２０２４年（令和６年度）鹿児島県公立高校入試数学の解説です。
２０２６年から逆に解説してきました。
ここまで来れば傾向はつかめて来るのではないでしょうか。
どういう見方をするかはわかりませんが、はっきりいって出題範囲、レベルともに幅広いです。
ただし、基礎知識は当然として作業の範囲は一般のレベルを超えてはいません。
2024年（令和6年度）鹿児島県公立高校入試数学の解説
鹿児島県は問題の公開をしていませんので当会でも添付はしません。
申し訳ありませんがご自身で入手して頂き、作業を解説とともに進めてご確認ください。
解説だけ見てもたぶんこの手の問題はなじめませんよ。
第１問小問集合その１
\(\Large{\color{black}{\fbox{1}}}\)
\(\,1\,\)
(1)
\(\hspace{10pt}41-7\times 5\\
=41-35\\
=\underline{ 6 }\)
計算順序に注意ですが、引き算も確実にしましょう。
どんなに簡単な問題でも配点はほとんど変わらないのです。
鹿児島の問題はそれでも差がつく問題構成です。
(2)
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{3}{4}\div \frac{9}{8}+\frac{1}{2}\\
\displaystyle =\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}+\frac{1}{2}\\
\displaystyle =\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\\
\displaystyle =\frac{4+3}{6}\\
\displaystyle =\underline{\underline{ \frac{7}{6} }}\)
当然ですが分数計算は文字式でも同じです。
(3)
\(\hspace{10pt}\displaystyle \sqrt{18}-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\\
\displaystyle =3\sqrt{2}-\frac{2}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle =3\sqrt{2}-\sqrt{2}\\
=\underline{\underline{ 2\sqrt{2} }}\)
２項目は分母の有理化を先にしても良いです。
(4)
素因数分解するのが普通なのかもしれませんが、
\(\,72\,\)の約数をすべて書き出せば確実です。
\(\,1\,\)から書いて行くと思うのですが、
対になる約数を書き出して行くと早いです。
\(\hspace{10pt}1-\color{red}{72}\\
\hspace{10pt}2-36\\
\hspace{10pt}3-\color{red}{24}\\
\hspace{10pt}4-18\\
\hspace{10pt}6-12\\
\hspace{10pt}\color{red}{8}-9\)
答え\(\hspace{4pt}\underline{ 8\,,\,24\,,\,72 }\)
ちなみに素因数分解すると
\(\hspace{4pt}72=\color{red}{2^3}\times 3^2\)
なので、
\(\hspace{10pt}\underline{ \color{red}{2^3}\,,\,\color{red}{2^3}\times 3\,,\,\color{red}{2^3}\times 3^2 }\)
(5)
自然数\(\,n\,\)で表せる\(\,5\,\)の倍数を探します。
\(\hspace{10pt}\color{red}{5}\,n\hspace{4pt}\,,\hspace{4pt}\,5n+10=\color{red}{5}(\,n+2\,)\)
\(\,n\,\)は自然数なのでこの２つが\(\,\color{red}{5}\,\)で割り切れます。
答え\(\hspace{10pt}\underline{ イ\,,\,エ }\)
\(\,2\,\)
「因数分解しなさい。」という問題は当然因数分解出来ます。
\(\begin{eqnarray}
a(x-y)-\color{red}{b}x+\color{red}{b}y&=&a(x-y)-b(x-y)\\
&=&(x-y)(a-b)
\end{eqnarray}\)
因数分解の手順は決まっています。
⇒ 因数分解の手順
リンク先は当会の高校数学の因数分解の手順と実例ですが、
手順だけでも知っておくと良いです。
