2026年（令和８年度）京都府公立高校入試【前期】数学の問題と解説です。
大問は６つあり偏りの無い全ての分野で出題されているといって良いです。
難問といえる京都府の規則性問題が最後に控えていますが、
その前にも応用を必要とする問題がいくつかあります。
2026年（令和８年度）京都府公立高校入試【前期】数学の問題
問題は京都府教育委員会が公表してくれてます。
問題ページ数は４ページだけです。
計算および作業用に２ページ用意されています。
2026年（令和８年度）京都府公立高校入試【前期】数学の解説
作業量が半端ではないので早速説明を始めます。
※長さの単位が\(\,\mathrm{cm}\,\)のときは途中の説明では省略します。
第１問小問集合
\(\,\large{1}\,\)
(1)
\(\{(-2)^3-(-6^2)\}\div 7\\
=(-8+36)\div 7\\
=28\div 7\\
=\underline{ 4 }\)
（かっこ）の処理は中からですね。
(2)
\(\hspace{10pt}\displaystyle 72x^2y^\div 16y^3\times 3xy\\
\displaystyle =\frac{72x^2y^2\times 3xy}{16y^3}\\
\displaystyle =\underline{\underline{ \frac{27\,x^3}{2} }}\)
次数に気をつけていつも通りの処理で大丈夫です。
(3)
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{4}{\sqrt{8}}+\sqrt{24}\times \sqrt{3}\\
\displaystyle =\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{8}}+3\sqrt{8}\\
\displaystyle =\sqrt{2}+6\sqrt{2}\\
\displaystyle =\underline{ 7\sqrt{2} }\)
分母の有理化からでももちろん良いですよ。
(4)
係数を見やすくしてから一文字消去です。
\( \begin{cases}
\hspace{4pt} 5x-6y=-2\\
\hspace{4pt} 8x-14y=10
\end{cases}\)
このまま処理しても良いですけど係数を小さくしておきます。
\( \begin{cases}
\hspace{4pt} 5x-6y=-2\\
\hspace{4pt} 4x-7y=5
\end{cases}\)
\(\,x\,\)を消去します。
\(\hspace{14pt}20\,x-24\,y=-8\\
\underline{-)\,20\,x-35\,y=25 }\\
\hspace{42pt}11\,y=-33\\
\hspace{54pt}y=-3\)
第１方程式に戻して（どれでも良いです。）
\(\begin{eqnarray}
5\,x-6\times (-3)&=&-2\\
5\,x+18&=&-2\\
5\,x&=&-20\\
x&=&-4
\end{eqnarray}\)
答え\(\hspace{10pt}\underline{ x=-4\,,\,y=-3 }\)
(5)
「\(\,y\,\)は\(\,x\,\)に反比例」です。
\(\hspace{10pt}\displaystyle y=\frac{a}{x}\)
\(\,x=30\,\)のとき\(\displaystyle \,y=\frac{3}{5}\,\)なので比例定数は
\(\begin{eqnarray}
a&=&x\times y\\
&=&30\times \frac{3}{5}\\
&=&18
\end{eqnarray}\)
関数は\(\displaystyle \,y=\frac{18}{x}\,\)となり\(\,x=2\,\)のとき
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{18}{2}\\
&=&\underline{ 9 }
\end{eqnarray}\)
(6)
条件式を与式に代入してもしれていますが、
\(\begin{eqnarray}
x&=&\sqrt{17}+4\\
x-4&=&\sqrt{17}
\end{eqnarray}\)
ここで両辺平方して無理数部分を無くします。
\(\begin{eqnarray}
(x-4)^2&=&17\\
x^2-8x+16&=&17
\end{eqnarray}\)
ここからは一次式に下げるなり好きにしていいですが、
\(\hspace{10pt}\color{red}{x^2-8x}=1\)
として与式に代入します。
\(\hspace{10pt}\color{red}{x^2-8x}+15\\
=1+15\\
=\underline{ 16 }\)
次数が高くなっても使える計算の工夫です。
(7)
\(\hspace{10pt}3x^2-2x-3=0\)
因数分解できないので解の公式です。
\(\begin{eqnarray}
x&=&\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot (3)\cdot (-3)}}{2\times 3}\\
&=&\frac{2\pm\sqrt{4+36}}{6}\\
&=&\frac{2\pm \sqrt{40}}{6}\\
&=&\frac{2\pm 2\sqrt{10}}{6}\\
