化の割合が常に一定になるのは直線です。
ここでは１次関数で傾きが\(\,-2\,\)になっているのが答えです。
答え\(\hspace{4pt}\underline{ エ\,,\,カ }\)
(2)
合同の証明と角度の大きさを求めます。
①
\(\hspace{4pt}\displaystyle \stackrel{\Large{\frown}}{\mbox{AC}} = \stackrel{\Large{\frown}}{\mbox{BD}}\,\)のとき、
\(\hspace{10pt}\displaystyle \mathrm{△ABC}\,\)≡\(\,\mathrm{△BAD}\,\)を証明します。
直角三角形の斜辺と1つの鋭角が等しくなります。
証明は\(\,\mathrm{△ABC}\,\)≡\(\,\mathrm{△BAD}\,\)の順番通りに入れていけば良いだけです。
ア：\(\,\mathrm{∠ABC=∠BAD}\,\)
イ：\(\,\mathrm{∠ACB=∠BDA}=90°\)
ウ：「直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい」
②
\(\hspace{4pt} \stackrel{\Large{\frown}}{\mbox{AC}}:\stackrel{\Large{\frown}}{\mbox{AB}}=1:5\,\)のとき、
弧\(\,\mathrm{AB}\,\)は半円で円周角は\(\,90°\,\)なので
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{∠ABC}&=&90°\times \frac{1}{5}\\
&=&\underline{ 18 }°
\end{eqnarray}\)
(3)
最高気温のデータですが年度と度数だけを見ていきます。
①
ヒストグラムを見ます。
\(\,\mathrm{30°C}\,\)以上の日数は、
\(\,2005\,\)年\(\,\color{red}{1}\,\)、\(\,2015\,\)年\(\,\color{blue}{12}\,\)、\(\,2025\,\)年\(\,\color{magenta}{26}\,\)です。
答え
a：\(\,\underline{ 11 }\,\)
b：\(\,\underline{ 14 }\,\)
(4)
今度は箱ひげ図を見ます。
ア：どちらも\(\,28\,\)で等しい。○
イ：中央値は等しいですが、範囲は違います。×
※範囲は「\(\,（最大値）－（最小値）\,\)」です。
ウ：四分位範囲が最も小さいのが\(\,2025\,\)年です。×
※四分位範囲は『（第３四分位数）－（第１四分位数）』です。
エ：中央値も最大値も\(\,2025\,\)年が最も大きい。○
答え\(\hspace{4pt}\underline{ ア\,,\,エ }\)
(4)
作図です。
２辺と距離が等しい点の集まりが角の二等分線です。
角の二等分線の性質、作図は作図の基本３選に入ります。
作図と言うより図形の知識として基本中の基本です。
第３問周期と文字式
\(\,\Large{3}\,\)
規則性というか周期を見ていけば良いです。
(1)
周期は\(\,4\,\)なので\(\,10\,\)行の\(\,4\,\)列目を見ると\(\,\color{red}{40}\,\)です。
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
&\,\,1\,列目\,\,&\,\,2\,列目\,\, & \,\,3\,列目\, \,& \,\,4\,列目 \,\, \\ \hline
\,\,1\,行目\,\,& 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
\,\,2\,行目\,\, & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline
\,\,10\,行目 \,\,& 37 & 38 & \color{blue}{39} & \color{red}{40 }\\ \hline
\end{array}\)
その１つ前なので３９となります。
答え\(\hspace{4pt}\underline{ 39 }\)
(2)
①
表２、つまり周期５の表です。
どこでも良いのですが４つの囲まれる数字を文字で表します。
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
&\,\,1\,列目\,\,&\,\,2\,列目\,\, & \,\,3\,列目\, \,& \,\,4\,列目 \,\, & \,\,5\,列目\, \,\\ \hline
\,\,1\,行目\,\,& 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline
\,\,2\,行目\,\, & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ \hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \hline
& a-2 & a-1 & \color{red}{a} & \color{blue}{a+1} & a+2 \\ \hline
& a+3 & a+4 & \color{red}{a+5} & \color{blue}{a+6} & a+7 \\ \hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline
\end{array}\)
\(\,\color{red}{a}\,\)の横\(\,\color{blue}{b}\,\)は\(\,\color{blue}{a+1}\,\)、
