展開公式や因数分解を利用した代入問題のポイントと対称式(中学3年)

展開公式や因数分解を利用した代入問題のポイントと対称式や基本対称式の利用方法です。
中学3年で問題になるのは数学の便利さを利用するものです。
代入問題をやみくもに計算する算数の延長ではなく、覚えるまで練習してきた展開公式や因数分解公式を代入問題にも利用しましょう。

文字式に数値を代入するときのポイント

文字式で数値を代入するときのポイントは、
　いきなり代入することはしない
ということです。

学校でも何度も言われているとは思いますが文字式を簡単にしてから代入する、でしたよね。

問題に入りますが問題４（１）は別のページにありますので、ここにはありません。
間違えではないので気にしないでください。

条件式と与式（求値式）とは

後々のためにも数学用語の説明を少ししておきます。

この問題の、
「　\( x=2　,　y=-5\) 」のように与えられた数値がある式を ‘条件式’、
「　\( (x-y)(x+4y)-(x+2y)(x-2y)\) 」のように値を求めいたい式を‘与式’または‘求値式’と呼びます。

名前はどうでも良いのですが、説明しやすくするために書いておきます。ｗ
もちろん、普段から使って良いですよ。

この手の問題は、与式を簡単にしてから最後に条件式を代入するのが基本です。

間違っても最初っから代入しないようにして下さい。
計算がたいへんです。

　\(\hspace{10pt}(x-y)(x+4y)-(x+2y)(x-2y)\\
=\{(2)-(-5)\}\{(2)+4(-5)\}-\{(2)+2(-5)\}\{(2)-2(-5)\}\\
=(2+5)(2-20)-(2-10)(2+10)\\
=7\times (-18)-(-8)\times (12)\\
=-126+96\\
=-30\)

会員に向けて言うなら、（一般的に言っているのではありませんので誤解しないで下さい。）
「算数やってんじゃないんだからこんな計算するくらいならこの問題捨てろ！」と言いたいです。
入試のときは\(\,1\,\)点でも多く取りたいだろうからやって良いです。笑

与式を変形して見ましょう。
展開して整理するするだけです。

　\(\begin{eqnarray}
(与式)&=&(x^2+3xy-4y^2)-(x^2-4y^2)\\
&=&x^2+3xy-4y^2-x^2+4y^2\\
&=&3xy
\end{eqnarray}\)

これが答えではありません。

ここで良くやるミスは、もっとややこしい式のときによくあるのですが、
この与式の計算で満足して、代入することを忘れることです。w

答えを書くときはしっかりと、
　問題の聞いていることを確認すること！
でないと、点数はありません。

代入するとき（カッコ）をつけて代入することも忘れないようしましょう。

⇒　代入とは？文字式に代入するときのポイントと項と同類項(中学1年)

問題の続きです。

　\(\begin{eqnarray}
(与式)&=&3xy\\
&=&3\times \color{red}{(2)}\times \color{red}{(-5)}\\
&=&\underline{-30}
\end{eqnarray}\)

これが答えです。

対称式と基本対称式の利用は中学でも良く出る

二つの文字　\( a　,　b\)　があって、
　\( a\)　と　\(b\)　を入れかえても同じ式になる式を‘対称式’といい、
　\( a+b\)　と　\( ab\)　のことを‘基本対称式’といいます。

この用語も中学では必要ありませんが高校では非常に重要になるので覚えておくと良いです。
対称式の性質が使えない高校生はだいたいですが、数学が下手くそです。笑

もちろん、しっかり理解できていれば今から使って良いです。

例えば、\( a^2-ab+b^2\)　で
　\( \color{red}{a}\)　の変わりに　\(\color{blue}{b}\)　を、
　\( \color{blue}{b}\)　の変わりに　\(\color{red}{a}\)　を入れると、
　\(\hspace{10pt} \color{red}{a}^2-\color{red}{a}\color{blue}{b}+\color{blue}{b}^2\\
=\color{blue}{b}^2-\color{blue}{b}\color{red}{a}+\color{red}{a}^2\)
となり、元の式と同じなので対称式です。

この対称式は必ず基本対称式を使って表すことができるのです。

それは高校で詳しくやってもらうとして、
高校（学校）でも対称式についての説明はあまりないかもしれませんが、自分で(^^;)

⇒　数学Ⅰ式の変形　因数分解と対称式、基本対称式

これを参考にして使いこなすと少しは数学がうまくなります。

今は式変形のいくつかを覚えておいて下さい。

　\(\color{red}{ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)

を基本に考えます。

　\(a^2\)　と　\( b^2\)　は変わりませんので、
　\( ab\)　の項の係数を合わせます。

この問題ですと、

　\(\hspace{10pt} a^2-ab+b^2\\
=a^2\color{blue}{+2ab}+b^2\color{red}{-3ab}\\
=(a+b)^2\color{red}{-3ab}\\
=(4)^2-3(-1)\\
=16+3=19\)

ここでは
　\(-ab=\color{blue}{+2ab}-\color{red}{3ab}\)
であることを利用して

　\(\hspace{10pt} a^2\color{red}{-ab}+b^2\\
=a^2\color{red}{+2ab}+b^2\color{red}{-3ab}\\
=(a+b)^2-3ab\)

の変形ができるかどうかがポイントです。
いくつか例をあげておきますので、自分で確認しておいて下さい。

　\( a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab\)

　\( a^2+3ab+b^2=(a+b)^2+ab\)

　\( a^2-2ab+b^2=(a+b)^2-4ab\)

たまに、\( a-b\)　の値が問題の条件式として与えられることもあります。

そのときは　\( (a-b)^2\)　を考えれば同じように変形できます。

練習しておいて下さい。
対称式は高校でもかなり使えますよ。

⇒　文字式の展開とは？分配の方法と割り算のときのポイント(中学3年)

その前に展開公式と因数分解公式を使いこなすことが先ですね。

⇒　因数分解を利用した文字式(文章題)の証明問題と解説

文字式の証明になりますが因数分解が必要な問題が多いです。