２０２６年（令和８年）度福岡県公立高校入試数学の問題と解説

２０２６年（令和８年）度福岡県公立高校入試数学の問題と解説です。
大問６つのバランスのとれた問題構成で計算に頼ってばかりもいられない問題です。
誘導もしっかりしていて例年通り素晴らしい問題内容と構成なので他の県の人にも入試対策の参考になるでしょう。

２０２６年（令和８年）度福岡県公立高校入試数学の問題

令和８年度福岡県公立高校入試の問題です。

⇒　２０２６福岡数学問題ＰＤＦ

大問は６つ。
計算力はそれ程必要としていませんが、
基礎は広い範囲で偏りなく問われています。

２０２６年（令和８年）度福岡県公立高校入試数学の解説

早速解説していきます。
これで無いとダメという問ばかりではないので、
ここでの解説だけが正解ということではありません。
気にせず自分の方針で進めて行けば良いです。

第１問小問集合

\(\color{black}{\fbox{1}}\)
（１）
　\(\hspace{10pt}7+(-4)\times 3\\
=7-12\\
=\underline{　-5　}\)
（２）
　\(\hspace{10pt}2(\,6a-3b\,)-(\,9a+b\,)\\
=12a-6b-9a-b\\
=\underline{　3\,a-7\,b　}\)
（３）
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \sqrt{18}+\frac{10}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle =3\sqrt{2}+\frac{10\sqrt{2}}{2}\\
=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}\\
=\underline{　8\sqrt{2}　}\)
（４）
「\(\,y\,\)は\(\,x\,\)に反比例し」、とあるので関数は
\(\hspace{10pt}\displaystyle y=\frac{a}{x}\)
\(\,x=3\,,\,y=-8\,\)を満たすので比例定数は
\(\hspace{10pt}a=(3)\times (-8)=-24\)
関数は
\(\hspace{10pt}\displaystyle y=\frac{-24}{x}\)
\(\,x=-4\,\)のとき
　\(\hspace{10pt}\displaystyle y=\frac{-24}{-4}=\underline{　6　}\)

比例定数を決めることからです。
（５）
\(\,a\,\)について解きます。
　\(\begin{eqnarray}
2\,a-3\,b&=&5\\
2\,a&=&5+3\,b\\
a&=&\underline{\underline{　\frac{5+3b}{2}　}}
\end{eqnarray}\)

答えは\(\hspace{4pt}\displaystyle a=\frac{3\,b+5}{2}\)としても同じです。
（６）
１２０人のデータの中央値は小さい方から６０人目と６１人目の平均です。
３０以上３５未満の階級までに５９人いるので、
３５以上４０未満の階級に中央値は含まれます。
累積度数は８５人。
よって累積相対度数は
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{85}{120}=0.708\cdots \)

答え\(\hspace{4pt}\underline{　0.71　}\)
（７）
グラフを描きます。
放物線は頂点と他の１点が決まれば定まります。
方眼紙ではできるだけ整数\(\,x\,\)座標１つに\(\,y\,\)座標１つを対応させて描きましょう。原点および点\(\,(\,3\,,\,3\,)\,,(\,-3\,,\,3\,)\)は通るからズレないように。
（８）
四分位範囲を求めます。
第１四分位数と第３四分位数を出して引き算です。第１四分位数は\(\displaystyle \,\frac{15+17}{2}=16\,\)、
第３四分位数は\(\,24\,\)なので、
四分位範囲は\(\,24-16=\underline{　8　}\,分\)

データの整理で一番最初にやるべきことはデータを小さい順に並べることです。
それが問題ではやってくれています。
純粋に四分位数や四分位範囲という言葉の意味を聞いてくれています。
（９）
標本抽出なので比例式で良いです。
求める赤玉の個数を\(\,x\,\)とすると
　\(\begin{eqnarray}
90:18&=&800:x\\
90x&=&800\times 18\\
x&=&\frac{800\times 18}{90}\\
&=&160
\end{eqnarray}\)

答え\(\hspace{4pt}およそ\,\underline{　160　}\,個\)

