２０２５年（令和７年度）鹿児島県公立高校入試数学問題の解説です。
大問５つの問題構成は変わりません。
問題数は少なくはないし、基礎から応用まで幅広い分野での出題です。
しっかりとした基礎の定着と応用に対応できる作業を身に付けておくことが対策になります。
問題は公開されていません。
鹿児島県での書店やインターネットで問題は入手可能だと思うので、
問題を見ながら参考にして下さい。
どこの都道府県でも同じことがいえますが、
解説しきれる分だけでは問題の文字数の多さなどは実感できません。
対応するためにも問題は見ておくと良いです。
２０２５年（令和７年度）鹿児島県公立高校入試数学問題の解説
ここは解説だけなので対策は詳しくはしません。
※
長さの単位が\(\,\mathrm{cm}\,\)のときは省略します。
第１問小問集合その１
\(\Large{\color{black}{\fbox{1}}}\)
\(\,1\,\)
(1)
\(\hspace{10pt}7+18\div 3\\
=7+6\\
=\underline{ 13 }\)
掛け算割り算部分が先です。
(2)
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{3}{5}-\frac{1}{6}\times \frac{4}{5}\\
\displaystyle =\frac{3}{5}-\frac{2}{15}\\
\displaystyle =\frac{3\times 3-2}{15}\\
\displaystyle =\underline{\underline{ \frac{7}{15} }}\)
分数計算はレポートで説明している通り。
分母を１つにして分子の計算に集中、が良いです。
(3)
\(\hspace{10pt}\displaystyle \sqrt{32}-\left(\,\frac{6}{\sqrt{2}}+\sqrt{8}\right)\\
\displaystyle =4\sqrt{2}-(\,3\sqrt{2}+2\sqrt{2}\,)\\
\displaystyle =\underline{ -\sqrt{2} }\)
部分的に暗算しています。
⇒ 【無料】中学数学の計算問題集（無理数の計算）プリント解説付き
無理数の計算に限らず過度な暗算はさけましょう。
(4)
最小公倍数の求め方は中学生なら素因数分解を利用します。
\(\hspace{10pt}60=2^2\times 3\times \color{red}{5}\)
\(\hspace{10pt}84=2^2\times 3\times \color{blue}{7}\)
２つの数に限らず全ての最大因数の積が最小公倍数です。
\(\hspace{10pt}2^2\times 3\times \color{red}{5}\times \color{blue}{7}\\
=\underline{ 420 }\)
\(\,60\,\)に\(\,\color{red}{7}\,\)という因数はないじゃないか、ではなく、
実は\(\,7^0=\color{blue}{1}\,\)と表せるので、
\(\hspace{10pt}60=2^2\times 3\times \color{red}{5}\times \color{blue}{1}\)
あるものだと考えて下さい。
小学生だと
\(\hspace{10pt}\color{red}{2}\,\underline{\,)\,60\hspace{10pt}84\,}\\
\hspace{10pt}\color{red}{2}\,\underline{\,)\,30\hspace{10pt}42\,}\\
\hspace{10pt}\color{red}{3}\,\underline{\,)\,15\hspace{10pt}21\,}\\
\hspace{26pt}\color{red}{5}\hspace{15pt}\color{red}{7}\)
なので最小公倍数は\(\,\underline{ 420 }\,\)とします。
最小公倍数も最大公約数も３つ以上の数の場合でも、
少し違った形にはなりますがどちらでも出来ます。
(5)
逆数は簡単に言えば分母と分子を入れかえた数です。
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{3}{4}\hspace{10pt}3\hspace{10pt}-\frac{1}{2}\hspace{10pt}0.9\)
\(\,3\,,\,0.9\,\)は分数で考えると\(\displaystyle \,\frac{3}{1}\,,\,\frac{9}{10}\,\)なので逆数は
\(\hspace{10pt}\displaystyle \color{red}{\frac{4}{3}}\hspace{10pt}\frac{1}{3}\hspace{10pt}-\frac{2}{1}\hspace{10pt}\color{red}{\frac{10}{9}}\)
答え\(\hspace{10pt}\underline{ ア\,,\,エ }\)
もとの数とかけて１になる数が逆数なので、
符号は変えなくて良いので気にしないで下さい。
