２０２６年度三重県公立高校入試【後期】の数学の問題と解説

２０２６年三重県公立高校入試【後期選抜】の数学の問題と解説です。
傾向は例年通りです。大問で７つありますがボリュームはそれ程ありません。
受験生は学校でも対策するとは思いますが、
過去問で傾向を知ることができたら対策するなら方法は１つです。

２０２６年（令和８年度）三重県公立高校入試【後期】の数学の問題

試験時間は前期と同じ４５分です。

⇒　２０２６年度三重県後期選抜数学の問題

\(\color{black}{\fbox{1}}\)～\(\color{black}{\fbox{7}}\)までありますが、
一つひとつはそれ程分量がないので焦らず取り組みましょう。

対策に少し触れておきたいですが問題を通して見てからにしましょう。

２０２６年（令和８年度）三重県公立高校入試【後期】の数学の解説

問題はシンプルなので早速解説に入ります。
※
計算途中で単位を省略することがあります。

第１問小問集合

\(\color{black}{\fbox{1}}\)
配点が小さいように見えますが\(\,50\,\)点満点ですよ。

(1)
　\(\hspace{10pt}8\times (-2)\\
=\underline{　-16　}\)

（正の数）\(\,\times\,\)（負の数）は負の数になります。

(2)
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{4}{5}\,x-\frac{2}{3}\,x\\
\displaystyle =\frac{12-10}{15}\,x\\
\displaystyle =\underline{\underline{　\frac{12}{15}\,x　}}\)

文字\(\,x\,\)は分子にあるので
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{4}{5}\,x-\frac{2}{3}\,x\\
\displaystyle =\frac{12\,x-10\,x}{15}\\
\displaystyle =\underline{\underline{　\frac{12\,x}{15}　}}\)
としても指示はないので問題ありません。

(3)
　\(\hspace{10pt}(3x+1)(3x-1)\\
=\underline{　9\,x^2-1　}\)

展開公式
\(\,\hspace{10pt}(a+b)(a-b)=a^2-b^2\,\)
を利用しています。
　\(\hspace{10pt}(3x+1)(3x-1)\\
=9\,x^2-3x+3x-1\\
=9\,x^2-1\)
と展開するのは見直しで良いです。

(4)
定数項に着目します。
　\(\hspace{10pt}x^2-5x+6\\
=\underline{　(x-2)(x-3)　}\)

これは公式と呼ぶほどのものではありません。
定数項\(\,6\,\)に着目して積が\(\,+6\,\)になる組合せを考えれば良いだけ。

⇒　因数分解とは？公式がいらなくなる問題の解き方のポイント(中学3年)

因数分解は手順が決まっています。

(5)
問われているのは自然数の個数です。
\(\hspace{10pt}5\sqrt{2}≦\,a\,≦\sqrt{91}\)

正の数の範囲で見ているので２つ方法がありますが、
どちらもやっていることは同じです。
平方根の中に入れる。
\(\hspace{10pt}\sqrt{50}≦\sqrt{a^2}≦\sqrt{91}\)
全辺平方する。
\(\hspace{10pt}50≦a^2≦91\)

これを満たす\(\,a\,\)は\(\,a=8\,,\,9\,\)

答え　\(\,\underline{　2　}\,\)　個

いずれにしても数の大小を見るときにすべきことをすれば良い。

(6)
２次方程式を解きます。
　\(\hspace{10pt}2\,x^2-x-5=0\)
因数分解できないときは解の公式ですね。
　\(\begin{eqnarray}
x&=&\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\color{red}{\cdot} 2\color{red}{\cdot} (-5)}}{2\times 2}\\
&=&\frac{1\pm \sqrt{1+40}}{4}\\
&=&\underline{\underline{　\frac{1\pm \sqrt{41}}{4}　}}
\end{eqnarray}\)
※
ルートの中の計算で使っている「\(\,\color{red}{\cdot}\,\)」は掛け算を意味しています。

(7)
先ずは比例定数から求めます。
比例：\(\hspace{10pt}y=a\,x\)

\(\,x=3\,,\,y=6\,\)を満たすので
　\(\begin{eqnarray}\displaystyle
(\,6\,)&=&a\times (\,3\,)\\
a&=&2
\end{eqnarray}\)
関数が決まりました。
　\(\hspace{10pt}y=2\,x\)

\(\,y=-14\,\)となるのは
　\(\begin{eqnarray}\displaystyle
-14&=&2\,x\\
x&=&\underline{　-7　}
\end{eqnarray}\)