&=&\underline{\underline{ \frac{1\pm \sqrt{10}}{3} }}
\end{eqnarray}\)
※ルートの中の「\(\,\cdot\,\)」は掛け算を意味しています。
⇒ ２次方程式の解の公式二通りの求め方と便利な公式と文章題の解き方
１次の係数が偶数のときは少し計算が楽になります。
\(\begin{eqnarray}
x&=&\frac{1\pm \sqrt{1^2-3\cdot (-3)}}{3}\\
&=&\underline{\underline{ \frac{1\pm \sqrt{10}}{3} }}
\end{eqnarray}\)
(8)
回転体の「表面積」です。
高さは三平方の定理で出せますが、
出す必要はありません。
半径\(\,6\,\)の円周は\(\,12\,\pi\,\)なので
おうぎ形の中心角は
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{8\,\pi}{12\,\pi}\times 360^{\circ}=240°\)
求める表面積\(\,S\,\)は円とおうぎ形の面積を合わせたもので
\(\begin{eqnarray}
S&=&\pi\,(\,4\,)^2+\pi (\,6\,)^2\times \frac{240}{360}\\
&=&16\,\pi+24\,\pi\\
&=&\underline{ 40\,\pi }\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray}\)
おうぎ形の面積を求める公式には便利なものがあります。
知っていれば
\(\begin{eqnarray}
S&=&16\,\pi+\frac{1}{2}\times 8\,\pi\times 6\\
&=&16\,\pi+24\,\pi\\
&=&\underline{ 40\,\pi }\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray}\)
三角形の面積を求める公式と同じようにおうぎ形の面積が求まります。
(9)
四分位数では平均値はわからないことが多いのですが、
ここでは\(\,8\,\)人のデータであることがポイントです。
与えられた各四分位数から
\(\hspace{4pt}15\,,\,\color{blue}{18}\,,\,\color{blue}{18}\,,\,\color{red}{22}\,,\,\color{red}{22}\,,\,\color{magenta}{31}\,,\,\color{magenta}{31}\,,\,35\)
このデータと見なすことができるということです。
平均値は
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{15+18+18+22+22+31+31+35}{8}\\
\displaystyle =\frac{192}{8}\\
=\underline{ 24 }\mathrm{m}\)
第２問確率
\(\,\large{2}\,\)
確率なので樹形図で良いです。
カードの数はさいころの目と同じなので表で見ますが、
同じ目は出ないことには注意して下さい。
一回目のカードの数字を\(\,\color{red}{a}\,\)、
残りの\(\,4\,\)枚の最小と最大の和\(\,b\,\)を表中に書き込みます。
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\,\color{red}{1}\, & × & 9 & 8 & 8 & 8 & 7\\ \hline
\color{red}{2} & 9 & × & 7 & 7 & 7 & 6\\ \hline
\color{red}{3} & 8 & 7 & × & 7 & 7 & 6\\ \hline
\color{red}{4} & 8 & 7 & 7 & × & 7 & 6\\ \hline
\color{red}{5} & 8 & 7 & 7 & 7 & × & 5\\ \hline
\color{red}{6} & 7 & 6 & 6 & 6 & 5 & ×\\ \hline
\end{array}\)
これは\(\,×\,\)をつけた線で区切ると対称になるので半分見れば良いですが、
取り出し方に順番があるので全て見ます。
(1)
\(\,b\,\)が\(\,8\,\)になるのは6通り、
全部で30通りあるので
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{6}{30}=\underline{\underline{ \frac{1}{5} }}\)
(2)
\(\,10b+a\,\)が\(\,3\,\)の倍数になるのは、
\(\,a\,\)と\(\,b\,\)の和が\(\,3\,\)の倍数になれば良いので数えると\(\,14\,\)通り。
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{14}{30}=\underline{\underline{ \frac{7}{15} }}\)
ほんと、最低限は覚えておいた方が良いです。
第３問関数
\(\,\large{3}\,\)
条件を整理するのに苦労しそうですが、
わかることから求めて行けばなんとかなります。
点\(\,\mathrm{A}\,\)は直線
