２次関数における係数決定は文字を含んだ問題になるのでよく出ます。
最大最小を文字式で扱う問題の前に、先ずは基本的な係数決定ができる必要がありますので確認しておきましょう。。
また、平衡移動した式の求め方は２次関数に限ったことではありませんが重要なところです。
３点を通る２次関数の決定方法
２次関数は異なる３点があれば決まります。
\( y=ax^2+bx+c\)
という関数なので係数が３つあることからもわかるでしょう。
教科書にはもっと基本的な問題があると思いますが、
計算が１番面倒な「３点を通る条件を満たす２次関数」の求め方をやっておきます。
これができれば係数決定問題はすべて解けるんですよ。
３点 \( (-1,0) , (0,-1) , (2,3)\) を通るグラフをもつ２次関数を求めよ。
２次関数は、
一般形 \( y=ax^2+bx+c\)
標準形 \( y=a(x-p)^2+q\)
と表されるので、３点があれば必ず係数が決定出来ます。
（未定係数が３つだから）
頂点が分かっているときは、\((p,q)\) が分かるので他の１点があれば決定出来ます。
軸 \( \color{red}{x=p}\) が分かっているときは、未定係数が２つとなるので２点があれば求まります。
このように、与えられた条件によって早い求め方が違いますが、係数を決定するということにかわりはありません。
一般形を使うか、標準形を使うかはそのときに応じて使い分ければ良いのです。
基本的に「軸」や「頂点」が与えられたときは標準形を使うと楽な場合が多いです。
例題１のように３点が与えられたときは、三元（文字３つ）の連立方程式を解かなければならないので、計算が一番面倒かもしれません。
展開が不要な分、標準形よりは一般形を使った方が良いですよ。
一般形 \( y=ax^2+bx+c\) に与えられた３点を代入すると、
\( \begin{cases}
\hspace{10pt} 0=a-b+c\\
-1=c\\
\hspace{10pt} 3=4a+2b+c \end{cases}\)
の連立方程式が成り立つのでこれを解いて、
\( a=1,b=0,c=-1\)
これから求める２次関数は、\(y=x^2-1\)。
とするのが一般的な解答なので覚えておきましょう。
ちょっと違った場合も紹介しておきます。
同じように異なる３点が与えあられた場合でも、
「２点の \(y\) 座標が同じ値である場合」です。
例えば、
\( (-3,0) , (1,0) , (-2,-6)\) の３点を通る
という場合、\((-3,\color{red}{0}) , (1,\color{red}{0})\) の２点は \(y\) 座標が同じなので、
（この場合は \( x\) 軸との交点ですが）
この２つの \(x\) 座標の中点を軸が通ります。
何故かというと、２次関数は軸に対して対称なので、
\(y\) 座標が同じ値であればその真ん中に軸があると言えるのです。
だから、この場合は、標準形で \(y=a(x+1)^2+q\) と置いて、どれか２点を代入しても求まります。
（中点の \( x\) 座標は－1 ）
この問題は \( y\) 座標が０の２点が与えられている、
つまり \( x\) 軸との２交点が与えあられていることになるので、
\( y=a(x+3)(x-1)\) と置くと早いです。
これは、「 \( x\) 軸は \( y=0\) という直線」なので、
２次関数を方程式としてみたときの解が、
\( x=-3,1\) であると言うことです。
よって、
\( 0=a(x+3)(x-1)\) を満たしているということです。
後は \( y=a(x+3)(x-1)\) にもう１点を代入すれば求まります。
他に、ちょっと見極めにくいですがでは、
\( (-3,0) , (1,0) , (-2,-6)\) の３点なので、
\((-1,0)\) を通ることから \( (\color{red}{x+1})\) という因数と、
\((0,\color{red}{-1})\) を通ることから
\( y=(\color{red}{x+1})(ax\color{red}{-1})\)
と置くことも可能なのですが、もう少し基本的な問題になれてからやりましょう。
軸がわかっているときの２次関数の決定
軸が \( x=-1\) で、２点 \( (2,3) , (-2,5)\) を通る２次関数を求めよ。
軸が \( x=-1\) と分かっているので、標準形を使いましょう。
求める２次関数を \( y=a(x+1)^2+q\) とおくと、
\( (2,3) , (-2,5)\) を通ることから、
\( \begin{cases}
3=a(2+1)^2+q\\ \\
5=a(-2+1)^2+q \end{cases}\)
⇔
\( \begin{cases}
9a+q=3\\ \\
\hspace{8pt} a+q=5 \end{cases}\)
より、
\(\displaystyle a=-\frac{1}{4} , q=\frac{21}{4}\)
よって求める２次関数は、
\( y=-\displaystyle \frac{1}{4} \left( x+1 \right)^2+\displaystyle \frac{21}{4}\)
（展開しても可）
２次関数は異なる３点があれば決定出来ます。
だから２次関数のグラフを書く場合、異なる３点を座標上に記入します。
頂点が分かっている場合は、頂点と他の１点の座標で構いません。
グラフを書く場合、２次関数が決定出来るだけの点を記入するということです。
平衡移動する２次関数の求め方
グラフが \( y=-3x^2\) のグラフを平行移動したもので、
点 \( (5,-46)\) を通り、頂点が直線 \( y=3x-1\) の上にある２次関数を求めよ。
「 \( y=-3x^2\) のグラフを平行移動したもの」
だから、求める２次関数の \( x^2\) の係数は変わらないので、
\( y=-3x^2+bx+c\) もしくは \( y=-3(x-p)^2+q\)
と置けますが、あと２定点が与えられていません。
（「頂点が \( y=3x-1\) 上にある」とは条件にありますが、定点ではない。）
そこで、頂点の座標を文字で置きます。
これは「おきまり」といっても良いくらいの手法なので忘れないで下さい。
頂点が \( y=3x-1\) あることより、頂点の座標を \( (t,3t-1)\) とおくと、
求める２次関数は、
\( y-(3t-1)=-3(x-t)^2\)
つまり
\( y=-3(x-t)^2+(3t-1)\) ･･･①
とおける。
ここです。
\(\color{red}{ x 座標を t とおくと y 座標も t で}\) 表すことができます。
ここが出来れば決まっていない文字が１つになるので、もう１点あれば決まります。
\( y=-ax^2\) が \( \color{red}{ (p,q)}\) を通るとき
\( y-\color{red}{q}=a(x-\color{red}{p})^2 \hspace{7pt}\Leftrightarrow \hspace{7pt}y=a(x-\color{red}{p})^2+\color{red}{q}\)
と合わせて重要なポイントなので何度も復習して置いてください。
問題に戻ります。
① が \( (5,-46)\) を通ることより、
\( -46=-3(5-t)^2+(3t-1)\)
この \( t\) についての２次方程式を解くと、
\( t=1,10\) であるから、求める２次関数は、
\( y=-3(x-1)^2+2\) および \( y=-3(x-10)^2+29\)
展開する必要はないと思いますが、一応一般形にしておくと、
\( y=-3x^2+6x-1\) および \( y=-3x^2+60x-271\)
「頂点が \( y=3x-1\) 上にある」
「点 \( (5,-46)\) を通る直線は１つではない」
ということはグラフを書いてある程度予測できることなので、
大まかなグラフは書いて考えると良いですね。
「頂点を文字で置く」、忘れないでください！
グラフが書けるというのはそれ以前の問題です。