\(\,\color{red}{a}\,\)の下\(\,\color{red}{c}\,\)は\(\,c=\underline{ \color{red}{a+5} }\,\)、
\(\,\color{red}{c}\,\)の横\(\,\color{blue}{d}\,\)は\(\,d=\underline{ \color{blue}{a+6} }\,\)となるので、
\(\begin{eqnarray}
a+b+c+d&=&a+(a+1)+(a+5)+(a+6)\\
&=&4\,a+12\\
&=&4(\,a+3\,)
\end{eqnarray}\)
これは４の倍数です。
②
一般化して周期が\(\,n\,\)のときです。
行、列を省略しして表にしておきます。
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n \\ \hline
n+1& n+2 & n+3 & n+4 & \cdots & 2n\\ \hline
2n+1& 2n+2 & 2n+3 & 2n+4 & \cdots & 3n\\ \hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \hline
a-2& a-1 & \color{red}{a} & \color{blue}{a+1} & \cdots & \\ \hline
a+n-2 & a+n-1 & \color{red}{a+n} & \color{blue}{a+n+1} & \cdots & \\ \hline
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline
\end{array}\)
周期が\(\,n\,\)なので\(\,a\,\)の下の数字は\(\,n\,\)増えます。
ある数の右の数字は１増えるので、
\(\hspace{10pt}c=\underline{ a+n }\,,\,d=\underline{ a+n+1 }\)
このとき
\(\begin{eqnarray}
bc-ad&=&(a+1)(a+n)-a(a+n+1)\\
&=&\color{red}{a^2}+n\color{blue}{+a}\color{magenta}{+an}\color{red}{-a^2}\color{magenta}{-an}\color{blue}{-a}\\
&=&n
\end{eqnarray}\)
よって\(\,bc-ad\,\)の値は並べた自然数の個数と等しくなります。
(3)
周期７で１００までの自然数を並べます。
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
1 & \color{magenta}{2} & \color{magenta}{3} & \color{magenta}{4} & 5 & 6 & 7 \\ \hline
8 & \color{magenta}{9} & \color{magenta}{10} & \color{magenta}{11} & 12 & 13 & 14 \\ \hline
15& \color{magenta}{16} & \color{magenta}{17} & \color{magenta}{18} & 19 & 20 & 21 \\ \hline
22& 23 & 24 & 25 & 26 & 27& 28 \\ \hline
\color{red}{29} & & & & & & \color{blue}{35} \\ \hline
\color{red}{36} & & & & & & \color{blue}{42} \\ \hline
\color{red}{43} & & & & & & \color{blue}{49} \\ \hline
\color{red}{50} & & & & & & \color{blue}{56} \\ \hline
\color{red}{57} & & & & & & \color{blue}{63} \\ \hline
\color{red}{64} & & & & & & \color{blue}{70} \\ \hline
\color{red}{71} & & & & & & \color{blue}{77} \\ \hline
\color{red}{78} & & & & & & \color{blue}{84} \\ \hline
\color{red}{85} & & & & & & \color{blue}{91} \\ \hline
\color{red}{92} & & & & & & \color{blue}{98} \\ \hline
\color{red}{99} & 100 & × & × & × & × & × \\ \hline
\end{array}\)
表は埋めなくても良いですが、行の最初と最後の数は見ておいた方が良いです。
問題は囲まれた９個の数字の和が１０の倍数になるのは何通りあるかです。
\(\hspace{4pt}\color{red}{2}\,,\,3\,,\,4\,,\,9\,,\,10\,,\,11\,,\,16\,,\,17\,,\,18\)
は和が\(\,90\,\)となり\(\,10\,\)の倍数です。
このかたまりを１マス右に移動させると和は\(\,9\,\)増えます。
このかたまりを１マス下に移動させるとそれぞれの数字は\(\,7\,\)増えるので、
和は\(\,7\times 9=\,63\,\)増えます。
なので右に３マス、下に１マス動かせば\(\,90\,\)増えて\(\,10\,\)の倍数になります。
このとき\(\,9\,\)個の数字は