\(\hspace{10pt}\displaystyle y=-\frac{4}{3}x+15\)
上の点なので点\(\,\mathrm{A}\,\)の\(\,y\,\)座標は
\(\begin{eqnarray}
y&=&-\frac{4}{3}\times (5)+15\\
&=&\frac{25}{3}
\end{eqnarray}\)
点\(\,\mathrm{A}\,\left(\displaystyle \,5\,,\,\frac{25}{3}\right)\)
(1)
点\(\,\mathrm{A}\,\)は\(\,y=a\,x^2\,\)上の点でもあるので、
\(\begin{eqnarray}
\frac{25}{3}&=&a\times \,(\,5\,)^2\\
a&=&\underline{\underline{ \frac{1}{3} }}
\end{eqnarray}\)
(2)
求めるのは点\(\,\mathrm{D}\,\)の座標ですが比例定数が求めてあるので、
点\(\,\mathrm{B}\,\)と点\(\,\mathrm{C}\,\)の座標がわかります。
\(\hspace{4pt}\displaystyle y=\frac{1}{3}\,x^2\)
に\(\,x=-3\,\)を代入して\(\,y=3\,\)
点\(\,\mathrm{B}\,(\,-3\,,\,3\,)\)
点\(\,\mathrm{C}\,\)は\(\,y\,\)座標が点\(\,\mathrm{B}\,\)と同じ\(\,y=3\,\)で、
直線上の点なので\(\,x\,\)座標は
\(\begin{eqnarray}
3&=&-\frac{4}{3}\,x+15\\
x&=&9
\end{eqnarray}\)
これから点Cの座標は
\(\hspace{10pt}\,\mathrm{C}\,(\,9\,,\,3\,)\)
点\(\,\mathrm{D}\,\)は２点\(\,\mathrm{A\,,\,C}\,\)の中点なので\(\,x=7\,\)、
これは直線上の点なので\(\,y\,\)座標は
\(\begin{eqnarray}
y&=&-\frac{4}{3}\times (\,7\,)+15\\
&=&\frac{-28+45}{3}\\
&=&\frac{17}{3}
\end{eqnarray}\)
よって点\(\,\mathrm{D}\,\)の座標は
\(\hspace{10pt}\displaystyle \underline{\underline{ \left(\,7\,,\,\frac{17}{3}\,\right) }}\)
点\(\,\mathrm{D}\,\)は\(\,\mathrm{A\,,\,C}\,\)の中点なので
\(\hspace{10pt}\displaystyle \left(\,\frac{5+9}{2}\,,\,\frac{\frac{25}{3}+3}{2}\,\right)\)
としても良いです。
(3)
求める点\(\,\mathrm{E}\,\)は直線\(\,\mathrm{AB}\,\)上の点です。
直線\(\,\mathrm{AB}\,\)は２点
\(\,\mathrm{B}\,(\,-3\,,\,3\,)\)
\(\,\mathrm{A}\,\left(\displaystyle \,5\,,\,\frac{25}{3}\right)\)
を通るので傾きが\(\displaystyle \,\frac{2}{3}\,\)で、
点\(\,\mathrm{B}\,(\,-3\,,\,3\,)\,\)を通るので
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{2}{3}\,(\,x+3\,)+3\\
&=&\frac{2}{3}\,x+\frac{15}{3}
\end{eqnarray}\)
１次関数の求め方は説明してあるので見ておいてください。
ここからが本題です。
四角形\(\,\mathrm{ODAB}\,\)と\(\,\mathrm{△OEB}\,\)の面積が等しくなるとき、
点\(\,\mathrm{E}\,\)の座標を求めます。
これは平行線で等積移動させれば良いだけです。
四角形\(\,\mathrm{ODAB}\,\)と\(\,\mathrm{△OEB}\,\)は\(\,\mathrm{△OAB}\,\)を共通に持つので、
\(\,\mathrm{△OAD}\,\)と\(\,\mathrm{△OAE}\,\)の面積を等しくすれば良いことになります。
直線\(\,\mathrm{OA}\,\)の傾きは\(\displaystyle \,\frac{5}{3}\,\)なので、
直線\(\,\mathrm{DE}\,\)を表す１次関数は点\(\,\mathrm{D}\,\)を通ることから
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{5}{3}\,(\,x-7\,)+\frac{17}{3}\\
&=&\frac{5}{3}\,x-\frac{35}{3}+\frac{17}{3}\\
&=&\frac{5}{3}\,x-\frac{18}{3}
\end{eqnarray}\)
点\(\,\mathrm{E}\,\)は直線\(\,\mathrm{AB}\,\)との交点なので
\(\begin{eqnarray}
\frac{2}{3}\,x+5&=&\frac{5}{3}\,x-\frac{18}{3}\\
2\,x+15&=&5\,x-18\\
-3\,x&=&-33\\