第２問確率

樹形図で良いです。
ただし、（１）では確率の意味を問われますがさいころと同じです。
（１）
ア：「必ず」とは言えない。×
イ：「１回も取り出さない」こともある。○
ウ：「１回だけ」とは限らない。×
エ：「全て」（４回とも）の可能性はある。○
オ：「必ず」とは言えない。

答え\(\hspace{4pt}\underline{　イ\,,\,エ　}\)
（２）
手順をみて「例えば」を自分でやると見えてきます。
樹形図で良いですがここでは表を使います。

同時に２枚を引くのは１枚ずつ引いても同じですが、
同じカードを引くことはないことだけ理解しておきましょう。
\(\,\color{black}{\fbox{1}}\,,\,\color{black}{\fbox{1}}\,\)を区別して和を入れます。
　\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
& \color{black}{\fbox{1}} & \color{red}{\fbox{1}} & \color{black}{\fbox{2}} & \color{black}{\fbox{3}} \\ \hline
\,\color{black}{\fbox{1}} \,& × & 2 & 3 & 4\\ \hline
\color{red}{\fbox{1}}& 2 & × & 3 & 4 \\ \hline
\color{black}{\fbox{2}}& 3 & 3 & × & 5 \\ \hline
\color{black}{\fbox{3}}& 4 & 4 & 5 & × \\ \hline
\end{array}\)
白１枚、黒２枚となる色の組合せが起こりやすい。
答え\(\hspace{4pt}\underline{　\mathrm{A}　}\)

石の裏表は（和は２から５までしかない。）
和が２のとき白１、黒２
和が３のとき白０、黒３
和が４のとき白１、黒２
和が５のとき白２，黒１
この場合は書き出しておいた方が良いです。

説明は同時に引くので樹形図で\(\,\color{black}{\fbox{1}}\,,\,\color{black}{\fbox{1}}\,\)を区別して、
組み合わせを表しておけば良いです。

第３問方程式

方程式ですが図に条件を示せばすぐに終わります。
『問題１』は正方形の１辺の長さを求めます。
『問題２』は縦と横の長さを求めます。
長方形は変わっているので注意です。
※
単位は\(\,\mathrm{cm}\,\)ですが途中省略します。

『問題１』では長方形の周の長さが\(\,14\,\)なので縦と横の和は\(\,7\,\)です。図１では長方形の縦の長さを\(\,x\,\)とします。
縦\(\hspace{4pt}\,\color{red}{x}\,\)、横\(\hspace{4pt}\color{blue}{7-x}\)
図２では正方形の１辺が\(\,x\,\)です。
（１）
方程式\(\hspace{4pt}4x=3(7-x)\)の両辺を表しているのは何か？です。正方形の辺は縦、横等しいことを表しています。

答え\(\hspace{4pt}\underline{　エ　}\)
（２）
問題１において正方形の１辺を\(\,x\,\)として方程式を立てます。縦は１辺\(\,x\,\)を４等分、横を３等分しています。
縦と横の和は７なので
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{x}{\color{black}{\fbox{　4　}}}+\frac{x}{\color{black}{\fbox{　3　}}}=\color{black}{\fbox{　7　}}\)

答え\(\hspace{10pt}\mathrm{A}=\underline{　4　}\,,\,\mathrm{B}=\underline{　3　}\,,\,\mathrm{C}=\underline{　7　}\)
※
\(\,\mathrm{A\,,\,B}\,\)は入れかわっても良いです。
「１けたの自然数」という条件なので\(\,\mathrm{C}\,\)に注意。

（３）
問題２では長方形が違いますので改めて図で確認しておきましょう。横が縦より２長いので
縦を\(\,x\,\)とすると横は\(\,x+2\,\)。

長方形の４すみから１辺４の正方形を切り取ります。
切り取られた長さからそれぞれの辺を図に示すと、ふたのない直方体をつくったときの容積が\(\,96\,\)なので、
方程式を立てて解くと
　\(\begin{eqnarray}
(\,\color{red}{x-8}\,)(\,\color{blue}{x-6}\,)\times \color{magenta}{4}&=&96\\
(x-8)(x-6)&=&24\\
x^2-14x+48-24&=&0\\
x^2-14x+24&=&0\\
(x-2)(x-12)&=&0\\
x&=&2\,,\,12
\end{eqnarray}\)
ここで切り取る正方形から\(\,x＞8\,\)なので
\(\hspace{10pt}x=12\)