高校入試で使うのはほぼ手順\(\,②\,\)までです。
上の因数分解の方法は\(\,a\,\)について整理したものです。
すべての文字の次数は同じなので\(\,x\,\)について整理すると
\(\begin{eqnarray}
a(x-y)-bx+by&=&a\color{red}{x}-ay-b\color{red}{x}+by\\
&=&x(a-b)-a\color{blue}{y}+b\color{blue}{y}\\
&=&x(a-b)-y(a-b)\\
&=&(a-b)(x-y)
\end{eqnarray}\)
と同じ結果になります。
偶然同じ因数が出来たわけではありません。
\(\,3\,\)
比例式でも良いですが、
\(\hspace{10pt}\displaystyle 176\times \frac{100}{110}\\
\displaystyle =\underline{ 160 }円\)
比例式だと
\(\begin{eqnarray}
100:110&=&x:176\\
110\,x&=&100\times 176\\
x&=&\frac{100}{110}\\
&=&160
\end{eqnarray}\)
比例式に慣れた人だと上の計算をしますね。
おそらく当会の記事を見たことがある高校生くらいでしょうか。
このサイトでも触れています。
\(\,4\,\)
角度を求める問題は順序はどうでも良いですが、
分かる角度を書いていけば自ずと出てきます。
図の条件と\(\,\mathrm{△ADC}\,\)の内角の和から
\(\hspace{10pt}\mathrm{∠ACD}=\color{magenta}{51°}\)
平行線の錯角は等しくなるから
\(\hspace{10pt}∠x=\underline{ 51 }度\)
\(\,5\,\)
標本抽出です。
比例式ですが２つ考えられます。
最初に箱の中にあった赤玉の数を\(\,x\,\)とすると
\(\begin{eqnarray}
(x+100):100&=&40:4\\
4(x+100)&=&100\times 40\\
x+100&=&1000\\
x&=&900
\end{eqnarray}\)
白玉を加えた全体の個数を\(\,x\,\)とすると
\(\begin{eqnarray}
x:100&=&40:4\\
4x&=&100\times 40\\
x&=&1000
\end{eqnarray}\)
加えた白玉の個数を引いて
\(\hspace{10pt}1000-100=900\)
いずれにしても答えは約\(\,\underline{ 900 }\,\)個
比例式の計算になれたら
\(\begin{eqnarray}
4\times \frac{x+100}{40}&=&100\\
x+100&=&1000\\
x&=&900
\end{eqnarray}\)
とできますね。
理科で大活躍する計算方法でもあります。
第２問小問集合その２
\(\Large{\color{black}{\fbox{2}}}\)
\(\color{black}{\fbox{1}}\)が計算主体なのに対し、
ここは少し作業が必要になる考え方主体の問題になります。
\(\,1\,\)
正多面体は５つありますが、、どこから見ても正多面体なのです。
だから正八面体のどの辺を見ても回転させれば同じです。
辺\(\,\mathrm{\color{magenta}{AB}}\,\)について見ると１つ交わりもしない辺がありますが、平行です。
よって、ねじれの位置にある辺は４本です。
答え\(\hspace{10pt}\underline{ ア }\)
\(\,2\,\)
関数のグラフを具体的な比例定数や傾き、切片を与えてすべて書けば良いだけです。
\(\hspace{10pt}a\,＜\,0\,,\,b\,＞\,0\hspace{4pt}⇒\hspace{4pt}a=-3\,,\,b=3\)
\(\hspace{10pt}\displaystyle y=-3x+3\)
\(\hspace{10pt}\displaystyle y=\frac{-3}{x}\)
\(\hspace{10pt}\displaystyle y=-x^2\)
定数が変わってもグラフのおおよその形は分かりません。
答え\(\hspace{10pt}\underline{ ウ }\)
グラフを書かなくても定数を決めて、
１つずつ一致するものを探していっても良いですよ。
直線からウかエで、反比例からもウかエ。
放物線は\(\displaystyle \,\frac{b}{a}\,＜\,0\,\)なので下に開くからウ。
\(\,3\,\)
作図です。
これは『さくっと！』で習得しているだろうから手順だけ示します。