(8)
交点を求めます。
連立ですね。
　\(\begin{eqnarray}\displaystyle
x+4&=&-2\,x+9\\
3\,x&=&5\\
x&=&\frac{5}{3}\\
\end{eqnarray}\)
このとき
　\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{5}{3}+4\\
&=&\frac{5+12}{4}\\
&=&\frac{17}{4}
\end{eqnarray}\)

答え\(\hspace{10pt}\displaystyle \underline{\underline{　\left(\frac{5}{3}\,,\,\frac{17}{3}\right)　}}\)

答えは、解答欄見ればわかりますが座標です。

(9)
原点は\(\,(\,0\,,\,0\,)\,\)です。
原点を通るのは\(\displaystyle\, y=3\,x^2\,,\,y=-x\,\)の２つです。
答え\(\hspace{10pt}\underline{　ア\,,\,ウ　}\)

(10)
角度を求めます。
　\(\begin{eqnarray}
∠x&=&50°+40°+60°\\
&=&\underline{　140°　}
\end{eqnarray}\)
と答えはすぐに出ると思いますが一応説明しておきます。折れ曲がっているところの線分を延長します。（どちらでも可。）
２つの角度が１つに集まります。
もう一度同じことを繰り返せば終わりです。分かるところの角度を書き込んで行けば良いので、
一気に求めなくても良いです。

(11)
作図です。
線分\(\,\mathrm{AB}\,\)が弦となるので線分\(\,\mathrm{AB}\,\)の垂直二等分線上に中心はあります。さらに点\(\,\mathrm{A}\,\)が接点なので点\(\,\mathrm{A}\,\)を通る垂線上に中心はあります。問題の条件通りに進めると順序が逆ですね。（すみません。）

ここまでで\(\,40\,\)％の配点となります。

第２問データの整理

\(\color{black}{\fbox{2}}\)
(1)
①
ヒストグラムの幅は\(\,2点\,\)あります。
階級の全員が\(\,7\,\)点かもしれないので、分かりません。

答え\(\,\underline{　ウ　}\,\)②
\(\,\mathrm{P}\,\)中学校の度数は\(\,3\,\)、\(\,\mathrm{Q}\,\)中学校の度数は\(\,6\,\)で違います。

答え\(\,\underline{　イ　}\,\)

(2)
\(\,20\,\)人なので小さい方から\(\,10\,\)番目と\(\,11\,\)番目の平均が中央値です。
\(\,10\,\)点以上\(\,12\,\)点未満の階級はどちらも含むので、
階級値は\(\displaystyle \,\frac{10+12}{2}\,=11\,\)点。

答え　\(\,\underline{　11　}\,\)点

(3)
\(\,\mathrm{Q}\,\)中学校の\(\,10\,\)点以上\(\,12\,\)点未満の階級の度数は\(\,10人\,\)、
度数合計は\(\,40\,\)人なので相対度数は
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{10}{40}=\underline{　0.25　}\)

「相対度数」、「累積相対度数」は小数で答えます。

第３問確率

\(\color{black}{\fbox{3}}\)
大小のさいころの出方は\(\,36\,\)通りです。
　\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\,\color{red}{1}\, & & & & & & \\ \hline
\color{red}{2} & & & & & & \\ \hline
\color{red}{3 }& & & & & & \\ \hline
\color{red}{4 }& & & & & & \\ \hline
\color{red}{5} & & & & & & \\ \hline
\color{red}{6} & & & & & & \\ \hline
\end{array}\)
赤い方を大きいさいころとしておきます。
(1)
出た目の積が偶数になる確率です。
　\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\color{red}{1} & & ○ & & ○ & & ○\\ \hline
\color{red}{2} & ○ & ○ & ○ & ○ & ○ & ○\\ \hline
\color{red}{3 }& & ○ & & ○ & & ○\\ \hline
\color{red}{4 }& ○ & ○ & ○ & ○ & ○ & ○\\ \hline
\color{red}{5} & & ○ & & ○ & & ○\\ \hline
\color{red}{6} & ○ & ○ & ○ & ○ & ○ & ○\\ \hline
\end{array}\)

答え\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{27}{36}\,=\,\underline{\underline{　\frac{3}{4}　}}\)

積が偶数になるのは「少なくとも一方が偶数」なので、
奇数になる確率を求めた方が早いです。
　\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
\,\color{red}{1}\, & × & & × & & × & \\ \hline
\color{red}{2} & & & & & & \\ \hline
\color{red}{3 }& × & & ×& & × & \\ \hline
\color{red}{4 }& & & & & & \\ \hline
\color{red}{5} & × & & × &　& × & \\ \hline
\end{array}\)

\(\hspace{10pt}\displaystyle 1-\color{red}{\frac{9}{36}}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}\)

