２次方程式を解の公式で解く問題の見分け方と例題

２次方程式を解の公式で解く問題の見分け方です。
因数分解を利用して解く重要性は説明しなくても分かるでしょう。
文章題はほとんどが因数分解して解く問題が多いからです。
しかし、解の公式がいらないわけではありません。
どちらかというと高校入試と大学入試の基礎確認問題としてよく出題されます。
公式を使えばすべての２次方程式を解くことができるのですが、使い分けると解を出すまでの時間が大きく変わりますよ。

解の公式の確認

覚えているとは思いますが、解の公式を確認しておきましょう。
\(\,2\,\)次方程式
　\(ax^2+bx+c=0\)
の解は、
　　\(\color{red}{\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\)
で求めることができます。

\(\,2\,\)次方程式といっているので当然　\(\color{red}{a\neq 0}\)　ですよ。

解の公式の導き方は

⇒　２次方程式の解の公式の二通りの求め方と文章題の解き方(中学３年)

で二通り説明していますので確認しておくといいです。
あまり見かけない証明もしています。

ひとつは教科書的な平方完成タイプの導き方、
もう一つは分数をできるだけさけたい平方完成タイプの導き方です。

ただ、解の公式は導き方より、使える方が先ですよ。
覚えて使い倒しましょう。

解の公式を使えばすべての２次方程式の解は求めることができます。
しかし、文章題などでは因数分解を利用した方が断然はやいことが多いので解の公式は最終手段としてもいいです。

解の公式のもう一つ計算が楽になる場合を紹介しておきます。
これは高校生になってからでもいいですが、普通の解の公式が使えればいいと覚えない人が多いです。
解を出すまでの時間が相当変わるので、余裕のある人は大学入試までに覚えておくといいですよ。

\(\,2\,\)次方程式
　\(ax^2+\color{red}{2b\,’}x+c=0\)
の解は、
　　\(\color{green}{\displaystyle x=\frac{-b\,’\pm \sqrt{b\,’\,^2-ac}}{a}}\)

\(\,2\,\)次方程式の\(\,x\,\)の\(\,1\,\)次の項の係数が偶数のときに使える公式です。

解の公式でも解ける問題

\(\,2\,\)次方程式を解くときは因数分解を利用できないかを先に見ます。

例えば、　\((x+1)^2=6\) は平方根型として、
　\(\begin{eqnarray}
x\color{red}{+1}&=&\pm \sqrt{6}\\
x&=&\color{red}{-1}\pm \sqrt{6}
\end{eqnarray}\)
と求めることができます。
※
問題１－（２）を解くときは　\(x+1=A\)　と置きかえてていねいに解きました。

⇒　２次方程式を平方根と文字の置きかえを利用して解く方法(中３)

ところが一般的な方程式の解き方のように　\((x+1)^2=6\)　を展開して左辺にすべての項を集めると、

　\(\begin{eqnarray}
(x+1)^2&=&6\\
x^2+2x+1&=&6\\
x^2+2x-5&=&0
\end{eqnarray}\)

となるので解の公式を利用して、
　\(\begin{eqnarray}
\displaystyle x&=&\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{-2\pm \sqrt{4+20}}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{-2\pm \sqrt{24}}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{-2\pm 2\sqrt{6}}{2}\\
&=&-1\pm \sqrt{6}
\end{eqnarray}\)

と求めることもできます。
もちろん\(\,x\,\)の\(\,1\,\)次の項が偶数なので第二の公式を使えば、

　\(\begin{eqnarray}
x&=&-1\pm \sqrt{1^2-1\cdot (-5)}\\
&=&-1\pm \sqrt{1+5}\\
&=&-1\pm \sqrt{6}
\end{eqnarray}\)