\(\,\color{red}{①}\,\)直径\(\,\mathrm{AB}\,\)の垂直二等分線を引いて\(\,\mathrm{AB}\,\)との交点を中心\(\,\mathrm{O}\,\)とする。
\(\,\color{blue}{②}\,\)点\(\,\mathrm{P}\,\)を中心に半径\(\,\mathrm{PO}\,\)の円を描き正三角形を作る。
\(\,\color{magenta}{③}\,\)角の二等分線の性質を利用して\(\,\mathrm{∠POQ=30°}\,\)となる点\(\,\mathrm{Q}\,\)を描く。
※
同じ色の弧は同じ半径です。
\(\,4\,\)
確率です。
紙コップ\(\,\mathrm{A}\,\)からは奇数しか出ないので、
紙コップ\(\,\mathrm{B}\,\)から偶数を引けば積が偶数になります。
答え\(\hspace{10pt}\displaystyle \underline{\underline{ \frac{1}{3} }}\)
樹形図で確認すると良いです。
ここでは積を表に示しておきます。
\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
& \color{red}{1} & \color{red}{3} & \color{red}{7} \\ \hline
\,\color{blue}{2}\, & \color{magenta}{2} & \color{magenta}{6} & \color{magenta}{14} \\ \hline
\color{blue}{5} & 5 & 15 & 35 \\ \hline
\color{blue}{9} & 1 & 27 & 63 \\ \hline
\end{array}\)
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{3}{9}=\underline{\underline{ \frac{1}{3} }}\)
\(\,5\,\)
連立方程式を立てますが方程式を立てるときは、
何を等しいとおくか注目です。
１つは食品全体の量
\(\hspace{10pt}x+y=240 ･･･①\)
もう一つは食品全体が\(\,\mathrm{100\,g}\,\)のとき食物繊維の量が、
さつまいも：\(\,2,200\,\mathrm{mg}\)
にんじん：\(\,2,400\,\mathrm{mg}\,\)
なので食物繊維の量で方程式を立て、係数を小さくしておくと
\(\begin{eqnarray}
2200\times \color{red}{\frac{x}{100}}+2400\times \color{red}{\frac{y}{100}}&=&5440\\
22\,x+24\,y&=&5440\\
11\,x+12\,y&=&2720 ･･･②
\end{eqnarray}\)
①②を連立して解きます。
\( \begin{cases}
\hspace{4pt} x+y=240 ･･･①\\
\hspace{4pt} 11\,x+12\,y=2720 ･･･②
\end{cases}\)
代入法でも加減法でも良いですね。
代入法でやっておきます。
①を変形し
\(\hspace{10pt}y=240-x\)
これを\(\,②\,\)に代入して
\(\begin{eqnarray}
11\,x+12(\,240-x\,)&=&2720\\
11\,x-12x&=&2720-2880\\
-x&=&-160\\
x&=&160
\end{eqnarray}\)
このとき
\(\hspace{10pt}y=80\)
答え\(\hspace{10pt}さつまいも\underline{ 160 }\mathrm{g}\,,\,にんじん\underline{ 80 }\mathrm{g}\)
\(\,1\,\mathrm{g}=1000\,\mathrm{mg}\,\)だから第二方程式は
\(\hspace{10pt}\displaystyle 2.2\times \color{red}{\frac{x}{100}}+2.4\times \color{red}{\frac{y}{100}}=5.44\)
としても両辺同じ単位なので成り立ちます。
比例計算の復習みたいになっていますが、
上の方程式を立てるとき比例計算を部分的にしていますが、
赤字の部分には単位がありません。
（同じ単位が分母分子にあるので単位はなく、「倍」の意味になります。）
第３問データの活用
\(\Large{\color{black}{\fbox{3}}}\)
\(\,1\,\)