この問題ではそれ程時間はかからないのでどちらでも良いですが、
さいころの場合積が偶数になるより奇数になる方が少ないので覚えてかなり楽です。

第４問連立方程式

\(\color{black}{\fbox{4}}\)
連立方程式です。

道のり、速さ、時間の問題なので考え方が違ってきます。
（あきこさんの考え方）：各区間の道のりを文字でおく。
（けいたさんの考え方）：各区間でかかった時間を文字でおく。どちらでも良いのです。
ただし、求めるものが何かで答えになるかどうかの確認をしましょう。

（あきこさんの考え方）できる関係式は道のりの和と、時間の和です。
　\( \begin{cases}\displaystyle
\hspace{4pt} x+y=4300\\
\hspace{4pt}\displaystyle \color{black}{\fbox{ \(\,\displaystyle \frac{x}{200}+\frac{y}{150}\,\)}}=24
\end{cases}\)

（けいたさんの考え方）できる関係は時間の和と、道のりの和です。
　\( \begin{cases}
\hspace{4pt} x+y=24\\
\hspace{4pt} \color{black}{\fbox{\(\,200\,x+150\,y\,\)}}=4300
\end{cases}\)

(1)
答え
\(\color{black}{\fbox{①}}\)\(\hspace{10pt}\displaystyle \underline{\underline{　\frac{x}{200}+\frac{y}{150}　}}\)

\(\color{black}{\fbox{②}}\)\(\hspace{10pt}\underline{　200\,x+150\,y　}\)

(2)
求めるものは道のりなので（あきこさんの考え方）で解くと直接答えです。
　\( \begin{cases}\displaystyle
\hspace{4pt} x+y=4300　･･･①\\
\hspace{4pt}\displaystyle \frac{x}{200}+\frac{y}{150}=24　･･･②
\end{cases}\)
\(\,②\,\)の分数を無くしておきます。
\(\hspace{10pt}3\,x+4\,y=14400　･･･②’\)
\(\,①②’\,\)から、
\(\,①\,\)を両辺３倍して\(\,x\,\)を消去します。
\(\hspace{24pt}3\,x+4\,y=14400\\
\hspace{10pt}\underline{-)\,\,3\,x+3\,y=12900　}\\
\hspace{56pt}y=1500\)
\(\,①\,\)から
　\(\begin{eqnarray}
x+(\,1500\,)&=&4300\\
x&=&2800
\end{eqnarray}\)
答え
\(\,\mathrm{A}\,\)地点から\(\,\mathrm{B}\,\)地点まで\(\,\underline{　2800　}\,\mathrm{m}\,\)
\(\,\mathrm{B}\,\)地点から\(\,\mathrm{C}\,\)地点まで\(\,\underline{　1500　}\,\mathrm{m}\,\)

（けいたさんの考え方）の方が計算はし易いです。
\(\hspace{10pt}x=14\,,\,y=10\)（自分で求めて下さい。）
ただし、出てくる\(\,x\,,\,y\,\)は時間です。
速さをかけて道のりにするのを忘れないようにしましょう。
\(\hspace{4pt}200\times 14=2800\,,\,150\times 10=1500\)

何を問われているかの確認は忘れないように。
（解答欄を見れば気がつくでしょうけど。）

第５問関数と回転体の体積

\(\color{black}{\fbox{5}}\)
問題にグラフがあるので関数と座標を確認しておきましょう。

点\(\,\mathrm{A}\,\)の\(\,x\,\)座標は\(\,-4\,\)なので\(\,y\,\)座標は
\(\hspace{4pt}\displaystyle y=-\frac{1}{4}\times (\,-4\,)^2\,=\,-4\)
点\(\,\mathrm{B}\,\)の\(\,x\,\)座標は\(\,2\,\)なので\(\,y\,\)座標は
\(\hspace{4pt}\displaystyle y=-\frac{1}{4}\times (\,2\,)^2\,=-\,1\)

(1)
点\(\,\mathrm{A}\,\)の座標は\(\,\underline{　(\,-4\,,\,-4))　}\,\)

(2)
２点\(\,\mathrm{A\,,\,B}\,\)を通る直線は、
\(\hspace{4pt}(\,-4\,,\,-4\,)\)
\(\hspace{4pt}(\hspace{4pt}2\,,\,-1\,)\)
\(\hspace{4pt}\displaystyle （傾き）=\frac{-1-(-4)}{2-(-4)}=\frac{1}{2}\)
切片を\(\,b\,\)とすると\((\,2\,,\,-1\,)\)を通るから
　\(\begin{eqnarray}
y&=&\frac{1}{2}\,x+b\\
-1&=&\frac{1}{2}\times (\,2\,)+b\\
b&=&-2
\end{eqnarray}\)
求める直線の式は
\(\hspace{10pt}\displaystyle \underline{\underline{　y=\frac{1}{2}\,x-2　}}\)

