中学１年 正の数負の数の単元ポイントとまとめ

中学１年の最初の単元、正の数負の数のポイントまとめです。
負の数にまで数の世界が広がるので慣れることが大切なところですが絶対値などの重要な言葉も出てきます。
絶対値と累乗計算はずっとついてきますので、苦手と言う以前に何なのかは理解しておきましょう。

正の数負の数と絶対値の注意点

「正の数負の数」は中学最初の単元です。
新しい数の考え方（「負の数」のことです）、計算の仕方など、ここでつまずくと、後々までひびいいて来ます。

そして、高校生になってもよく解っていない人が多い「絶対値」があります。

学校で単に｜－５｜＝５、とすればいいなんて教え方をするから、数学というものを難しくさせてしまうのです。
確かに間違いではありません。簡単に済ますにはいいでしょう。

ただ、ここで「絶対値」とは何か？
しっかり理解するというよりも、
「数学の言葉の意味をしっかりと覚える」、
ということを身につけておくといいと思います。

⇒　正の数負の数の大小を比較する数直線利用の練習問題と絶対値の意味

「加減」、足し算、引き算のことです。
マイナスの数を引くと、足すことと同じって、なぜだか理解できていますか？

「乗除」、かけ算、割り算のことです。
まず最初に何を見るのか、「割り算は存在しない」、といって理解できるか、数学の超基本的なことはここで学びます。

「四則演算」、加減乗除の混合計算のことです。

計算が途切れるのはどういった場合か、どこで計算が途切れるのか、本当の数学の計算のイロハです。

「正負の数」は数字と計算しか出てこないようなイメージがあるかもしれませんが、
数学の意味は、数字だけでは表せないということを感じ取って欲しいと思いますし、
学校で習う計算方法が全てということではありませんので、
自分が１番分かり易く、速く処理できる方法を習得しておいてもいいと思います。

決して答えが出るから「算数」で良いなんて安易な計算で済まさないことが、
あなたの数学に大きく影響するということを知って欲しいですね。

簡単なようでいて、後々になって結構差がつく単元です。

正負の数の計算だけでもミスの多さで得点力がかなり変わります。
要領よく計算できるよう基本をマスターしておきましょう。

正負の数の利用で難しいと多くの中学生が感じるのは、「平均」です。
平均とは何か、そしてコツは何か、何度も練習しておくと良いでしょう。

教科書に出てくる用語の一部です。

正の数負の数　教科書の要点

\(\color{black}{\fbox{ 1 }}\) ．正の数負の数
（１）正の数、負の数：０より大きい数を正の数、０より小さい数を負の数といいます。

　正の数：\(\displaystyle \,0.1\,,\,1\,,\,2\,,\,\frac{5}{2}\,\)
　負の数：\(\displaystyle -5\,,\,-\frac{5}{2}\,,\,-1\,,\,-0.1\)

０は正の数でも負の数でもありません。
正の整数を自然数といいます。

⇒　正の数と負の数と自然数の見分け方と数直線の書き方

（２）絶対値：数直線上で原点との距離を絶対値といいます。
（３）数の大小：負の数は絶対値が大きいほど小さく、正の数は絶対値が大きいほど大きい。
（数直線で左に行くほど小さく、右に行くほど大きい、と考えても良いです。）

⇒　正の数負の数 整数と自然数の違いは何？０は偶数、奇数どっち？

\(\color{black}{\fbox{ 2 }}\)－（１）加法
１：同符号の２数の和は、絶対値の和に共通の符号をつける。

　\((+3)+(+5)=+(3+5)=+8\)
　\((-3)+(-7)=-(3+7)=-10\)

２：異符号の２数の和は、差の絶対値に、絶対値の大きい方の符号をつける。

　\(\hspace{10pt}(+2)+(-7)\\
=-|\,2-7\,|\\
=-|\,7-2\,|\\
=-5\)

\(\color{black}{\fbox{ 2 }}\)－（２）加法の計算法則
\(　交換法則： a+b=b+a\)

　\(\hspace{10pt}\color{red}{-13}\color{blue}{+100}\\
=\color{blue}{100}\color{red}{-13}\\
=87\)

\(　結合法則： (a+b)+c=a+(b+c)\)

　\(\hspace{10pt}(20+\color{red}{3})+\color{red}{7}\\
=20+(\color{red}{3+7})\\
=20+10=30\)

\(\color{black}{\fbox{ 2 }}\)－（３）減法：引く数の符号を変えて加える。
加法になおして計算する、ということですが、数直線で左に動くということです。
慣れればこれは逆に計算は進むことになります。

　\(15-3=15+(-3)\)
慣れてくると
　\(15+(-3)=15-3\)
が普通になります。

⇒　正の数負の数の加法と減法と分数の計算問題のポイント

\(\color{black}{\fbox{ 3 }}\)－（１）乗法
１：同符号の２数の積：絶対値の積に正の符号をつける。

　\((+3)\times (+4)=+(3\times 4)=12\)