中央値を求めますが１２個のデータなので、
６番目と７番目の平均になります。
\(\hspace{4pt}5.8\,,\,9.5\,,\,9.8\,,\,10.5\,,\,12.4\,,\,\color{red}{12.6}\,,\,\color{red}{14.3}\,,\,16.5\,,\,19.9\,,\,23.9\,,\,24.3\,,\,24.9\)
中央値は
\(\hspace{4pt}\displaystyle \frac{12.6+14.3}{2}\\
\displaystyle =\frac{26.9}{2}\\
=13.45\)
答え\(\hspace{4pt}\underline{ 13.5 }℃\)
全部のデータを書き出して１２個あるか確認しましたが、
小さい方から６番目と７番目を取り出しても良いです。
（順序がバラバラなので間違えないように。）
\(\,2\,\)
表２の度数分布表を見ながらヒストグラムが違っているものを選びます。
ア：\(\,\color{red}{2002}\,\)
度数分布表そのままで度数も合っています。
イ：\(\,\color{red}{2002}\,\)
階級２つ分を１つにしていて度数も合っています。
ウ：\(\,\color{red}{2002}\,\)
階級３つ分を１つにしていますが、
前半の度数と後半の度数が逆です。×
エ：\(\,\color{blue}{2022}\,\)
度数分布表そのまままで度数も合っています。
オ：\(\,\color{blue}{2022}\,\)
階級２つ分を１つにしていますが、
３１未満のデータは０です。×
カ：\(\,\color{blue}{2022}\,\)
階級３つ分を１つにしていて度数も合っています。
答え\(\hspace{4pt}\underline{ ウ\,,\,オ }\)
\(\,3\,\)
わかりにくいですが９月の３０日分と１０月の３１日分の気温のデータです。
(1)
気温の算出方法が【手順】にあります。
\(\,15\,\)秒間にコオロギが鳴く平均回数を\(\,x\,\)とすると
\(\hspace{10pt}\displaystyle （推定気温）=\frac{5(x+8)}{9}\)
\(\,x=28\,\)とすると
\(\begin{eqnarray}
（気温）&=&\frac{5(28+8)}{9}\\
&=&\frac{5\times 36}{9}\\
&=&\underline{ 20 }（℃）
\end{eqnarray}\)
(2)
\(\,20\,\)℃を含む階級の相対度数が多い方を選べば良いです。
答え９月
理由：\(\,19\,\)℃以上\(\,21\,\)℃未満の階級の相対度数が９月の方が大きいから。
\(\,4\,\)
月ごとの最低気温の箱ひげ図なので、
それぞれデータ数各１２個なので三ケ月分のデータで区切られていることに注目です。
鹿児島県の北から南の順に並んでいます。
\(\,\large{①}\,\)：
範囲は最大値と最小値の差で大口が最も大きい。
四分位範囲は第３四分位数と第１四分位数の差で与論島が一番小さい。
正しい。\(\underline{ ア }\)
\(\,\large{②}\,\)：
第１四分位数だけ見ても鹿児島の方が志布志より大きい。
正しくない。\(\underline{ イ }\)
\(\,\large{③}\,\)：
大口では第１四分位数から０℃以下の月が４つある可能性はあります。
（３つのデータが\(\,-7\,\)で４つめが\(\,0\,\)℃以上だと第１四分位数が合わない。）
ただし、４つとは限りません。\(\underline{ ウ }\)
\(\,\large{④}\,\)：
指宿も第１四分位数から２℃未満だった月は３つ以上あります。
（第１四分位数は平均なので少なくとも２℃未満の月は３つある。）
正しくない。\(\underline{ イ }\)
第４問動点と方程式
\(\Large{\color{black}{\fbox{4}}}\)
３点が動くのでややこしいですが、マオさんと自動車は速度が一定です。
ドローンは速度を増していく加速度運動と言います。
位置関係を図にして見ていきますが問の順に進めます。
\(\,1\,\)
関数\(\hspace{4pt}\displaystyle y=\frac{1}{6}\,x^2\,\)のグラフ上にある点を選びます。
４つある点の座標は
\(\hspace{4pt}(12\,,\,36)\,,\,(\,18\,,\,54\,)\,,\,(24\,,\,84)\,,\,(30\,,\,144)\)
このうち関数を満たすのは\(\,(\,\color{red}{18}\,,\,\color{blue}{54}\,)\)です。