x&=&11
\end{eqnarray}\)
このとき\(\,y\,\)座標は
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{2}{3}\times (\,11\,)+5\\
&=&\frac{22}{3}+\frac{15}{3}\\
&=&\frac{37}{3}
\end{eqnarray}\)
よって求める点\(\,\mathrm{E}\,\)の座標は
\(\hspace{10pt}\displaystyle \underline{\underline{ \left(\,11\,,\,\frac{37}{3}\,\right) }}\)
具体的な面積も求まるので方針は１つではありません。
第４問平面図形
\(\,\large{4}\,\)
合同、相似の平面図形総合問題です。
条件がややこしいくらいていねいに説明されているので、
確認しながらわかることを探していきましょう。
(1)
合同の証明です。
\(\hspace{10pt}\mathrm{△ABD}\,\)≡\(\,\mathrm{△EFA}\,\)
\(\,\mathrm{△OAD}\,\)は二等辺三角形なので底角が等しく、
\(\hspace{10pt}\mathrm{∠ODA=∠OAD}\)
もう一つ、\(\,\mathrm{BD}\,\)は直径なので円周角が\(\,90°\,\)となります。
後は仮定から「１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」、
がいえます。
⇒ 中学の図形証明問題(合同･相似)の解き方と証明の書き方ポイント
証明の書き方は自分が慣れている形で良いです。
(2)
線分\(\,\mathrm{DH}\,\)の長さを求めますが、
(1)からわかる長さがあります。
合同で\(\,\mathrm{AF=DB=12}\,\)なので
\(\hspace{10pt}\mathrm{DF}=\color{blue}{5}\)
\(\,\mathrm{G}\,\)は円周上の点なので\(\,\mathrm{∠AGC=90°}\,\)で、
\(\,\mathrm{△ACF}\,\)が二等辺三角形だから\(\,\mathrm{G}\,\)は\(\,\mathrm{CF}\,\)の中点になります。
「二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に２等分する。」
ここからは長さを求めて行きます。
分かり易いのは四角形\(\,\mathrm{ABCD}\,\)が長方形であることです。
（\(\,\mathrm{△ADC}\,\)が直角三角形というのも同じ。）
三平方の定理から正の値をとって
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AB^2+AD^2}&=&\mathrm{BD^2}\\
\mathrm{AB^2}+7^2&=&12^2\\
\mathrm{AB^2}&=&144-49\\
&=&95\\
\mathrm{AB}&=&\color{magenta}{\sqrt{95}}\,(\,＞\,0\,)
\end{eqnarray}\)
\(\,\mathrm{F}\,\)から直線\(\,\mathrm{BC}\,\)に垂線を下ろして交点を\(\,\mathrm{I}\,\)とすると、
\(\hspace{10pt}\mathrm{AB=FI}=\color{magenta}{\sqrt{95}}\)
\(\,\mathrm{△FCI}\,\)に三平方の定理を用いて
\(\begin{eqnarray}\displaystyle \mathrm{FC^2}&=&\mathrm{CI^2+FI^2}\\
&=&5^2+(\sqrt{95})^2\\
&=&25+95\\
&=&120\\
\mathrm{FC}&=&2\sqrt{30}
\end{eqnarray}\)
このとき
\(\hspace{10pt}\mathrm{CG=GF=GD}=\color{red}{\sqrt{30}}\)
ここまで来れば相似で終わります。
直角三角形で垂線下ろしているので、
\(\,\mathrm{△GBD}\,\)∽\(\,\mathrm{△HGD}\,\)
よって、
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{BD:GD}&=&\mathrm{GD:HD}\\
12:\sqrt{30}&=&\sqrt{30}:\mathrm{HD}\\
12\times \mathrm{HD}&=&30\\
\mathrm{HD}&=&\frac{30}{12}\\
&=&\underline{\underline{ \frac{5}{2} }}
\end{eqnarray}\)
説明は長くなりましたが、わかることを出して行けばそれ程時間はかかりません。
第５問空間図形
\(\,\large{5}\,\)
空間図形で少し見にくい面があります。
(1)
\(\,\mathrm{△ABC}\,\)は直角二等辺三角形なので、
\(\hspace{4pt}\mathrm{BC}=\color{red}{6\sqrt{2}}\,\)から
\(\hspace{10pt}\mathrm{AB=AC}=\underline{ 6 }\mathrm{cm}\)
(2)
四角形\(\,\mathrm{AGKI}\,\)の面積です。
いろいろな方法があります。
相似を使うと