傾きを求めたら\(\,(\hspace{4pt}2\,,\,-1\,)\)を通ることから
\(\hspace{10pt}\displaystyle y=\frac{1}{2}\,(\,x-2\,)-1\)
と求めても良いです。

(3)
\(\,\mathrm{△AOB}\,\)の面積を求めます。簡単に思いつく方法は３つ。
１つは台形から三角形を引く。
もう一つは(2)を利用し切片を底辺とする三角形の面積を求める。
最後は公式を使う、ですがこれは会員向け。

二つ目が一般的です。直線\(\,\mathrm{AB}\,\)と\(\,y\,\)軸との交点を\(\,\mathrm{P}\,\)とすると、
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{△OAB}&=&\mathrm{△OAP+△OBP}\\
&=&\frac{1}{2}\times 2\times (\,4+2\,)\\
&=&\underline{　6　}\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray}\)

底辺が共通なので高さの和を高さとしていっぺんに計算していますが、
分けて求めて足してももちろん良いですよ。

会員は２点の座標
\(\hspace{4pt}(\,-4\,,\,-4\,)\)
\(\hspace{4pt}(\hspace{4pt}2\,,\,-1\,)\)
から\(\hspace{4pt}\displaystyle \frac{4+8}{2}=6\,\)としたと思いますが、
解き方は聞かれていないのでOKです。
（もし説明も求められたら答えは出しておいて、上の解き方で書いておくと良いです。）

一つ目の台形から三角形を引く求め方は、
(4)で出てくる\(\,\mathrm{C,D}\,\)を利用した説明になります。

(4)
条件通り\(\,\mathrm{C\,,\,D}\,\)を取り\(\,x\,\)軸を軸として回転させます。回転させてできる立体は円すい台と呼ばれるものです。
名前は今はどうでも良いですがこれも方法は２つ。

１つは頂点を持つ１つの大きな円すいから上部の円すいを切り取る。直線\(\,\mathrm{AB}\,\)と\(\,x\,\)軸との交点を\(\,\mathrm{Q}\,\)とすると、
点\(\,\mathrm{Q}\,\)の座標は\(\,(\,4\,,\,0\,)\,\)となります。
底面が半径\(\,\color{red}{4}\,\)の円で高さ\(\,\mathrm{CQ}=\,\color{red}{8}\,\)の円錐から、
底面が半径\(\,\color{blue}{1}\,\)の円で高さ\(\,\mathrm{CQ}=\,\color{blue}{2}\,\)の円錐を引きます。
求める体積\(\,V\,\)は
　\(\begin{eqnarray}
V&=&\frac{1}{3}\times \pi\,(\,\color{red}{4}\,)^2\times \color{red}{8}-\frac{1}{3}\times \pi\,(\,\color{blue}{1}\,)^2\times \color{blue}{2}\\
&=&\frac{1}{3}\times (128-2)\,\pi\\
&=&\frac{1}{3}\times 126\,\pi\\
&=&\underline{　42\,\pi　}\mathrm{cm^3}
\end{eqnarray}\)

もう一つは公式ですがこれは会員にも強くはお勧めしません。
　\(\begin{eqnarray}
V&=&\frac{1}{3}\,\pi\times 6\times (\,1+16+4\,)\\
&=&42\,\pi
\end{eqnarray}\)
覚えることに時間をかけても良くないので余裕がある人だけで良いです。

※
(3)の台形から三角形を引く方法は、
\(\hspace{10pt}（台形\mathrm{ABDC}）-\mathrm{△OAC}-\mathrm{△OBD}\)
を計算することです。

第６問立体（正四角錐）

\(\color{black}{\fbox{6}}\)
正四角錐の立体問題です。
(1)
「表面積を求めよ。」です。簡単に言うと正方形１つと正三角形４つの和です。
　\(\hspace{10pt}\displaystyle 4^2+\frac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{3}\times 4\\
=\underline{　16+16\sqrt{3}　}\mathrm{cm^2}\)