　\((-3)\times (-5)=+(3\times 5)=15\)

２：異符号の２数の積：絶対値の積に負の符号をつける。

　\((+3)\times (-4)=-(3\times 4)=-12\)

\(\color{black}{\fbox{ 3 }}\)－（２）乗法の計算法則
\(　交換法則： a \times b=b \times a\)

\(　結合法則： (a \times b)\times c=a \times (b \times c)\)

　\(\hspace{10pt}(12\times 25)\times 4\\
=12\times (25\times 4)\\
=12\times 100=1200\)

かける順番は変えても値は変わらないということです。

⇒　正の数負の数の乗法と除法の計算ポイントと練習問題

\(\color{black}{\fbox{ 3 }}\)－（３）積の符号と絶対値
積の符号は、負の数が奇数個あれば－（マイナス）、負の数が偶数個あれば＋（プラス）をつける。

　\((-3)\times (-3)\times (-3)=-27\)
　\((-3)\times (-3)\times (-3)\times (-3)=+81\)

積の絶対値は、それぞれの数の絶対値の積となる。

　\(\hspace{10pt}|\,(-4)\times (+3)\,|\\
=|\,(-4)\,|\times |(+3)|\\
=4\times 3=12\)

\(\color{black}{\fbox{ 3 }}\)－（４）累乗
同じ数をいくつかかけたものをその数の累乗といい、右かたの小さい数を指数といいます。
例えば
　\(3\times 3\times 3\times 5\times 5=3^\color{red}{3}\times 5^\color{blue}{2}\)
（この右にある「 \(\,\color{red}{3}\,,\,\color{blue}{2}\,\) 」が指数）

「\(\,3\,\)の\(\,3\,\)乗　\(\,\times\,\)　\(\,5\,\)の\(\,2\,\)乗」という意味です。
指数は右上に少し小さく書きます。

割り算（除法）は逆数のかけ算

\(\color{black}{\fbox{ 3 }}\)－（５）除法
１：同符号の２数の商：絶対値の商に正の符号をつける。

　\(\displaystyle \frac{-4}{-3}=+\frac{4}{3}\)

２：異符号の２数の商：絶対値の商に負の符号をつける。

　\(\displaystyle \frac{-5}{+2}=-\frac{5}{2}\)

\(\color{black}{\fbox{ 3 }}\)－（６）逆数
２つの数の積が１であるとき、一方を他方の逆数という。

　\(\displaystyle 3\times \frac{1}{3}=1\)　なので

　\(\,3\,\)は\(\displaystyle \,\frac{1}{3}の\,\)逆数
　\(\displaystyle \,\frac{1}{3}\,\)は\(\,3\,\)の逆数

です。

　\(\displaystyle \frac{\color{blue}{3}}{\color{red}{2}}\times \frac{\color{red}{2}}{\color{blue}{3}}=1\)
なので
　\(\displaystyle \frac{\color{red}{2}}{\color{blue}{3}}　は　\frac{\color{blue}{3}}{\color{red}{2}}　の逆数\)
となります。

\(\color{black}{\fbox{ 3 }}\)－（７）除法と逆数
除法は、割る数の逆数をかける乗法になおして計算することができる。

　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{75}{18}\div \frac{25}{36}\\
\displaystyle =\frac{75}{18}\times \frac{36}{25}\\
\displaystyle =\frac{75\times 36}{18\times 25}\\
\displaystyle =3\times 2=6\)

⇒　正の数負の数で分数計算が混じった加減乗除の練習問題とポイント

\(\color{black}{\fbox{ 4 }}\)：四則計算
（１）四則の混じった計算：加法、減法、乗法、除法をまとめて四則という。四則の混じった計算では、累乗、（かっこ）の中から計算し、その後乗除、加減の順に計算する。

（２）分配法則
　\( (a\color{red}{+}b) \times c=a\times c\color{red}{+}b\times c\)
　\( a \times (b\color{red}{+}c)=a\times b\color{red}{+}a \times c\)

こんな教科書のまとめだけでは分かりにくいと思います。
練習問題と合わせて、理屈でなく自然とできるようになると良いですね。

ちなみに今の段階で難しい計算問題をする必要はありません。
慣れるためですので簡単な計算問題を繰り返しやれば大丈夫です。

よく間違えるのが累乗についての符号（＋になるか－になるか）です。
ここは何度も何度も練習しておきましょう。
２年生、３年生になっても間違える人は多いです。

⇒　正の数負の数の大小を比較する数直線利用の練習問題と絶対値の意味

栄の数と負の数の解説はここからです。
少し間隔をあけて復習するといいですね。