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
\mathrm{△IJK}&=&\mathrm{△HIJ}\times \frac{1}{3}\\
&=&\frac{1}{2}\times 2\times 4\times \frac{1}{3}\\
&=&\frac{4}{3}
\end{eqnarray}\)
求める四角形の面積\(\,S\,\)は\(\,\mathrm{△AGJ}\,\)から\(\,\mathrm{△IJK}\,\)を引けば良いので
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
S&=&\frac{1}{2}\times 4\times 2-\frac{4}{3}\\
&=&4-\frac{4}{3}\\
&=&\underline{\underline{ \frac{8}{3} }}\,\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray}\)
もちろん相似から\(\,\mathrm{△GKI}\,\)を求めても良いです。
また、\(\,\mathrm{AK}\,\)で分割すると
\(\,\mathrm{△AKI=△AKG}\,\)（合同なので面積も等しい。）
このとき\(\,\mathrm{△HGK}\,\)も面積は等しいので
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
S&=&\mathrm{△AHI}\times \frac{2}{3}\\
&=&\frac{1}{2}\times 4\times 2\times \frac{2}{3}\\
&=&\underline{\underline{ \frac{8}{3} }}\,\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray}\)
(3)
三角錐\(\,\mathrm{MDEF}\,\)の体積を求めます。
交点\(\,\mathrm{M}\,\)の位置がどこになるかがわかりにくいかもしれません。
線分\(\,\mathrm{KD}\,\)も\(\,\mathrm{△DGJ}\,\)上にあり、
長方形\(\,\mathrm{ADLN}\,\)の面上にあります。
つまり、点\(\,\mathrm{M}\,\)は\(\,\mathrm{AL}\,\)と\(\,\mathrm{KD}\,\)の交点です。
\(\mathrm{△ABC}\,\)の２辺を\(\,\mathrm{GI\,,\,HJ}\,\)で３等分してあるので、
\(\,\mathrm{K}\,\)は\(\,\mathrm{AK:KN=4:5}\,\)となる点です。
求める三角錐の高さは
\(\hspace{10pt}\displaystyle 4\times \frac{9}{13}=\frac{36}{13}\)
となるので求める体積\(\,V\,\)は
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
V&=&\frac{1}{3}\times \mathrm{△DEF}\times \frac{36}{13}\\
&=&\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 6\times 6\times \frac{36}{13}\\
&=&\underline{\underline{ \frac{216}{13} }}\,\mathrm{cm^3}
\end{eqnarray}\)
いよいよ規則性です。
第６問規則性問題
\(\,\large{6}\,\)
問題に「規則的に並べたもの」とありますがわかりにくいかもしれません。
問題に沿って進めても良いのですが、
規則的、とはどういうことか１つの見方について触れておきます。
１番目の図形では周囲の辺を覆うのに３つのタイル、
２番目の図形では周囲の辺を覆うのに６つのタイル、
３番目の図形では周囲の辺を覆うのに９つのタイルを必要とします。
つまり\(\,n\,\)番目の図形の周囲の辺を覆うのに
\(\hspace{4pt}(\,n\times 3\,)\,\)枚のタイルが必要となります。
(1)
７番目の図形では６番目の図形の周囲の辺を覆うのに
\(\hspace{4pt}6\times 3\,=\,18\,\)枚のタイル\(\,\mathrm{A}\,\)が必要になります。
６番目の図形にはタイル\(\,\mathrm{A}\,\)が１９枚あるので
\(\hspace{10pt}19+18=\underline{ 37 }\,枚\)
(2)
これは２つの見方ができます。
全体で\(\,n\,\)番目の図形とみるか、
偶数番目で\(\,m\,\)番目とみるかです。
ここでは\(\,m\,\)番目の偶数だと見ます。
偶数番目のタイル\(\,\mathrm{B}\,\)の枚数は、
\(\hspace{10pt}3\,,\,12\,,\,27\,,\,\cdots \,,\,3\times m^2\)
となっているので３２は１６個目の偶数なので
\(\hspace{10pt}3\times 16^2\\
=3\times 256\\
=\underline{ 768 }\,枚\)
(1)から数字だけで見ておきましょう。
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