答え\(\hspace{4pt}縦：\underline{　12　}\mathrm{cm}\,,\,横：\underline{　14　}\mathrm{cm}\)

第４問関数

速さが変わる移動を表す関数です。
分速が傾きの値となることが分かればグラフの読み取りだけで解決します。図書館から分速\(\,75\mathrm{m}\,\)で\(\,\mathrm{900\,m}\,\)移動したので、
公園までの時間は\(\displaystyle \,\frac{900}{75}=\color{red}{12}\,\)分です。

残りの座標も示しておきました。
\(\hspace{4pt}\mathrm{B}:(\,12\,,\,1800\,)\)
\(\hspace{4pt}\mathrm{C}:(\,21\,,\,1800\,)\)
\(\hspace{4pt}\mathrm{D}:(\,36\,,\,450\,)\)
（１）
図書館から公園までは２点\(\,\mathrm{A\,,\,B}\,\)を通る直線になるので、
\(\,\mathrm{A}\,(\,0\,,\,2700\,)\,\)であることから
\(\hspace{10pt}y=-75\,x+2700\)
（傾きは速さ\(\,75\,\)の負の値です。）
これを満たすのが答えです。

答え\(\hspace{4pt}\underline{　ア\,,\,イ\,,\,オ　}\)
（２）
\(\,x\,\)の変域が\(\,21\,≦\,x\,≦\,36\,\)ときは２点
\(\hspace{4pt}\mathrm{C}:(\,21\,,\,1800\,)\)
\(\hspace{4pt}\mathrm{D}:(\,36\,,\,450\,)\)
を通るときなので、
傾きは\(\displaystyle \,\frac{450-1800}{36-21}=-90\)
点\(\,\mathrm{C}\,\)を通ることから
　\(\begin{eqnarray}
y&=&-90(\,x-21\,)+1800\\
&=&-90\,x+3690
\end{eqnarray}\)

答え\(\hspace{10pt}\underline{　y=-90\,x+3690　}\)

⇒　変化の割合とは？1次関数の求め方と直線の方程式との違い

傾きと通る点があれば１次関数を求める公式があります。
（３）
兄は\(\,25\,\)分に公園を出発しているので、
出発点の座標は\(\,(\,25\,,\,1800\,)\,\)です。
速さは\(\,110\,\)なので傾き\(\,-110\,\)の直線を考えます。
　\(\begin{eqnarray}
y&=&-110(\,x-25\,)+1800\\
&=&-110\,x+4550
\end{eqnarray}\)
\(\,x=36\,\)のとき
　\(\begin{eqnarray}
y&=&-110\times 36+4550\\
&=&-3960＋4550\\
&=&590
\end{eqnarray}\)
となるのでまだ\(\,\mathrm{A}\,\)さんには追いついていません。（\(\,\mathrm{A}\,\)さんは\(\,(\,36\,,\,450\,)\,\)の位置にいます。）
つまり\(\,\mathrm{A}\,\)さんに追いつくのは直線\(\,\mathrm{DE}\,\)と交わるときです。

直線\(\,\mathrm{DE}\,\)は２点
\(\hspace{4pt}\mathrm{D}:(\,36\,,\,450\,)\)
\(\hspace{4pt}\mathrm{E}:(\,45\,,\,0\,)\)
を通るので
\(\hspace{10pt}y=-50\,x+2250\)

交点はの\(\,x\,\)座標は
　\(\begin{eqnarray}
-50\,x+2250&=&-110\,x+4550\\
60\,x&=&2300\\
x&=&\frac{2300}{60}\\
&=&38+\frac{20}{60}
\end{eqnarray}\)
これが追いついた時刻です。