\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{1}{6}\times (\,\color{red}{18}\,)^2\\
&=&\frac{1}{6}\times 18\times 18\\
&=&\color{blue}{54}
\end{eqnarray}\)
答え\(\hspace{10pt}\underline{ イ }\)
\(\,2\,\)
平均の速さを求めます。
関数\(\displaystyle \,y=\frac{1}{6}\,x^2\,\)において\(\,x=10\,\)から\(\,x=20\,\)と変化するときの
変化の割合（平均変化率）を計算します。
\(\hspace{10pt}\displaystyle \left(\,10\,,\,\frac{100}{6}\,\right)\,,\,\left(\,20\,,\,\frac{400}{6}\right)\)
\(\hspace{10pt}（\,x\,の増加量）=\,20-10\,=\,10\)
\(\hspace{10pt}\displaystyle （\,y\,の増加量）=\frac{400-100}{6}={50}\)
から
\(\hspace{10pt}\displaystyle （平均の速さ）=\frac{50}{10}\,=\,5\)
答え\(\hspace{10pt}秒速\underline{ 5 }\mathrm{m}\)
時間が経つにつれて速さは早くなっていきますが、
この区間での平均の速さが傾きで求まるのです。
\(\,3\,\)
問題が意味している位置を図で見て行きましょう。
(1)
自動車とドローンは同じ位置\(\,\mathrm{P}\,\)にいて、
マオさんは\(\,54\,\mathrm{m}\,\)先にいます。
マオさんは秒速\(\,\mathrm{3\,m}\,\)で走るので\(\,t\,\)秒後にドローンと同じ位置にいるなら
\(\begin{eqnarray}
\frac{1}{6}\,t^2&=&54+3\,t\\
t^2&=&324+18\,t\\
t^2-18\,t-324&=&0
\end{eqnarray}\)
因数分解を試みますが出来ませんので解の公式です。
\(\begin{eqnarray}
t&=&\frac{9\pm \sqrt{9^2-(-324)}}{1}\\
&=&9\pm \sqrt{405}\\
&=&9\pm 9\sqrt{5}
\end{eqnarray}\)
\(\hspace{4pt}0\,≦\,t\,≦\,30\)を満たすのは
\(\hspace{10pt}t=9+9\sqrt{5}\)
答え\(\hspace{10pt}\underline{ 9+9\sqrt{5} }秒後\)
やはり、ここできましたね。
解の公式は必ず使えるようになっておきましょう。
⇒ ２次方程式の解の公式二通りの求め方と便利な公式と文章題の解き方
解の公式は１次の係数が偶数のとき計算が楽になります。
※
\(\,9\sqrt{5}=\sqrt{405}\,＜\,\sqrt{441}=21\,\)
なので\(\,9+9\sqrt{5}\,\)は\(\,30\,\)より小さいことが分かります。
(2)
先ずは位置関係です。
(1)と同様に方程式を立てます。
自動車が\(\,x\,\)秒でマオさんに追いつくとすると
\(\begin{eqnarray}
54+3\,x&=&4.8\,x\\
1.8\,x&=&54\\
x&=&30\,(秒)
\end{eqnarray}\)
この\(\,30\,\)秒でたどり着いた地点\(\,\mathrm{R}\,\)までの距離は
\(\hspace{10pt}54+3\times 30\\
=54+90\\
=144\,(\,\mathrm{m}\,)\)
または
\(\hspace{10pt}4.8\times 30\\
=144\,(\,\mathrm{m}\,)\)
（同じじゃないとおかしい。）
つまり、\(\,\mathrm{P}\,\)から\(\,\mathrm{Q}\,\)までの距離が\(\,\mathrm{144\,m}\,\)です。
なので\(\,\mathrm{RQ}\,\)間の距離は
\(\hspace{10pt}900-144\,=\,756\,(\mathrm{m})\)
\(\,\mathrm{RQ}\,\)間を\(\,180\,\)秒で走るので
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{756}{180}=4.2\,\)