番目 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \cdots\\ \hline
\mathrm{A} & 1 & 1 & 7 & 7 & 19 & 19 & 37 & \cdots\\ \hline
\mathrm{B} & 0 & 3 & 3 & 12 & \color{red}{12} & \color{blue}{27} & 27 & \cdots\\ \hline
総数 & 1 & 4 & 10 & 19 & 31 & 46 & 64 & \cdots\\ \hline
\end{array}\)
６番目の図形にはタイル\(\,\mathrm{B}\,\)が\(\,15\,\)枚増えているので、
図形の周囲に\(\,15\,\)枚のタイル\(\,\mathrm{A}\,\)があります。
（これは\(\,\mathrm{Ⅱ}\,\)図で確認できます。）
このタイル\(\,\mathrm{A}\,\)の周囲の辺を覆うのに
\(\hspace{4pt}6\times 3=18\,\)枚のタイル\(\,\mathrm{B}\,\)が必要です。
(1)
\(\hspace{10pt}19+18=\underline{ 37 }\,枚\)
要は、７番目の図形を書き出せば答えは出るということです。
そしてこの作業こそが規則性を見つける手がかりになるのです。
(2)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
番目 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \cdots\\ \hline
\mathrm{A} & 1 & 1 & 7 & 7 & 19 & 19 & 37 & \cdots\\ \hline
\mathrm{B} & 0 & \color{red}{3} & 3 & \color{red}{12} & 12 & \color{red}{27} & 27 & \cdots\\ \hline
総数 & 1 & 4 & 10 & 19 & 31 & 46 & 64 & \cdots\\ \hline
\end{array}\)
偶数番目のタイル\(\,\mathrm{B}\,\)の数は
\(\hspace{10pt}3\,,\,12\,,\,27\,,\,\cdots\)
書き換えると
\(\hspace{10pt}3\times \color{red}{1}\,,\,3\times \color{red}{4}\,,\,3\times \color{red}{9}\,,\,\cdots\,,\,3\times \color{red}{m^2}\)
１６番目の偶数である３２番目の図形のタイル\(\,\mathrm{B}\,\)の枚数は
\(\hspace{10pt}3\times 16^2=\underline{ 768 }\,枚\)
奇数番目のタイル\(\,\mathrm{A}\,\)の数も文字式で表せますが、、、
分かり易い総数で見ておきましょう。
(3)
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
番目 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 &\cdots\\ \hline
\mathrm{A} & 1 & 1 & 7 & 7 & 19 & 19 & 37 & 37 & \cdots\\ \hline
\mathrm{B} & 0 & 3 & 3 & 12 & 12 & 27 & 27 & 48 &\cdots\\ \hline
総数 & \color{red}{1} & \color{red}{4} & \color{red}{10} & \color{red}{19} & \color{red}{31} & \color{red}{46 }& \color{red}{64} & \color{red}{85} & \cdots\\ \hline
\end{array}\)
総数のそれぞれの番目の「差」（階差といいます）を見ると
\(\hspace{10pt}3\,,\,6\,,\,9\,,\,12\,,\,\cdots\,,\,\color{red}{3(n-1)}\,,\,3n\,,\,\cdots\,\)
（\(\,n\,\)番目には\(\,3(n-1)\,\)を加えることになります。）
となっているので全体で見ると\(\,n\,\)番目のタイルの総数\(\,N\,\)は、
最初の\(\color{blue}{\,1\,}\)に差を全て加えるので
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
N&=&\color{blue}{1}+3+6+\cdots +3(n-1)\\
&=&\color{blue}{1}+3\{\color{red}{1+2+3+\cdots +(n-1)}\}\\
&=&\color{blue}{1}+3\times\color{red}{\frac{n(n-1)}{2}}\\
\end{eqnarray}\)
と自然数の和の公式を使えるのですが、
自然数の和の公式を求めるときと同じ方法でこの\(\,N\,\)を求めます。
\(\hspace{10pt}N=1+\color{red}{3}+\color{blue}{6}+\cdots +\color{blue}{3(n-2)}+\color{red}{3(n-1)}\)