答え\(\hspace{10pt}11\,時\underline{　38　}分\underline{　20　}秒\)

第５問平面図形

平面図形の用語の意味から問う総合問題です。最初の条件では\(\,\mathrm{BE}\,\)が\(\,\mathrm{∠BDC}\,\)の二等分線であることだけです。
（１）
\(\,\mathrm{△DBC}\,\)が二等辺三角形ならアはなりたちます。
しかしいつでも成り立つとは言えない。
角の二等分線は角を２等分しているだけに見えますが、
２つの直線から等しい距離にある点の集まりなのでイは正しい。
また、\(\,\mathrm{∠DBE=∠EBC}\,\)なので、
ウの三角形の他の２つの角の和が等しいことも正しい。
角の二等分線が面積を２等分するのは、
二等辺三角形の頂角を２等分する場合だけです。
エは正しくない。

答え\(\hspace{10pt}\underline{　イ\,,\,ウ　}\)
（２）
合同条件を答えます。ア\(\hspace{10pt}\mathrm{∠BEC=∠BEF}\,\)の場合、
「\(\underline{　１組の辺とその両端の角　}\)がそれぞれ等しい。」
ので合同が言えます。イ\(\hspace{10pt}\mathrm{BC=BF}\)の場合、
「\(\underline{　２組の辺とその間の角　}\)がそれぞれ等しい。」
ことから合同が言えます。

（３）
図２では\(\,\mathrm{△BCE≡△BFE}\,\)です。
条件として\(\,\mathrm{AB}\,\)∥\(\,\mathrm{FE}\,\)が加わります。
平行線の錯角が等しいこと、合同な図形の対応する角が等しことから、
\(\hspace{10pt}\mathrm{∠ACB=∠ABD}\)
それと共通な角があるので相似条件がそろいます。
相似条件：『２組の角がそれぞれ等しい。』

⇒　中学の図形証明問題(合同･相似)の解き方と証明の書き方ポイント

証明はルールを守っていれば書き方は自由です。
（４）
「（３）において」と問題にあるように（３）の条件を引き継いだ問題です。
\(\,\mathrm{△ABC}\,\)∽\(\,\mathrm{△ADB}\,\)を利用することになるのでしょう。
\(\hspace{10pt}\mathrm{AB:EF}=3:2\)合同なので\(\,\mathrm{BF=BC=\color{blue}{⑤}}\,\)。相似比が\(\,\color{blue}{⑤}：\color{blue}{③}\,\)なので面積比は\(\,25：9\,\)だから
\(\,\mathrm{△ABC}\,\)の面積は\(\,\mathrm{△ADB}\,\)の\(\displaystyle \underline{　\frac{25}{9}　}\)倍。

　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{△ADB:△ABC}&=&9:25\\
9\times \mathrm{△ABC}&=&25\times \mathrm{△ADB}\\
\mathrm{△ABC}&=&\frac{25}{9}\times \mathrm{△ADB}
\end{eqnarray}\)

あるいは、\(\,\mathrm{△ABD}\,\)∽\(\,\mathrm{△EFD}\,\)を利用します。
辺の比が\(\,\color{red}{3}:\color{red}{2}\,\)なので面積比は\(\,9:4\,\)
\(\,\mathrm{△ABD}\,\)の面積を\(\,⑨\,\)とすると\(\,\mathrm{△EFD}\,\)の面積は\(\,④\,\)で、
\(\,\mathrm{BD:DF=\color{blue}{③}:\color{blue}{②}}\,\)なので\(\,\mathrm{△BDE=⑥}\,\)。
\(\,\mathrm{△BCE≡△BFE}\,\)なので\(\,\mathrm{△BCE=⑥+④＝⑩}\,\)よって、
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{△ABC}&=&\frac{9+6+10}{9}\times \mathrm{△ADB}\\
&=&\frac{25}{9}\times \mathrm{△ADB}
\end{eqnarray}\)