\(\hspace{4pt}\color{red}{12}\,,\,13\,,\,14\,,\,19\,,\,20\,,\,21\,,\,26\,,\,27\,,\,28\)
このときの和は\(\,180\,\)で\(\,10\,\)の倍数です。
次に同じ移動をさせますが右に移動できないので、
１つ下の段になります。
そこから下に１つ移動させるので左上の数字は\(\,\color{red}{22}\,\)です。
規則性が見えてきましたね。
囲まれたかたまりの和が\(\,10\,\)の倍数になるのは左上の数字が
\(\hspace{4pt}2\,,\,12\,,\,22\,,\,32\,,\,42\,,\,52\,,\,62\,,\,72\,,\,82\,,\,92\)
の中にあります。
つまりそれぞれの数字は\(\,10\,\)ずつ増えているということです。
ただし、周期が７なので９個囲めない場合があります。
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
1 & \color{blue}{2} & \color{magenta}{3} & \color{magenta}{4} & 5 & 6 & 7 \\ \hline
8 & \color{magenta}{9} & \color{magenta}{10} & \color{magenta}{11} & \color{blue}{12} & 13 & 14 \\ \hline
15& \color{magenta}{16} & \color{magenta}{17} & \color{magenta}{18} & 19 & 20 & 21 \\ \hline
\color{blue}{22}& 23 & 24 & 25 & 26 & 27& 28 \\ \hline
29 & & & \color{blue}{32} & & & 35 \\ \hline
36 & & & & & & \color{red}{42} \\ \hline
43 & & & & & & 49 \\ \hline
50 & & \color{blue}{52} & & & & 56 \\ \hline
57 & & & & & \color{red}{62} & 63 \\ \hline
64 & & & & & & 70 \\ \hline
71 & \color{blue}{72} & & & & & 77 \\ \hline
78 & & & & \color{blue}{82} & & 84 \\ \hline
85 & & & & & & 91 \\ \hline
\color{red}{92} & & & & & & 98 \\ \hline
99 & 100 & × & × & × & × & × \\ \hline
\end{array}\)
それが赤字の数字\(\,\color{red}{42}\,,\,\color{red}{62}\,,\,\color{red}{92}\,\)です。
答え\(\hspace{4pt}\underline{ 7 }通り\)
文字式による処理
文字式で解いておきます。
９個の数字の左上の数字を\(\,a\,\)とすると、
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\color{red}{a} & \color{blue}{a+1} & \color{magenta}{a+2} \\ \hline
\color{green}{a+7} & a+8 & \color{green}{a+9} \\ \hline
\color{magenta}{a+14} & \color{blue}{a+15} & \color{red}{a+16} \\ \hline
\end{array}\)
この和は
\(\hspace{10pt}(2a+16)\times 4+(a+8)\\
=\,9a+72\\
=9(\,a+8\,)\)
これが\(\,10\,\)の倍数になるのは\(\,\color{red}{a}\,\)の一の位が\(\,2\,\)のときで、
周期\(\,7\,\)で\(\,9\,\)個の数字が囲めるのは
\(\hspace{10pt}2\,,\,12\,\,,22\,,\,32\,,\,52\,,\,72\,,\,82\)
答え\(\,\underline{ 7 }通り\,\)
(1)(2)の誘導から文字式で考えるのが普通ですが、
「ただし、」という問題文の中の注意書きを忘れないように。
※会員の方へ
「周期」「規則性」で着目すべきポイント、わかりますか？
まだレポートに目を通せていないなら質問して下さい。
簡単なことなので聞いた方が早いです。
第４問確率と関数
\(\,\Large{4}\,\)
(1)
①
赤玉２個、赤玉以外２個なので求める確率は
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{2}{4}=\underline{\underline{ \frac{1}{2} }}\)
②
引いた順番に３個を並べる並べ方は赤玉を区別して２４通り、
赤玉を区別しない並べ方が１２通りあります。
（どっちでも良いです。）
\(\hspace{10pt}\color{red}{●●}●\,,\,\color{red}{●●}○\,,\,\color{red}{●}●\color{red}{●}\,,\,\color{red}{●}○\color{red}{●}\)
\(\hspace{10pt}\color{red}{●}●○\,,\,\color{red}{●}○●\,,\,●\color{red}{●}\color{red}{●}\,,\,●\color{red}{●}○\)