答え\(秒速\underline{ 4.2 }\,(\,\mathrm{m}\,)\)
\(\,\mathrm{S}\,\)（スタート）\(\hspace{4pt}\rightarrow\,\hspace{4pt}\)\(\,\mathrm{G}\,\)（ゴール）区間を走るとして、
果たして記録更新出来たのでしょうか。
分かるでしょうか？
「駅伝」や「記録」というのはこの問題には関係ないことばなのです。
第５問平面図形
\(\Large{\color{black}{\fbox{5}}}\)
図が\(\,1～6\,\)まであってどれを利用するか迷う問題ですが、
【会話】で言いたいことのまとめが図\(\,4\,\)です。
問いの順に見て行きます。
\(\,1\,\)
\(\,\mathrm{∠CGD}\,\)の大きさを求めます。
\(\,\mathrm{△BCD}\,\)に外接している円の円周角を見ると、
正三角形の１つの内角と等しいので
\(\hspace{10pt}\mathrm{∠CGD=∠CBD}=\underline{ 60 }（度）\)
これは各辺に作った正三角形で言えることなので、
交点\(\,\mathrm{G}\,\)の周りの６つの角はすべて\(\,60°\,\)です。
\(\,2\,\)
\(\hspace{4pt}\mathrm{AG+BG+CG=AD}\,\)となることの証明です。
正三角形の１つの内角は\(\,60°\,\)で、
\(\,\mathrm{∠BDG}\,\)が共通であるから引いた角が等しくなることから合同が言えます。
先ずは合同の（証明）を埋めていきましょう。
（証明）
\(\,\mathrm{△BHD}\,\)と\(\,\mathrm{△CGD}\,\)において,
\(\color{black}{\fbox{\(\,\mathrm{△BCD}\,\)}}\)は正三角形であるから,
\(\hspace{10pt}ＢＤ=ＣＤ ･･･①\)
\(\color{black}{\fbox{\(\,\mathrm{△GHD}\,\)}}\)は正三角形であるから,
\(\hspace{10pt}ＨＤ=ＧＤ ･･･②\)
また,\(\mathrm{∠BDH=}\color{black}{\fbox{\(\,60°-\mathrm{∠BDG}\,\)}}\,,\,\mathrm{∠CDG}=\color{black}{\fbox{\(\,60°-\mathrm{∠BDG}\,\)}}\)
よって,\(\mathrm{∠BDH=∠CDG} ･･･③\)
①,②,③より,
２組の辺とその間の角が等しいから,
\(\hspace{10pt}\mathrm{△BHD}\,≡\,\mathrm{△CGD}\,\)
（続き）
合同が成り立つことにより,
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AG+BG+\color{green}{CG}}&=&\mathrm{AG+\color{blue}{BG}}+\color{black}{\fbox{\(\,\mathrm{\color{green}{BH}}\,\)}}\\
&=&\mathrm{AG}+\color{black}{\fbox{\(\,\mathrm{GH}\,\)}}\\
&=&\mathrm{AG+\color{red}{GD}}\\
&=&\mathrm{AD}
\end{eqnarray}\)
ここまでが誘導になります。
証明できなくても利用出来るところは使うと良いです。
\(\,3\,\)
具体的な長さが出てきます。
\(\hspace{4pt}\mathrm{AG=4\,,\,BG=\color{blue}{5}\,,\,CG=\color{green}{3}}\)
(1)
\(\,2\,\)から
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{GD}&=&\mathrm{BG+CG}\\
&=&\color{blue}{5}+\color{green}{3}\\
&=&\underline{ 8 }
\end{eqnarray}\)
同じことが言えるので
\(\hspace{10pt}\mathrm{GE=AG+CG}=\color{magenta}{7}\)
\(\hspace{10pt}\mathrm{GF=AG+BG}=\color{magenta}{9}\)
を図に書き込んであります。
（使うかどうかは方針次第です。）
(2)
\(\,\mathrm{ＣＤ}\,\)の長さを求めます。
正三角形の辺なので
\(\hspace{10pt}\mathrm{ＣＤ=ＢＤ}\)
なので\(\,\mathrm{ＢＤ}\,\)を求めます。