答え\(\hspace{10pt}\displaystyle \underline{\underline{　\frac{25}{5}　}}\)倍。

どっちでも良いです。
時間は大して変わりません。（誘導に乗れれば、だけど。）

第６問立体

立体ですが綺麗な形なので分かり易いです。
ただ、基本的ことをおさえておかないと時間かかるかもしれません。
先ずは条件を図に書き込んでおきましょう。左の図１の出番はこれで終わりですが、
条件を見落とさないようにしましょう。
\(\hspace{10pt}\mathrm{PQ}\,\)∥\(\,\mathrm{AB}\,\)です。
（１）
図２の辺\(\,\mathrm{GQ}\,\)とねじれの位置にある辺の数です。延長した直線で見ると\(\,\mathrm{BC}\,\)は\(\,\mathrm{GQ}\,\)と交わります。
答え\(\hspace{10pt}\underline{　5　}本\)

⇒　空間図形の位置関係問題(平行,ねじれの位置,垂直な面,平行な面)

ねじれの位置については忘れがちな点なので注意しておきましょう。
（２）
底面が台形の四角柱ですよね。
\(\hspace{4pt}\mathrm{AP=BQ}=\color{blue}{x}\,\)とします。※単位は\(\,\mathrm{cm}\,\)ですが省略します。

台形\(\,\mathrm{BQGC}\,\)の面積は
\(\hspace{4pt}\displaystyle \frac{x+11}{2}\times 6\)
角柱の高さは\(\,\color{red}{7}\,\)なので体積は
\(\hspace{4pt}\displaystyle \frac{x+11}{2}\times 6\times 7\)
これが\(\,350\,\)のとき
　\(\begin{eqnarray}
\frac{x+11}{2}\times 6\times 7&=&350\\
3(\,x+11\,)&=&50\\
3\,x+33&=&50\\
3\,x&=&17\\
x&=&\underline{\underline{　\frac{17}{3}　}}\mathrm{cm}
\end{eqnarray}\)

取り除いた三角柱の体積から求めても良いですが、
説明必要ですか？

一応式だけで説明しておきます。
元の直方体の体積は
\(\,\hspace{10pt}7\times 6\times 11\,=\,462\,\)、
残った体積は\(\,350\,\)なので取り除いた体積は
\(\hspace{10pt}462-350\,=\,112\)
取り除いた部分の体積は\(\,\mathrm{PE}=11-x\,\)となることから
\(\hspace{4pt}\displaystyle \frac{1}{2}\times (11-x)\times 6\times 7\)
これから
　\(\begin{eqnarray}
\frac{1}{2}\times (11-x)\times 6\times 7&=&112\\
3(\,11-x\,)&=&16\\
33-3\,x&=&16\\
-3\,x&=&-17\\
x&=&\frac{17}{3}
\end{eqnarray}\)

検算にはなりますね。
（３）
『最も短くなる』ときです。\(\,\mathrm{ST+TB}\,\)が平面上で１直線になれば最短です。ここで\(\,\mathrm{PH}\,\)の長さは三平方の定理から求まります。\(\,\mathrm{PH}\,\)を含む直角三角形から
\(\hspace{10pt}\mathrm{HP}=10\)
なので
\(\hspace{10pt}\mathrm{HS}=6\,,\,\mathrm{SP}=4\)正方形ができていることがわかります。
ここで終わりではありません。
求めるのはこのときの\(\,\mathrm{CT}\,\)の長さです。点\(\,\mathrm{T}\,\)から\(\,\mathrm{AB}\,\)に垂線を下ろして交点を\(\,\mathrm{K}\,\)とすると、
\(\hspace{4pt}\mathrm{CK}=3\sqrt{5}\,,\,\mathrm{TK}=3\,\)が直角をはさむ２辺なので
　\(\begin{eqnarray}
\mathrm{CT^2}&=&\mathrm{CK^2+TK^2}\\
&=&(3\sqrt{5})^2+3^2\\
&=&45+9\\
&=&54\\
\mathrm{CT}&=&\pm 3\sqrt{6}
\end{eqnarray}\)
よって求める長さ\(\,\mathrm{CT}\,\)は
\(\hspace{10pt}\mathrm{CT}=\underline{　3\sqrt{6}　}\mathrm{cm}\)