\(\,2\,\)
２次方程式を解きます。
\(\hspace{10pt}x^2-3x+1=0\)
因数分解できないので解の公式です。
\(\begin{eqnarray}
x&=&\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot (1)\cdot (1)}}{2\times 1}\\
&=&\frac{3\pm \sqrt{9-4}}{2}\\
&=&\underline{\underline{ \frac{3\pm \sqrt{5}}{2} }}
\end{eqnarray}\)
※
ルート記号の中の「\(\,\cdot\,\)」は掛け算を意味します。
⇒ ２次方程式の解の公式二通りの求め方と便利な公式と文章題の解き方
解の公式は覚えて使う、で良いです。
ただし、文章題では解の公式でいきなりやると無駄な時間を費やすことがあります。
\(\,3\,\)
「いつも」なので反例を見つけていけば良いです。
なければその理由を説明できれば「いつも」なりたちます。
\(\hspace{10pt}a\,＞\,0,\,b\,＜\,0\)
ア：
反例\(\,a=1\,,\,b=-10\,\)
\(\begin{eqnarray}
2a+b&=&2(1)-10\\
&=&-8\,＜\,0\hspace{4pt}×
\end{eqnarray}\)
イ
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
a-3b&=&a+(-3b)\\
&=&(正)＋(正)\,＞\,0\hspace{4pt}○
\end{eqnarray}\)
ウ
反例\(\,a=10\,,\,b=-1\,\)
\(\begin{eqnarray}
3-a-b&=&3-(10)-(-1)\\
&=&3-10+1\\
&=&-6\,＜\,0\hspace{4pt}×
\end{eqnarray}\)
エ
\(\hspace{10pt}(ab)^2\,＞\,0\hspace{4pt}○\)
\(\,ab≠0\,\)なので\(\,ab\,\)の正負関係なしに２乗すると正になります。
答え\(\hspace{10pt}\underline{ イ\,,\,エ }\)
\(\,4\,\)
反比例のグラフは双曲線なので最小値、最大値に注意です。
最小値は\(\,x=3\,\)のとき
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{2}{3}
\end{eqnarray}\)
最大値は\(\,x=1\,\)のとき
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{2}{1}\\
&=&2
\end{eqnarray}\)
です。
答え\(\hspace{10pt}\displaystyle \underline{\underline{ \frac{2}{3}\,≦\,y\,≦\,2 }}\)
\(\,5\,\)
分速を求めるので秒を分に変えておきます。
\(\hspace{10pt}\displaystyle 37\,(\,秒\,)=\frac{37}{60}\,(\,分\,)\)
求める速さ\(\,v\,\)は\(\,(距離)\div\,(時間)\,\)なので
\(\begin{eqnarray}
v&=&185\div \frac{37}{60}\\
&=&185\times \frac{60}{37}\\
&=&5\times 60\\
&=&300
\end{eqnarray}\)
答え\(\hspace{10pt}分速\underline{ 300 }\mathrm{m}\)
第２問小問集合その２
\(\Large{\color{black}{\fbox{2}}}\)
\(\,1\,\)
確率です。
樹形図で終わりますが素数の定義に注意ですね。
ここでは表で見ます。
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & \,5\, & \,6\, \\ \hline
\,1\, & & ○ & ○ & ○ & & \\ \hline
2 & ○ & & & & & \\ \hline
3 & ○ & & & & & \\ \hline
4 & & & & & & \\ \hline
5 & ○ & & & & & \\ \hline
6 & & & & & & \\ \hline
\end{array}\)
どちらを大小と見ても同じです。
⇒ 素数とは？素因数分解の方法と平方根の求め方(ルートの使い方準備)
\(\,1\,\)は素数ではありません。
\(\,2\,\)
文字と数字がずらりと並んでいます。
問は鹿児島への寄港回数の割合が高かったのはどちらか、
またその年の寄港回数の合計に対する割合です。
先ずは割合が高かったのは
\(\,2014\,\)年\(\hspace{4pt}\displaystyle \frac{29}{653}=\frac{58}{1306}\)
\(\,2023\,\)年\(\hspace{4pt}\displaystyle \frac{78}{1264}\)
分母が小さく、分子が大きいので\(\,2023年\,\)の方が割合は高い。