\(\,\mathrm{B}\,\)から\(\,\mathrm{GD}\,\)に垂線を引き交点を\(\,\mathrm{Ｉ}\,\)とすると、
\(\,\mathrm{△BGI}\,\)は三角定規の比を持つ直角三角形です。
\(\,\mathrm{GB=\color{blue}{5}}\,\)だから
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{GI:GB:BI}&=&:1:2:\sqrt{3}\\
&=&\color{red}{\frac{5}{2}}:\color{blue}{5}:\color{magenta}{\frac{5}{2}\sqrt{3}}
\end{eqnarray}\)
\(\,\mathrm{GD=8}\,\)なので
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{ID}&=&\mathrm{GD-GI}\\
&=&8-\frac{5}{2}\\
&=&\color{blue}{\frac{11}{2}}
\end{eqnarray}\)
ここで\(\,\mathrm{△BDI}\,\)に三平方の定理を用いて、
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{BD^2}&=&\mathrm{BI^2＋ID^2}\\
&=&\left(\,\frac{5}{2}\sqrt{3}\,\right)^2+\left(\,\frac{11}{2}\,\right)^2\\
&=&\frac{75}{4}+\frac{121}{4}\\
&=&49\\
\mathrm{BD}&=&\pm 7\\
\end{eqnarray}\)
長さだから\(\,\mathrm{BD\,＞\,0}\,\)で
\(\hspace{10pt}\mathrm{ＢＤ=ＣＤ}=\underline{ 7 }\)
※
点\(\,\mathrm{C}\,\)から垂線を引いても良いです。
実はその方が(3)は楽になるのですが狭いので\(\,\mathrm{B}\,\)から垂線を引きました。
(3)
正三角形\(\,\mathrm{BDC}\,\)と正三角形\(\,\mathrm{ACE}\,\)の面積比を求めます。
(2)と同じように\(\,\mathrm{A}\,\)から\(\,\mathrm{GE}\,\)に垂線を下ろします。
交点を\(\,\mathrm{K}\,\)とすると\(\,\mathrm{△AGK}\,\)は三角定規の辺の比を持つ直角三角形です。
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{GK:AG:AK}&=&1:2:\sqrt{3}\\
&=&2:4:\color{magenta}{2\sqrt{3}}
\end{eqnarray}\)
\(\,\mathrm{GE}=\color{magenta}{7}\,\)なので
\(\hspace{10pt}\mathrm{KE}=7-2=\color{blue}{5}\)
\(\,\mathrm{△AKE}\,\)に三平方の定理を用いて、
\(\begin{eqnarray}
\mathrm{AE^2}&=&\mathrm{AK^2+KE^2}\\
&=&(2\sqrt{3})^2+5^2\\
&=&12+25\\
&=&37
\end{eqnarray}\)
\(\,\mathrm{AE\,＞\,0}\,\)より
\(\hspace{10pt}\mathrm{AE}=\color{red}{\sqrt{37}}\)
\(\,\mathrm{△BDC}\,\)と\(\,\mathrm{△ACE}\,\)はどちらも正三角形で相似です。
相似比が\(\,\color{blue}{7}:\color{red}{\sqrt{37}}\,\)なので面積比は
\(\begin{eqnarray}\mathrm{S:T}&=&(\,\color{blue}{7}\,)^2:(\,\color{red}{\sqrt{37}}\,)^2\\
&=&\underline{ 49:37 }
\end{eqnarray}\)
(2)で\(\,\mathrm{C}\,\)から\(\,\mathrm{AD}\,\)に垂線を引いて三平方の定理を使えば、
\(\,\mathrm{AC}\,\)の長さが求まるので少し計算は減ります。
（難易度は変わりません。）
以上です。
令和８年度、令和７年度は解説済みです。
逆に令和６年度までさかのぼったのには理由がありますがどっちでも良いです。
３年分見ておけば傾向はつかめると思います。