\(\hspace{10pt}●○\color{red}{●}\,,\,○\color{red}{●}\color{red}{●}\,,\,○\color{red}{●}●\,,\,○●\color{red}{●}\)
答え\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{4}{12}=\underline{\underline{ \frac{1}{3} }}\)
置き場は３つでどこにとなり合って並ぶ赤玉を置くか、という問題でもあります。
\(\hspace{10pt}\color{red}{●●}×\,,\,×\color{red}{●●}\)
一つ目は赤赤他の順で引く場合、
二つ目は他赤赤の順で引く場合です。
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{2}{4}\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{2}+\frac{2}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\\
\displaystyle =\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\\
\displaystyle =\underline{\underline{ \frac{1}{3} }}\)
連続して起こる事象に対する確率は掛け算で求まるので、
慣れている人は計算で求めても良いです。
(2)
関数は\(\,㋐\,\)だけ決まっていません。
点\(\,\mathrm{A\,,\,B\,,\,C}\,\)の\(\,x\,\)座標がわかっているので座標を表しておきます。
点\(\,\mathrm{A}\,\)は\(\,㋑\,\)上の点なので点\(\,\mathrm{A}\,(\,-2\,,\,1\,)\,\)
点\(\,\mathrm{B}\,\)は\(\,㋑\,\)上の点なので点\(\,\mathrm{B}\,(\,4\,,\,4\,)\,\)
点\(\,\mathrm{C}\,\)は\(\,㋒\,\)上の点なので点\(\,\mathrm{C}\,(\,-4\,,\,-2\,)\,\)
①
点\(\,\mathrm{A\,,\,B}\,\)は\(\,㋐\,\)上の点なので、
\(\,㋐\,\)に代入して（どちらでも良いです。）
\(\begin{eqnarray}
1&=&a\times (-2)^2\\
a&=&\underline{\underline{ \frac{1}{4} }}
\end{eqnarray}\)
②
\(\,\mathrm{△ABC}\,\)の面積を求めます。
３点の座標がわかっているので計算で簡単に求まりますが、
図形的に解いておきます。
直線\(\,\mathrm{AB}\,\)と直線\(\,\mathrm{CO}\,\)は傾きが等しいので平行です。
なので\(\,\mathrm{△ABC}\,\)と\(\,\mathrm{△OAB}\,\)のは等しいので、
\(\,\mathrm{△OAB}\,\)の面積を求めればよいことになります。
底辺は直線\(\,\mathrm{AB}\,\)の\(\,y\,\)切片から\(\,\color{red}{2}\,\)、
高さは\(\,\mathrm{A\,,\,B}\,\)の\(\,x\,\)座標となるので求める面積は
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{△ABC}&=&\mathrm{△OAB}\\
&=&\frac{1}{2}\times 2\times 4+\frac{1}{2}\times 2\times 2\\
&=&\underline{ 6 }\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray}\)
会員は座標が出た時点で計算で終わっていたと思います。
ただ、この考え方も忘れないようにしておきましょう。
第５問平面図形
\(\,\Large{5}\,\)
受験する学校によって指示があるので選択を間違えないようにしましょう。
\(\,\large{Ⅰ}\,\)
二等辺三角形で頂角が\(\,120°\,\)なので三角定規が出てきます。
(1)
\(\,\mathrm{∠BAF=15°}\,\)のときです。
①
相似の証明をします。
\(\hspace{10pt}\mathrm{△ASD}\,\)∽\(\,\mathrm{△TSF}\,\)
回転させたので
\(\hspace{10pt}\mathrm{∠ADS=∠TFS}\)
対頂角は等しいので「２つの角がそれぞれ等しい」という相似条件が出ます。
⇒ 中学の図形証明問題(合同･相似)の解き方と証明の書き方ポイント
証明の書き方は問題の指示に従うか、
無ければルールさえ守れば自由です。
②
線分\(\,\mathrm{AF}\,\)の長さを求めます。
\(\,\mathrm{△ABH}\,\)は三角定規で\(\,\mathrm{AH=3}\,\)です。
また、図の\(\,\mathrm{△AFH}\,\)は直角二等辺三角形になるので、
\(\hspace{10pt}\displaystyle \mathrm{AF}=\underline{ 3\sqrt{2} }\mathrm{cm}\)
(2)
\(\hspace{10pt}\mathrm{AD}=\color{red}{2\sqrt{3}}\)
色のついた部分の面積を求めます。
条件を書き込んで行きましょう。
\(\,\mathrm{△AHI}\,\)は三角定規になるので、
\(\hspace{10pt}\mathrm{HI}=\color{blue}{\sqrt{3}}\)
なので\(\,\mathrm{△AIJ}\,\)は正三角形です。