答え\(\hspace{4pt}\underline{ 2023 }年\)
小数で比べても良いのですが割り算は一度にしておきたかっただけです。
このときの割合は
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{78}{1264}=0.0617\cdots\)
答え\(\hspace{4pt}\underline{ 6.2 }％\)
この割り算は地道にするしかありませんね。
\(\,3\,\)
作図です。
線分\(\,\mathrm{AB}\,\)が\(\,1:2\,\)に分割されているので平行線を引けば終わりです。
平行線は平行四辺形で作れます。
ここではひし形で良いですね。
線分\(\,\mathrm{AB}\,\)を\(\,1:2\,\)にわける線分を１辺とするひし形を描き、
\(\,\mathrm{AC}\,\)に平行な線と\(\,\mathrm{BC}\,\)との交点を\(\,\mathrm{P}\,\)とする。
図形の知識が総合的に試せる作図問題は作成者側に取っては都合が良い。
実際１％以下の正答率の作図問題は毎年のように出ています。
逆に、作図を苦手にしている人は図形の基礎から全般を苦手にしていることをわかっていて欲しいものです。
\(\,4\,\)
四分円があり、\(\,\mathrm{OA\,,\,OD}\,\)ともに円の半径です。
半径は等しいから中点までの長さも等しいので
\(\hspace{10pt}\mathrm{OE=OC}\)
共通の角があるので半径と合わせて合同条件がそろいます。
「２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。」
⇒ 中学の図形証明問題(合同･相似)の解き方と証明の書き方ポイント
証明の書き方はルールを守って好きにしていいです。
\(\,5\,\)
正四面体と立方体があります。
それぞれ面の数は\(\,4\,,\,6\,\)、頂点の数は\(\,4\,,\,8\,\)です。
正四面体の模型を\(\,x\,\)個、立方体の模型の数を\(\,y\,\)個とすると
\( \begin{cases}
\hspace{4pt} 4\,x+6\,y=128\\
\hspace{4pt} 4\,x+8\,y=156
\end{cases}\)
これを解くと\(\,x=11\,,\,y=14\,\)
答え\(\hspace{4pt}正四面体の模型\underline{ 11 }個、立方体の模型\underline{ 14 }個\)
連立方程式の解き方は何でも良いです。
\(\,4x\,\)は同じなので\(\,4x\,\)そのまま代入でも出来ます。
第３問データの活用
\(\Large{\color{black}{\fbox{3}}}\)
ずらりと並んだ箱ひげ図を見て圧倒されます。
表と図を読み取らなくてはならないので意味を理解していないと対処できません。
\(\,1\,\)
表にある日本チームの平均値を求めます。
全ての値を足して\(\,12\,\)で割りますが、
足すときに工夫すると少し楽になります。
例えば、背番号\(\,1\,\)と\(\,3\,\)を加えると\(\,370\,\)です。
２つの組で\(\,1\,\)のくらいが\(\,0\,\)になる組み合わせを探してセットにします。
すると
\(\hspace{10pt}370\times 2+390\times 2+204+191+200+171\\
=2286\)
よって平均値は
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{2286}{12}=190.5\)
答え\(\hspace{4pt}\underline{ 190.5 }\mathrm{cm}\)
割り切れるんですね。
もちろん順番に\(\,12\,\)個の数字を足しても良いです。
ただ、見直しは確定です。
\(\,2\,\)
フランスチームのデータを箱ひげ図から読み取り選びます。
フランスチームの最小値、最大値、四分位数を箱ひげ図から読み取ると、
最小値\(\,183\,\)、最大値\(\,207\,\)であり、
第１四分位数\(\,195\,\)、中央値\(\,199.5\,\)、第３四分位数\(\,203\,\)となっています。
１２人のデータなので
\(\hspace{4pt}○○\color{blue}{●}|\color{blue}{●}○\color{red}{●}|\color{red}{●}○\color{magenta}{●}|\color{magenta}{●}○○\)
四分位数がそれぞれ平均で出ます。
ヒストグラムから箱ひげ図を書くとすると、
（階級の幅が広いのでわかりにくいですが）
フランスチームの最大値や四分位数を全て階級に含んでいるのはアです。
答え\(\hspace{4pt}\underline{ ア }\)
違うものを省いて行っても良いです。
最大値が違うのでエは×。
第１四分位数が違うのでイは×。
中央値、第３四分位数が違うのでウは×。
で、アは中央値は微妙ですが一番適当と言えます。
\(\,3\,\)
箱ひげ図から読み取れることが正しいか、
