福岡県公立高校入試2019年(平成31年度)数学問題の解説

2019年(平成31年度)福岡県で行われた公立高校入試数学問題の解説です。
問題は例年通り第1問から第6問まであり範囲は中学数学全般でほとんど偏りはありません。
第6問の最後、中線を求める問題以外は計算力を問うのではなく基本知識の確認が中心です。

問題は福岡県で公開してくれています。

⇒　2019年福岡県数学問題

小問集合

\(\color{black}{\fbox{　1　}}\)は(1)から(9)までの小問集合です。

式の計算

(1)
　\(\hspace{10pt}7+3\times (-4)\\
=7-12\\
=\underline{　-5　}\)

かけ算部分が先ですね。

(2)
　\(\hspace{10pt}4(2a-3b)-(a+2b)\\
=8a-12b-a-2b\\
=\underline{　7a-14b　}\)

\(\,2\,\)行目の(かっこ)を外す一行を書くことでミスが減らせます。

(3)
無理数の有理化と足し算です。

　\(\hspace{10pt}\displaystyle \sqrt{45}-\frac{25}{\sqrt{5}}\\
\displaystyle =3\sqrt{5}-\frac{25\sqrt{5}}{5}\\
=3\sqrt{5}-5\sqrt{5}\\
=\underline{　-2\sqrt{5}　}\)

素因数分解はていねいにミスのないように確実にやりましょう。

⇒　素数とは？素因数分解の方法と平方根の求め方(ルートの使い方準備)

根号の中が同じときは文字式と同じように足し算引き算ができます。

方程式と関数

\(\,1\,\)次方程式です。
方程式を解くことと、方程式の解を求めることは同じことです。

⇒　方程式の解とは？2次方程式の係数と他の解を求める代入問題の解き方

後に続く(6)の\(\,2\,\)次方程式でも同じです。

　\(\begin{eqnarray}
5x-2&=&2(4x-7)\\
5x-2&=&8x-14\\
5x-8x&=&-14+2\\
-3x&=&-12\\
x&=&\underline{　4　}
\end{eqnarray}\)

(5)
\(\,2\,\)次方程式を解きます。

方程式を解くときは項をすべて左辺に集めるのが基本です。

　\(\begin{eqnarray}
x(x-1)&=&3(x+4)\\
x^2-x&=&3x+12\\
x^2-x-3x-12&=&0\\
x^2-4x-12&=&0\\
(x+2)(x-6)&=&0\\
x&=&\underline{　-2\,,\,6　}
\end{eqnarray}\)

\(\,2\,\)次方程式は因数分解できるかどうかから試すと良いですよ。
できない場合は解の公式です。

(6)
反比例の基本問題です。
　「\(\,y\,\)は\(\,x\,\)に反比例し」
とあるので
　\(\displaystyle y=\frac{a}{x}\)
とおいて比例定数を先に決定します。

　\(\,x=3\,\)　のとき　\(\,y=8\,\)　なので代入します。

　\(\begin{eqnarray}\displaystyle
8&=&\frac{a}{3}\\
a&=&8\times 3\\
&=&24
\end{eqnarray}\)

これから

　\(\displaystyle y=\frac{24}{x}\)

これで終わりではありません。

この関数で\(\,x=-2\,\)のときの\(\,y\,\)は

　\(\begin{eqnarray}\displaystyle
y&=&\frac{24}{-2}\\
&=&\underline{　-12　}
\end{eqnarray}\)

データと標本調査

(8)
中央値が大きい方の学年と階級を答えます。
階級値ではありませんよ。

⇒　度数分布表とは？階級の幅と階級値およびヒストグラム

\(\,1\,\)年生は合計\(\,100\,\)人（偶数）なので、
小さい方から（大きい方からでも）順に数えて
　\(\,50\,\)人目の値と\(\,51\,\)人目の値との平均が中央値
になります。

⇒　代表値とは？度数分布表の平均値,中央値の求め方と最頻値の答え方

代表値は小学校の算数に下りることになりますが、高校になっても必要な用語ですよ。

\(\,50\,\)人目と\(\,51\,\)人目はどちらも
　
　\(\,10\,\)分以上\(\,15\,\)分未満の階級

にいます。

\(\,3\,\)年生は\(\,105\,\)人なので、
　\(\,52\,\)人｜\(\,\color{blue}{53\,番目}\,\)｜\(\,52\,\)人
小さい順に数えて\(\,53\,\)番目の人の値が中央値になります。