もう一度同じ式を書きますが自然数の和を持つ部分、
３の倍数になっている部分の順番を入れかえます。
\(\hspace{10pt}N=1+\color{red}{3(n-1)}+\color{blue}{3(n-2)}+\cdots +\color{blue}{6}+\color{red}{3}\)
これらを順に足します。
２番目以降の上下の和が全て\(\,3n\,\)になっていることに注意して
\(\hspace{12pt}N=1+\color{red}{3}+\color{blue}{6}+\cdots +\color{blue}{3(n-2)}+\color{red}{3(n-1)}\\
\underline{+)\,N=1+\color{red}{3(n-1)}+\color{blue}{3(n-2)}+\cdots +\color{blue}{6}+\color{red}{3} }\\
\hspace{8pt}2N=2+(\,3n+3n+\cdots +3n\,)\)
和が\(\,3n\,\)になる組は\(\,n-1\,\)組あるので
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
2N&=&2+3n(n-1)\\
N&=&1+\frac{3}{2}n(n-1)
\end{eqnarray}\)
この総数は\(\,n\,\)が奇数偶数関係なく成り立ちます。
(3)の答えを求めておきます。
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
1+\frac{3}{2}n(n-1)&=&3826\\
\frac{3}{2}n(n-1)&=&3825\\
3n(n-1)&=&7650\\
n(n-1)&=&2550\\
n^2-n-2550&=&0\\
(n-51)(n+50)&=&0\\
n&=&51\,,\,-50
\end{eqnarray}\)
答え\(\hspace{10pt}n=\underline{ 51 }\)
確かに奇数番目になっています。
以上です。
※
奇数番目のタイル\(\,\mathrm{A}\,\)の個数からも見ておきます。
しかし高校数学を予習できていない人は飛ばして良いです。
中学生にもできなくはないですが分かり易くは無い。
奇数番目のタイル\(\,\mathrm{A}\,\)の数\(\,N_{od}\,\)は、
\(\,k\,\)番目の奇数で
\(\begin{eqnarray}
N_{od}&=&1+6+12+18+\cdots +6(k-1)\\
&=&1+6\times \{1+2+3+\cdots +(k-1)\}\\
&=&1+6\times \frac{k(k-1)}{2}\\
&=&1+3k(k-1)\\
&=&3k(k-1)+1\end{eqnarray}\)
そのときのタイル\(\,\mathrm{B}\,\)の数はその前の\(\,(\,k-1\,)\)番目の偶数と同じなので
（奇数番目ではタイル\(\,\mathrm{B}\,\)の数は変わりません。）
\(\hspace{10pt}\displaystyle N_{ev}=3\,(k-1)^2\hspace{10pt}\)※(2)で出てきています。
その総数は
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
N&=&N_{od}+N_{ev}\\
&=&\color{red}{3}k\color{red}{(n-1)}+1+\color{red}{3}(\color{red}{k-1})^2\\
&=&\color{red}{3(k-1)}\{k+k-1)\}+1\\
&=&3(k-1)(2k-1)+1
\end{eqnarray}\)
\(\hspace{10pt}3(k-1)(2k-1)+1=3826\)
これを解くと\(\,k=26\,\)と出てきます。
これは\(\,26\,\)番目の奇数ということなので、
\(\hspace{10pt}n=2\times 26-1=\underline{ 51 }\)
全体の番目としては\(\,51\,\)番目ということになります。
これって、
「数列で階差数列まで、
タスキガケ因数分解は当然やってあるだろう。」
ということではありません。
（もちろん解の公式で求まりますよ。）
ただ、自然数の和は小学生でもできます。
\(\hspace{10pt}\color{red}{1}+\color{blue}{2}+\color{magenta}{3}+\cdots +\color{magenta}{98}+\color{blue}{99}+\color{red}{100}\\
=\color{red}{100}+\color{blue}{99}+\color{magenta}{98}+\cdots +\color{magenta}{3}+\color{blue}{2}+\color{red}{1}\\
\displaystyle =101\times \frac{100}{2}\\
=101\times 50\\
=5050\)
この計算はガウス少年が小学生（数十年前読んだ書では9歳か、4年生？だった気がする。）のとき、
小学生ながらにやって見せたといわれている計算です。
中学生はこれを文字式に置き換えるだけ。
ここまでにしておきます。
京都府の前期問題は数学の本質を学ぶのはもちろんですが、
本気で数学の問題と向き合う気がありますか？
といっているような問題が多いです。