(2)
線分\(\,\mathrm{EF}\,\)の長さを求めます。
立体の内部にあるので\(\,\mathrm{△ODB}\,\)を抜き出しましょう。問題の条件から線分比が
\(\hspace{10pt}\,\mathrm{OE:EB=1:3}\,\)
なので点\(\,\mathrm{E}\,\)から\(\,\mathrm{OF}\,\)に垂線を引くと、
直角三角形ができて三平方の定理が利用できます。三平方の定理から
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{\color{red}{EF}^2}&=&\left(\,\color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\,\right)^2+\left(\,\color{magenta}{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\right)^2\\
&=&\frac{1}{2}+\frac{9}{2}\\
&=&\frac{10}{2}\\
&=&5\\
\mathrm{EF}&=&\pm \sqrt{5}
\end{eqnarray}\)
線分\(\,\mathrm{EF}\,\)は正の数なので
\(\hspace{4pt}\mathrm{EF}=\underline{　\sqrt{5}　}\,\mathrm{cm}\)

補助線がどうのこうの言う前にやることがありますね。

第７問平面図形

\(\color{black}{\fbox{7}}\)
相似の証明と面積です。

条件を図に示しておきましょう。
問題に書いてある条件は
\(\hspace{10pt}\mathrm{ＣＡ＝ＣＤ}\)
\(\hspace{10pt}ＢＡ\)∥\(ＤＥ\)
後は図の通りです。(1)
三角形の証明です。
通常なら図で証明を終わらせ自分でまとめてもらうのですが、
久しぶりに証明を書いてみます。（証明）
　\(\,\mathrm{△FCD}\,\)と\(\,\mathrm{△DCE}\,\)において
\(\hspace{10pt}\mathrm{∠DCF=∠ECD}　（共通）･･･①\)
仮定より\(ＢＡ\)∥\(ＤＥ\)なので
\(\hspace{10pt}\mathrm{∠ABC=∠EDC}　（同位角）･･･②\)
また同一の弦\(\,\mathrm{AB}\,\)に対する円周角は等しいので
\(\hspace{10pt}\mathrm{∠AFD=∠ABD}　･･･③\)
\(\,\mathrm{∠ABC=∠ABD}\,\)なので②③より
\(\hspace{10pt}\,\mathrm{∠AFD=∠EDC}\,　･･･④\)
つまり
\(\hspace{10pt}\mathrm{∠DFC=∠EDC}　･･･⑤\)
①⑤から２組の角がそれぞれ等しいので
　\(\,\mathrm{△FCD}\,\)∽\(\,\mathrm{△DCE}\,\)（終わり）

⇒　中学の図形証明問題(合同･相似)の解き方と証明の書き方ポイント

証明の書き方はルールさえおさえておけば自分の好きなように書いて良いです。

(2)
長さと一部面積が与えられます。
\(\hspace{10pt}\mathrm{AC=12\,,\,BC=18\,,\,△ABC=5}4\)※
長さの単位は\(\,\mathrm{cm}\,\)ですが省力します。
①
面積から垂線の長さも出せますが、
(1)の相似を利用するのが早いでしょう。\(\,\mathrm{△ADC}\,\)は二等辺三角形です。
\(\hspace{10pt}\mathrm{BD=BC-DC=18-12=\color{blue}{6}}\,\)
また\(ＢＡ\)∥\(ＤＥ\)より
\(\hspace{10pt}\mathrm{BD:DC=AE:EC}=6:12=1:2\)
なので
\(\hspace{10pt}\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{1}{1+2}\times 12=\color{magenta}{4}\)
\(\hspace{10pt}\displaystyle \mathrm{EC}=\frac{2}{1+2}\times 12=\color{magenta}{8}\)(1)の相似から
　\(\begin{eqnarray}
ＦＣ:ＤＣ&=&ＣＤ:ＣＥ\\
\mathrm{FC}:12&=&12:8\\
\mathrm{FC}&=&18
\end{eqnarray}\)
これから
\(\hspace{10pt}\mathrm{FA}=\mathrm{FC-AC}=18-12=\color{blue}{6}\)よって、
\(\hspace{10pt}\mathrm{FA:AE}=\color{blue}{6}:\color{magenta}{4}=\underline{　3:2　}\)

長々と説明していますが図の中で処理すればあっという間です。

②
\(\,\mathrm{△AGD}\,\)の面積を求めます。①から\(\,\mathrm{FA:AE=③:②}\,\)なので
\(\hspace{10pt}\mathrm{FA:AC}=6:12=③:⑥=1:2\)
このことから
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{△ADF}&=&\frac{1}{3}\times 54\\
&=&18
\end{eqnarray}\)
さらに\(\,\mathrm{FG:GD=\color{blue}{③}:\color{blue}{②}}\,\)だから
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{△AGD}&=&\frac{2}{3+2}\times \mathrm{△ADF}\\
&=&\frac{2}{5}\times 18\\
&=&\underline{\underline{　\frac{36}{5}　}}\,\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray}\)