\(\,53\,\)番目の人は

　\(\,5\,\)分以上\(\,10\,\)分未満の階級

にいます。

中央値が大きいのは、\(\,\underline{　1\,年生　}\,\)

で、中央値が含まれる階級は

　\(\,\underline{　10\,分以上\,15\,分未満の階級　}\)

(9)
標本調査は、部分的に抜き取った調査なので結果は推測でしかありません。

\(\,50\,\)人に対し、\(\,35\,\)人であるときに
\(\,400\,\)人だと何人になると推測できるか？

なので、比例式を立てて

　\(\begin{eqnarray}\displaystyle
50:35&=&400:x\\
50x&=&400\times 35\\
x&=&\frac{400\times 35}{50}\\
&=&280
\end{eqnarray}\)

よって　\(\,\underline{　およそ　280　人　}\,\)

試行を繰り返す確率

\(\color{black}{\fbox{　2　}}\)は袋から玉を取り出すことを繰り返す確率問題です。

(1)
袋から取り出す実験を\(\,5\,\)回繰り返します。

確率では樹形図を書くことが基本ですが、
\(\,5\,\)回となると「え？」となりますが書けば良いのです。

しかし、この問題は樹形図は必要ありません。

ア
「\(\,5\,\)回のうち赤玉を少なくとも\(\,1\,\)回は取り出すことがある。」

「必ず\(\,1\,\)回は赤玉を取り出す」、ということです。

逆に、\(\,1\,\)回も赤玉を取り出さないことはあるか？

\(\,5\,\)回とも白玉である場合もあります。\(\,×\,\)

イ
「\(\,5\,\)回のうち、赤玉を\(\,2\,\)回連続で取り出すこともある。」

十分にあります。\(\,○\,\)

ウ
「\(\,4\,\)回連続で赤玉なら、\(\,5\,\)回目は必ず白球か？」

\(\,5\,\)回目も赤玉というのもあり得ます。\(\,×\,\)

エ
「\(\,5\,\)回とも赤玉であることがあるか？」

あります。\(\,○\,\)

答え　\(\,\underline{　イ　,　エ　}\,\)

(2)
条件は(1)と同じですが回数は\(\,2\,\)回です。

くじ引き\(\,\mathrm{A}\,\)

　「取り出した後、もどしてもう一度引く」

くじ引き\(\,\mathrm{B}\,\)

　「同時に\(\,2\,\)個の玉を取り出す」

「取り出した後、もどさずにもう一度引く」ことと同じです。

\(\,2\,\)個の玉の取り出し方は

　赤－赤
　赤－白
　白－赤

のように思えますが、赤は\(\,2\,\)個あるので赤を取り出す確率は白を取り出す確率とは違います。

同じ色の玉があるので、どちらの赤を取り出したか分からないので玉を区別します。

\(\,赤_1\,\)、\(\,赤_2\,\)、\(\,白\,\)などと番号をつけても良いですが、画数を少なくするために、

　赤の1つを\(\,\color{red}{1}\,\)
　もう一つの赤を\(\,\color{red}{2}\,\)
　白を\(\,\color{blue}{3}\,\)

とします。（\(\,a,b,c\,\)としても良いですよ。）

くじ引き\(\,\mathrm{A}\,\)の取り出し方は

　\(\,\color{red}{1}-\color{red}{1}\,\)　\(\,\color{red}{1}-\color{red}{2}\,\)　\(\color{black}{\fbox{\(\,\color{red}{1}-\color{blue}{3}\,\)}}\)
　\(\,\color{red}{2}-\color{red}{1}\,\)　\(\,\color{red}{2}-\color{red}{2}\,\)　\(\color{black}{\fbox{\(\,\color{red}{2}-\color{blue}{3}\,\)}}\)
　\(\color{black}{\fbox{\(\,\color{blue}{3}-\color{red}{1}\,\)}}\)　\(\color{black}{\fbox{\(\,\color{blue}{3}-\color{red}{2}\,\)}}\)　\(\,\color{blue}{3}-\color{blue}{3}\,\)