それぞれに対して答えるので全て見ていく必要があります。
①：
最大値が最も大きいのはスロベニアです。（正しい。）
②：
６番目の値は箱ひげ図からはわかりません。（わからない。）
③：
第３四分位数が最も大きいのはエジプトかドイツです。（正しくない。）
④：
四分位範囲が最も小さいのはアメリカの\(\,6.5\,\)です。（正しくない。）
\(\,4\,\)
ドイツチームの\(\,12\,\)人目のデータとして考えられる値を求めます。
箱ひげ図から最小値\(\,186\,\)、最大値\(\,210\,\)，
四分位数は第１四分位数\(\,\color{blue}{192}\,\)、中央値\(\,\color{red}{195}\,\)、第３四分位数\(\,\color{magenta}{205}\,\)です。
１１人のデータは
\(\hspace{4pt}186\,,\,190\,,\,\color{blue}{191}\,,\,\color{blue}{193}\,,\,\color{red}{194}\,,\,\color{red}{196}\,,\,200\,,\,\color{magenta}{204}\,,\,\color{magenta}{206}\,,\,208\,,\,210\)
（\(\,12\,\)人のデータとして四分位数となる平均の候補を色分けしています）
この色のまま平均して四分位数となれば良いので\(\,12\,\)人目のデータとして入る位置は
\(\hspace{4pt}186\,,\,190\,,\,\color{blue}{191}\,,\,\color{blue}{193}\,,\,○\,,\,\color{red}{194}\,,\,\color{red}{196}\,,\,200\,,\,\color{magenta}{204}\,,\,\color{magenta}{206}\,,\,208\,,\,210\)
この位置にいれば良いので\(\,193\,\)か\(\,194\,\)であるれば箱ひげ図は一致します。
答え\(\hspace{4pt}\underline{ 193\,,\,194 }\)
問題自体は難しくないです。
用語をしっかり理解していれば良いだけですから。
ただ、１問１問関係のない別問題なので時間がかかります。
第４問関数
\(\Large{\color{black}{\fbox{4}}}\)
放物線と直線が出てきます。
【問題】は比例定数を求める事ですが、他にも「問い」があるので順に進めます。
\(\,1\,\)
関数\(\,y=a\,x^2\,\)において比例定数を大きくすると、
グラフの開き方はどう変化するか、です。
\(\hspace{10pt}y=x^2\)
\(\hspace{10pt}\color{red}{y=2\,x^2}\)
\(\hspace{10pt}\color{blue}{y=3\,x^2}\)
比例定数を大きくしてグラフを比較すればわかりますが、
開き方は小さくなります。
答え\(\hspace{10pt}\)小さくなる
\(\,2\,\)
\(\,a=1\,\)のとき\(\,y=x^2\,\)で、
【問題】の中で書かれていますが点\(\,\mathrm{P}\,\)の\(\,x\,\)座標は\(\,2\,\)、
点\(\,\mathrm{Q}\,\)の座標は\(\,(\,0\,,\,2\,)\,\)です。
(1)
直線\(\,\mathrm{PQ}\,\)の式を求めます。
\(\hspace{10pt}\mathrm{P}\,(\,2\,,\,4\,)\)
\(\hspace{10pt}\mathrm{Q}\,(\,0\,,\,2\,)\)
を通るので傾きが
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{2}{2}=1\)
であることから
\(\hspace{10pt}\underline{ y=x+2 }\)
(2)
\(\,\mathrm{△OPQ}\,\)と\(\,\mathrm{△OQR}\,\)の面積を求めます。
点\(\,\mathrm{R}\,\)の\(\,x\,\)座標が\(\,-1\,\)なので点\(\,\mathrm{R}\,\)の座標は
\(\hspace{10pt}\mathrm{R}\,(\,-1\,,\,1\,)\)
どちらの三角形も底辺を\(\,\mathrm{OQ}\,\)と見ると、
高さは\(\,x\,\)座標の絶対値になるので
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{△OPQ}&=&\frac{1}{2}\times \mathrm{OQ}\times \color{red}{2}\\
&=&\frac{1}{2}\times 2\times 2\\
&=&\underline{ 2 }
\end{eqnarray}\)
また
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{△OQR}&=&\frac{1}{2}\times \mathrm{OQ}\times \color{blue}{1}\\
&=&\frac{1}{2}\times 2\times 1\\