と簡単に求まりますが今はいいです。

他にも因数分解を利用した\(\,2\,\)次方程式もすべて解の公式を使っても求まります。
しかし、時間がかかるのは間違いありませんね。

平方根型や因数分解型で解けるのならそちらの方がはやいです。

ただ、どちらも使えない、または余計時間がかかる場合もあるので解の公式の登場となります。

解の公式でなければ解けない問題

実は解の公式でしか解けない\(\,2\,\)次方程式というのは存在しません。
これは後で説明しますので、まずは解の公式を使えるようになっておきましょう。

因数分解を試してみましょう。
定数項は\(\,-4\,\)なので
　\(\fbox{ 1 × 4 }\)　\(\fbox{ 2 × 2 }\)
の組み合わせが考えられますが、積が「\(\,-4\,\)」なのでどちらかは「－（マイナス）」です。
この組に\(\,1\,\)次の項の係数\(\,+5\,\)となるものはありません。
※
\(\fbox{ 1 × 4 }\)　はどちらも「＋」なら\(\,+5\,\)になりますが定数項が合いません。

因数分解できないとなると、解の公式です。

　\(\begin{eqnarray}\displaystyle
x&=&\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot (-4)}}{2\times 1}\\
&=&\frac{-5\pm \sqrt{25+16}}{2}\\
&=&\frac{-5\pm \sqrt{41}}{2}
\end{eqnarray}\)

もう一つ見てみましょう。
今度は、実は因数分解できるけど中学生では因数分解できない問題です。

　\(x^2\) の係数が \(1\) ではないし、共通因数もありませんので因数分解できません。
こういうときも解の公式です。
※
この左辺は、「タスキガケ因数分解」ができるようになれば因数分解できます。

⇒　高校の因数分解公式一覧　たすき掛けや手順（やり方）

高校に入ってからで良いですよ。

　\(\begin{eqnarray}
\displaystyle x&=&\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 3\cdot 2}}{6}\\
\displaystyle &=&\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{6}\\
\displaystyle &=&\frac{5\pm 1}{6}\\
\displaystyle &=&\frac{5+1}{6}　,　\frac{5-1}{6}\\
\displaystyle &=&\frac{6}{6}　,　\frac{4}{6}\\
\displaystyle &=&\underline{　1　,　\frac{2}{3}　}
\end{eqnarray}\)

無理数の解でなかったときに因数分解できるんだったと気がつきますが、今は気にしなくていいです。
高校生になればできるようになっておかなければなりませんけどね。

解の公式を使う問題がずらずら並ぶ入試はありませんので、
因数分解ができないと試してから解の公式で十分間に合いますよ。

ただし、計算ミスが一番多いのはルートの中です。
ここは暗算しないで、確実に数値を当てはめてから計算することをおすすめしておきます。

最後に解の公式は使わなくても解を出すことはできるというのを説明しておきます。
例えば、
　\(x^2+2x-5=0\)
という\(\,2\,\)次方程式の左辺は因数分解できません。

だから解の公式でなければ解は出せないかというとそうではありません。

　\(\begin{eqnarray}
x^2+2x-5&=&0\\
\color{red}{x^2+2x}&=&5\\
\color{red}{(x+1)^2-1}&=&5\\
(x+1)^2&=&5+1\\
(x+1)^2&=&6\\
x+1&=&\pm \sqrt{6}\\
x&=&-1\pm \sqrt{6}
\end{eqnarray}\)

と平方完成を利用することで解くこともできます。
※
解の公式が教科書から消えていた時期はこの方法で２次方程式を解いていたのです。笑

確認しておきましょう。

　\(\begin{eqnarray}
\displaystyle x&=&\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{-2\pm \sqrt{4+20}}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{-2\pm \sqrt{24}}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{-2\pm 2\sqrt{6}}{2}\\
&=&-1\pm \sqrt{6}
\end{eqnarray}\)

\(\,x\,\)の\(\,1\,\)次の項の係数が偶数で \(x^2\) の係数が\(\,1\,\)なので

　\(\begin{eqnarray}
x&=&-1\pm \sqrt{1^2-1\cdot (-5)}\\
&=&-1\pm \sqrt{1+5}\\
&=&-1\pm \sqrt{6}
\end{eqnarray}\)

高校生はこっちでできるようになるといいですね。
できない人も多いですけど。笑

⇒　方程式の解とは？2次方程式の係数と他の解を求める代入問題の解き方

方程式の解とは？方程式を解くとは？
本当の意味をお伝えしておきます。

受験では解の公式というより、方程式は解けて当たり前、ですよ。
基本さえ押さえておけば難しいことはありません。