の\(\,9\,\)通りです。

色違いのとき景品がもらえるので、景品がもらえる確率は

　\(\displaystyle \frac{4}{9}\)

くじ引き\(\,\mathrm{B}\,\)では取り出した玉は元に戻さないので同じ番号を取り出すことはありません。
\(\,2\,\)個の玉の取り出し方は

　\(\,\color{red}{1}-\color{red}{2}\,\)　\(\color{black}{\fbox{\(\,\color{red}{1}-\color{blue}{3}\,\)}}\)
　\(\,\color{red}{2}-\color{red}{1}\,\)　\(\color{black}{\fbox{\(\,\color{red}{2}-\color{blue}{3}\,\)}}\)
　\(\color{black}{\fbox{\(\,\color{blue}{3}-\color{red}{1}\,\)}}\)　\(\color{black}{\fbox{\(\,\color{blue}{3}-\color{red}{2}\,\)}}\)

の\(\,6\,\)通りです。

景品があたる確率は

　\(\displaystyle 　\frac{4}{6}=\frac{2}{3}=\frac{6}{9}\)

よって、

景品が当たりやすいのは　\(\,\underline{　くじ引き　\mathrm{B}　}\,\)

樹形図か表を示すらしいので表にすると

赤玉2つを\(\,1,2\,\)とし、白球を\(\,3\,\)とすると

くじびき\(\,\mathrm{A}\,\)の取り出し方

　\(\begin{array}{|c|c|} \hline
　1\,回目　&　2\,回目　\\ \hline
　\color{red}{1}　&　\color{red}{1}　\\ \hline
　\color{red}{1}　&　\color{red}{2}　\\ \hline
　\color{red}{1}　&　\color{blue}{3}　\\ \hline
　\color{red}{2}　&　\color{red}{1}　\\ \hline
　\color{red}{2}　&　\color{red}{2}　\\ \hline
　\color{red}{2}　&　\color{blue}{3}　\\ \hline
　\color{blue}{3}　&　\color{red}{1}　\\ \hline
　\color{blue}{3}　&　\color{red}{2}　\\ \hline
　\color{blue}{3}　&　\color{blue}{3}　\\ \hline
\end{array}\)

くじびき\(\,\mathrm{B}\,\)の取り出し方

　\(\begin{array}{|c|c|} \hline
　1\,回目　&　2\,回目　\\ \hline
　\color{red}{1}　&　\color{red}{2}　\\ \hline
　\color{red}{1}　&　\color{blue}{3}　\\ \hline
　\color{red}{2}　&　\color{red}{1}　\\ \hline
　\color{red}{2}　&　\color{blue}{3}　\\ \hline
　\color{blue}{3}　&　\color{red}{1}　\\ \hline
　\color{blue}{3}　&　\color{red}{2}　\\ \hline
\end{array}\)

という表があれば良いです。（色は無くて良いです。笑）

文字式の基本と文字式の一般性

\(\color{black}{\fbox{　3　}}\)　は文字式で数字を当てるゲームです。

手順があるので日本語で書かれた計算を文字式で表します。

①　数字を決める。

　数字を\(\,\color{red}{a}\,\)とします。

②　決めた数字に\(\,1\,\)を足す。

　\(\,a+1\,\)

③　②の数字に\(\,4\,\)をかける。

　\(4(a+1)\)

④　③の数字から\(\,8\,\)を引く

　\(\hspace{10pt}4(a+1)-8\\
=4a-4\)

⑤　④の数字を\(\,2\,\)で割る。

　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{4a-4}{2}\\
=2a-2\)

⑥　⑤の数字に②の\(\,a+1\,\)を足す。
　
　\(\hspace{10pt}(2a-2)+(a+1)\\
=3\color{red}{a}-1\)

この文字式で表された数字が計算結果です。

これは問題にあるので書く必要はなかったですね。
普通は自分で文字式にするのですが、親切な問題です。笑

(1)最初に決めた数字が\(\,12\,\)のとき

　\(\color{red}{a}=\color{red}{12}\,\)を代入します。

　\(\hspace{10pt}3\times (\color{red}{12})-1\\
=\underline{　35　}\)