&=&\underline{ 1 }
\end{eqnarray}\)
\(\,3\,\)
直線\(\,\mathrm{PQ}\,\)のグラフが右下がりなる\(\,a\,\)の値を選びます。
点\(\,\mathrm{P}\,\)の\(\,x\,\)座標は\(\,2\,\)です。
具体的に調べる方法
点\(\,\mathrm{Q}\,\)の\(\,y\,\)座標は\(\,2\,\)なので、
点\(\,\mathrm{P}\,\)の\(\,y\,\)座標が\(\,2\,\)より小さくなるものです。
ア：\(\hspace{10pt}\displaystyle y=\frac{1}{2}\,x^2\)
\(x=2\,\)のとき
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{1}{2}\times (\,2\,)^2\\
&=&2\hspace{10pt}×
\end{eqnarray}\)
イ：\(\hspace{10pt}\displaystyle y=\frac{4}{3}\,x^2\)
\(x=2\,\)のとき
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{4}{3}\times (\,2\,)^2\\
&=&\frac{16}{3}\hspace{10pt}×
\end{eqnarray}\)
ウ：\(\hspace{10pt}\displaystyle y=\frac{1}{4}\,x^2\)
\(x=2\,\)のとき
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{1}{4}\times (\,2\,)^2\\
&=&1\hspace{10pt}○
\end{eqnarray}\)
エ：\(\hspace{10pt}\displaystyle y=\frac{2}{5}\,x^2\)
\(x=2\,\)のとき
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{2}{5}\times (\,2\,)^2\\
&=&\frac{8}{5}\hspace{10pt}○
\end{eqnarray}\)
答え\(\hspace{10pt}\underline{ ウ\,,\,エ }\)
傾きが負になる場合を探す
直線のグラフが右下がり、つまり「傾きが負」であることからもまとめて見ることは出来ます。
\(\hspace{10pt}\mathrm{Q}\,(\,0\,,\,2\,)\)
点\(\,\mathrm{P}\,\)の座標は\(\,x\,\)座標が\(\,2\,\)なので
\(\hspace{10pt}\mathrm{P}\,(\,2\,,\,4\,a\,)\)
直線\(\,\mathrm{PQ}\,\)の傾きは
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{4\,a-2}{2-0}=2\,a-1\)
これが負となるのは
\(\begin{eqnarray}
2\,a-1&＜&0\\
2\,a&＜&1\\
a&＜&\frac{1}{2}
\end{eqnarray}\)
これを満たすのは\(\,\underline{ ウ }\,\)と\(\,\underline{ エ }\,\)です。
実際計算すればそれ程時間はかからないのでどちらでも良いです。
ただし、選択肢が多い場合はまとめて見た方が早いですね。
\(\,4\,\)
【問題】を解きます。
\(\,\mathrm{△OPR}\,\)の面積が\(\,5\,\)になるときの\(\,a\,\)の値です。
\(\hspace{10pt}\mathrm{P}\,(\,2\,,\,4\,a\,)\)
\(\hspace{10pt}\mathrm{R}\,(\,0\,,\,2\,)\)
ここでわかることは\(\,\mathrm{△APQ}\,\)の面積です。
\(\,2\,\)(2)で同じことをやっています。
\(\,\mathrm{△OPQ}\,\)の面積が\(\,\color{red}{2}\,\)なので、
\(\,\mathrm{△OQR}\,\)の面積が\(\,\color{blue}{3}\,\)になるときです。
このとき点\(\,\mathrm{R}\,\)の\(\,x\,\)座標は\(\,-3\,\)で、
\(\hspace{10pt}\mathrm{R}\,(\,-3\,,\,9\,a\,)\)
３点\(\,\mathrm{P\,,\,Q\,,\,R}\,\)は１つの直線上にあるので変化の割合が一定だから
\(\begin{eqnarray}
\color{blue}{\frac{2-9\,a}{0-(-3)}}&=&\color{red}{\frac{4a-2}{2-0}}\\
\frac{2-9\,a}{3}&=&2\,a-1\\
2-9\,a&=&6\,a-3\\
-15\,a&=&-5\\
a&=&\underline{\underline{ \frac{1}{3} }}
\end{eqnarray}\)
少し特殊な求め方ですが面積が\(\,5\,\)ということを利用しても直接求まります。