求める面積\(\,S\,\)は中心角\(\,120°\,\)のおうぎ形の面積を求めておいて、
中心角\(\,60°\,\)のおうぎ形から正三角形を引いた面積を引けば求まります。
中心角\(\,120°\,\)のおうぎ形の面積\(\,S_1\,\)は半径\(\,\color{red}{2\sqrt{3}}\,\)なので
\(\begin{eqnarray}
S_1&=&\pi\,(\,2\sqrt{3}\,)^2\times \frac{120}{360}\\
&=&12\,\pi\,\times \frac{1}{3}\\
&=&\color{red}{4\,\pi}
\end{eqnarray}\)
中心角\(\,60°\,\)のおうぎ形から正三角形を引いた面積\(\,S_2\,\)は
\(\begin{eqnarray}
S_2&=&\pi\,(\,2\sqrt{3}\,)^2\times \frac{60}{360}-\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 3\\
&=&12\,\pi\times \frac{1}{6}-3\sqrt{3}\\
&=&\color{blue}{2\,\pi-3\sqrt{3}}
\end{eqnarray}\)
よって求める面積\(\,S\,\)は
\(\begin{eqnarray}
S&=&S_1-S_2\\
&=&\color{red}{4\,\pi}-(\,\color{blue}{2\,\pi-3\sqrt{3}})\\
&=&\underline{ 2\,\pi+3\sqrt{3} }\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray}\)
\(\,\large{Ⅱ}\,\)
頂角が\(\,30°\,\)の二等辺三角形があります。
①
相似の証明です。
\(\,\mathrm{△AHG}\,\)∽\(\,\mathrm{△FHC}\,\)
回転した角は同じ大きさなので
\(\hspace{10pt}\mathrm{\color{red}{∠AGH}}=\mathrm{\color{blue}{∠AED}}\)
また平行線の同位角は等しいので
\(\hspace{10pt}\mathrm{\color{blue}{∠AED}}=\mathrm{\color{red}{∠FCH}}\)
これらのことから
\(\hspace{10pt}\mathrm{\color{red}{∠AGH}}=\mathrm{\color{red}{∠FCH}}\)
対頂角は等しいので
\(\hspace{10pt}\mathrm{∠AHG=∠FHC}\)
よって２組の角がそれぞれ等しいので相似がいえます。
②
線分\(\,\mathrm{AF}\,\)の長さを求めます。
頂点\(\,\mathrm{A}\,\)から\(\,\mathrm{BC}\,\)に垂線を下ろし\(\,\mathrm{BC}\,\)との交点を\(\,\mathrm{I}\,\)とします。
\(\,\mathrm{△ABI}\,\)は三角定規で\(\,\mathrm{∠BAI=60°}\,\)、
\(\,\mathrm{∠BAF=15°}\,\)なので\(\,\mathrm{∠FAI=45°}\,\)となります。
\(\,\mathrm{△AIF}\,\)は直角二等辺三角形で\(\,\mathrm{AI=FI=3}\,\)なので、
\(\hspace{10pt}\mathrm{AF}=\underline{ 3\sqrt{2} }\mathrm{cm}\)
(2)
\(\,\mathrm{△ABC}\,\)を回転させます。
色のついた部分の面積を求めますが、
これは回転している図形だと言うことを忘れないで下さい。
求める部分の面積は、
おうぎ形からおうぎ形をくり抜いた面積です。
半径と中心角を見に行きます。
\(\,\mathrm{∠ACQ=60°\,,\,∠ACP=45°}\,\)から\(\,\mathrm{∠PCQ=15°}\,\)、
三角定規の辺の比から\(\,\mathrm{CP}=\color{red}{2\sqrt{3}}\,\)となります。
半径\(\,\mathrm{CQ}\,\)がわかりにくそうではありますが、
(1)で見事に誘導してくれています。
(1)の②で求めたように
\(\hspace{10pt}\mathrm{AF}=\color{blue}{3\sqrt{2}}\)
\(\,\mathrm{△AFB}\,\)と\(\,\mathrm{△CQB}\,\)は合同なので
\(\hspace{10pt}\mathrm{CQ=AF}=\color{blue}{3\sqrt{2}}\)
\(\,\mathrm{△ABC}\,\)の底角は\(\,75°\,\)なので、
おうぎ形の中心角は\(\,105°\,\)となるから求める面積\(\,S\,\)は
\(\begin{eqnarray}
S&=&\{\,\pi\,(\,3\sqrt{2}\,)^2-\pi\,(\,2\sqrt{3}\,)^2\}\times \frac{105}{360}\\
&=&(18\,\pi-12\,\pi)\times \frac{7}{24}\\
&=&6\,\pi\times \frac{7}{24}\\
&=&\underline{\underline{ \frac{7}{4}\,\pi }}\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray}\)
「回転」、「折り返し」の基本は当然おさえておくとして、
素晴らしい誘導でした。
以上です。
秋田県では学校指定の問題を選びますので選択を間違えないように。
数学の知識はもちろんですが、
この年度の様に作業における基本を大切にしている秋田県公立高校入試の数学です。