(2)計算結果から\(\,a\,\)を求める方法です。

　\(3a-1=X\)

を\(\,a\,\)について解く手順を書けば良いだけです。

　\(\begin{eqnarray}
3a-1&=&X\\
3a-1\color{blue}{+1}&=&X\color{blue}{+1}\\
\color{magenta}{3}a&=&X+1\\
a&=&\frac{X+1}{\color{magenta}{3}}
\end{eqnarray}\)

何をしたかというと、
　
　移項するために両辺に\(\,\color{blue}{+1}\,\)を加え、
　両辺を\(\,\color{magenta}{3}\,\)で割った。

よって最初に決めた数字を当てるには、

　\(\,\underline{　手順通りに求めた数に、　}\,\)
　\(\,\underline{　1\,を足したあと\,3\,で割る。　}\,\)

方程式を解く手順を日本語にする問題でした。

(3)
手順④までは同じで、
　⑤の手順を変えて
最初に決め多数を当てる方法を作ります。

最初の数字を\(\,a\,\)とすると手順④までで

　\(\hspace{10pt}4(a-4)\\
=4a-4\)

です。

手順⑤で何かをして、②の数をたすと\(\,\mathrm{B}\,\)で割ればもとの数をあてることができる。

つまり、

　\(4a-4\)に⑤の手順を行い、
　⑥の手順\(\,a+1\,\)を足し、
　\(\,\mathrm{B}\,\)で割ると\(\,a\,\)となる。

ということです。

最後の\(\,\mathrm{B}\,\)で割るだけで定数項がない\(\,a\,\)になるので、
⑥の手順\(\,a+1\,\)で定数項が消えるように、
手順⑤で定数項が\(\,\color{blue}{-1}\,\)となることをすれば良いので、二通り考えられます。

ⅰ)　
\(\,3\,\)を足して

　\(4a-4\color{red}{+3}=4a\color{blue}{-1}\)

\(\,a+1\,\)を足し

　\((4a-1)+(a+1)=5a\)

\(\,5\,\)で割って

　\(\displaystyle \frac{5a}{\color{red}{5}}=a\)

とするか、

ⅱ)
\(\,4\,\)で割って

　\(\displaystyle \frac{4a-4}{\color{red}{4}}=a\color{blue}{-1}\)

\(\,a+1\,\)を足し、

　\((a-1)+(a+1)=2a\)

\(\,2\,\)で割って

　\(\displaystyle \frac{2a}{\color{red}{2}}=a\)

答えは2つですがどちらかで良いです。

　\(\,\mathrm{A}\,\)：　\(\,\underline{　④に\,3\,を足す。　}\,\)
　\(\,\mathrm{B}\,\)：　\(\,\underline{　5　}\,\)

または

　\(\,\mathrm{A}\,\)：　\(\,\underline{　④を\,4\,で割る。　}\,\)
　\(\,\mathrm{B}\,\)：　\(\,\underline{　2　}\,\)

手順⑤で定数項を\(\,\color{blue}{-1}\,\)と変形できる手順なら良いです。

\(\,2019\,\)年福岡県公立入試数学の前半　\(\color{black}{\fbox{　1　}}\)　\(\color{black}{\fbox{　2　}}\)　\(\color{black}{\fbox{　3　}}\)　は以上です。

⇒　福岡県公立高校入試2019年(平成31年度)数学問題の解説【後半】

後半は　\(\color{black}{\fbox{　4　}}\)　が\(\,1\,\)次関数と交点問題、
　\(\color{blue}{\fbox{　5　}}\)　が合同と相似の総合問題、
　\(\color{black}{\fbox{　6　}}\)　が回転体の体積と立体内部の線分の長さを求める問題です。

どれだけ作業するかで大きく差が出る問題構成ですので、
集中して、前半で時間を節約しておきたいですね。

⇒　福岡県公立高校入試数学過去問の解答解説

\(\,2018\,\)年と同様、バランスの良い問題ですので過去問としてながめるだけではなく、中学数学の総復習として利用できる問題ですよ。