点\(\,\mathrm{P}\,\)の座標が\(\,(\,2\,,\,4\,a\,)\,\)
点\(\,\mathrm{R}\,\)の座標が\(\,(\,-3\,,\,9\,a\,)\,\)
なので原点と囲む三角形の面積が\(\,5\,\)であることと比例定数が正であることから
\(\begin{eqnarray}
\left|\frac{2\times 9\,a-4\,a\times (\,-3\,)}{2}\right|&=&5\\
18\,a+12\,a&=&10\\
30\,a&=&10\\
a&=&\underline{\underline{ \frac{1}{3} }}
\end{eqnarray}\)
※
絶対値の記号はつけてもつけなくても良いですが、
（\(\,a\,＞\,0\,\)となるように計算を組んでいるので）
比例定数は正なので注意は必要です。
こちらは会員向けですね。
ただし、求め方を書かなければならないのでお勧めは出来ません。
理由を書かないとひどい場合減点されます。
そういう場合の対処法もレポートでは説明している？と思いますが、
会員の方にはお応えしますのでご質問下さい。
実はこの問題では点\(\,\mathrm{R}\,\)の\(\,x\,\)座標は\(\,\displaystyle -\frac{1}{a}\,\)とわかるので、
面積が\(\,5\,\)になるから
\(\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}\times 2\times \left(\,\frac{1}{a}+2\right)&=&5\\
\frac{1}{a}&=&3\\
a&=&\frac{1}{3}
\end{eqnarray}\)
と求めることも出来ます。
点\(\,\mathrm{R}\,\)の求め方がこの問題に向かないので省略します。
第５問平面図形
\(\Large{\color{black}{\fbox{5}}}\)
図形総合問題ですが平面図形のみです。
\(\,1\,\)
正六角形の１つの外角は
\(\hspace{10pt}360\div 6=60\)
だから１つの内角は
\(\hspace{10pt}\underline{ 120 }度\)
\(\,2\,\)
周の長さが\(\,12a\,\)で等しい正多角形の面積を表します。
正三角形の高さは\(\,\color{red}{2\sqrt{3}\,a}\,\)
正六角形を六等分した１つの正三角形の高さは\(\,\color{magenta}{\sqrt{3}\,a}\)
このことから
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{S}&=&\frac{1}{2}\times \color{red}{4\,a}\times \color{red}{2\sqrt{3}\,a}\\
&=&\underline{ 4\sqrt{3}\,a^2 }
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{T}&=&\color{blue}{3\,a}\times \color{blue}{3\,a}\\
&=&\underline{ 9\,a^2 }
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{U}&=&\frac{1}{2}\times \color{magenta}{2\,a}\times \color{magenta}{\sqrt{3}\,a}\times 6\\
&=&\underline{ 6\sqrt{3}\,a^2 }
\end{eqnarray}\)
※正六角形は正三角形６個分です。
\(\,3\,\)
\(\,2\,\)から周の長さが等しいとき面積の比較が出来ます。
\(\hspace{10pt}\mathrm{S}=4\sqrt{3}\,a^2=\sqrt{48}\,a^2\)
\(\hspace{10pt}\mathrm{T}=9\,a^2=\sqrt{81}\,a^2\)
\(\hspace{10pt}\mathrm{U}=6\sqrt{3}\,a=\sqrt{108}\,a^2\)
つまり周の長さが等しいとき角数が多い方が面積は大きくなっています。
逆に面積が等しいときは、角数の多い方が周の長さは短いということです。
答え\(\hspace{10pt}\underline{ ウ }\)
\(\,4\,\)
この問題、計算が楽になるよう半径\(\,1\,\)で計算したいですが、
円周が\(\,\pi\,\)となるように直径が\(\,1\,\)です。（要注意）
(1)
正六角形\(\,\mathrm{ABCDEF}\,\)の周の長さ\(\,\mathrm{L}\,\)を求めます。
半径が\(\displaystyle \,\color{red}{\frac{1}{2}}\,\)なので辺\(\,\mathrm{AB}\,\)の中点を\(\,\mathrm{T}\,\)とおくと、
\(\,\mathrm{△OAT}\,,\,\mathrm{△OBT}\,\)は三角定規なので
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AT:OT}&=&1:\sqrt{3}\\
\mathrm{AT}:\color{red}{\frac{1}{2}}&=&1:\sqrt{3}\\
\sqrt{3}\times \mathrm{AT}&=&\frac{1}{2}\\
\mathrm{AT}&=&\frac{1}{2\sqrt{3}}\\
&=&\frac{\sqrt{3}}{6}
\end{eqnarray}\)
このまま\(\,12\,\)倍して計算しても良いですが
\(\hspace{10pt}\displaystyle \mathrm{AB}=\color{blue}{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{L}&=&6\times \mathrm{AB}\\
&=&6\times \frac{\sqrt{3}}{3}\\
&=&\underline{ 2\sqrt{3} }
\end{eqnarray}\)
また
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{L}&=&2\sqrt{3}\\
&=&2\times 1.732\\
&=&\underline{ 3.464 }
\end{eqnarray}\)
まだまだ円周率とはかけ離れています。
(2)
(1)よりも円に近い辺を持つ正多角形を作ります。
直径\(\,1\,\)の円に外接する正十二角形です。
\(\,\mathrm{AB}\,\)の中点を\(\,\mathrm{T}\,\)、\(\,\mathrm{A\,,\,B}\,\)を移動した点をそれぞれ\(\,\mathrm{A’\,,\,B’}\,\)とし、
\(\,\mathrm{AB}\,\)と\(\,\mathrm{A’B’}\,\)の交点を\(\,\mathrm{R}\,\)、\(\,\mathrm{A’B’}\,\)と\(\,\mathrm{OA}\,\)の交点を\(\,\mathrm{U}\,\)とします。
\(\,\mathrm{△ARU}\,\)は三角定規で\(\,\mathrm{RU}\,\)が正十二角形の１辺の\(\,\color{red}{\dot{半}\dot{分}}\,\)です。
ここで線分\(\,\mathrm{AU}\,\)は\(\,\mathrm{OA}\,\)からもとの円の半径を引けば出てきます。
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AU}&=&\mathrm{OA-OU}\\
&=&\mathrm{OA-OT}\\
&=&\color{blue}{\frac{\sqrt{3}}{3}}-\color{red}{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray}\)
三角定規の辺の比から
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AU:RU}&=&1:\sqrt{3}\\
\left(\,\color{blue}{\frac{\sqrt{3}}{3}}-\color{red}{\frac{1}{2}}\,\right):\mathrm{RU}&=&1:\sqrt{3}\\
\mathrm{RU}&=&\sqrt{3}\times \left(\,\color{blue}{\frac{\sqrt{3}}{3}}-\color{red}{\frac{1}{2}}\,\right)
\end{eqnarray}\)
これが円の周に２４個あるので正十二角形の周の長さ\(\,\mathrm{M}\,\)は
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{M}&=&24\times \sqrt{3}\times \left(\,\color{blue}{\frac{\sqrt{3}}{3}}-\color{red}{\frac{1}{2}}\,\right)\\
&=&\underline{ 24-12\sqrt{3} }
\end{eqnarray}\)
また
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{M}&=&24-12\sqrt{3}\\
&=&24-12\times 1.732\\
&=&24-20.784\\
&=&\underline{ 3.216 }
\end{eqnarray}\)
(1)よりは近くなりました。
まだみんなが知っている円周率とは言えないですね。
円周率に限らず考え方としての応用は出来た方が良いとは思いますが。
公式や定数は求めるより使う、で良くないですか？
以上です。
先に解説してありましたが令和８年度の解説です。
少しは傾向がつかめましたか？
まだ習っていないことが応用されますが夏までには傾向を見ておきましょう。
全国で似た傾向の問題を見つけて対策にあてるのも良いです。
ただ、似た問題が出てるから、
よりも何から問題が作られているかを知った方が万全だとは思うけどね。
今の君に必要なことは、広い知識の習得と作業量を増やすことです。
