確率の問題でよく見る玉を同時に取り出す問題の説明をします。
ここで注意するのは同じ色の玉がある場合ですが、あつかいかたを間違えなければそれほど多くの考え方を必要とはしません。
順列や組合せを計算任せにせず、基本的な考え方がしっかりできていれば大丈夫ですよ。
玉を同時に取り出すことはできない
これは取り出し口が小さくて、
欲張った猿が箱の中で握ったバナナを離さず手が抜けない、
というバカな話ではありません。
考え方の問題ですが、
２つの玉を取り出したとき全く同時というのはあり得るのでしょうか。
１つ取り出して、２つ目を取り出す時間差というものを考えたとき、
どれだけ空いていれば同時ではなくなるのでしょう？
１秒？１０秒？または０.１秒？
現実的には１億分の１秒の差もなく同時に取り出せる、
という人はいないでしょう。
もちろん「理論上の仮定」という設定だというのは分かっていますが、
そんな必要ありますか？
同時に取り出したようで実は１つひとつ取り出していることにはなりませんか？
「同時に取り出して」
という言葉は、
「元に戻さず２回とる」
というのと確率的に同じだということを示していきます。
玉を取り出して元に戻さない問題の解き方
元に戻さない場合の試行を「非復元抽出」というのですが、
この試行においては１つひとつの「試行は独立していない」といいます。
１つの試行はもう１つの試行に影響する、
つまり順番が関係している、ということです。
難しい言葉はおいておき、問題で確認すべきことを確認しましょう。
「同時」という言葉に惑わされなくなりますよ。
この中から無作為に１個取り出し、これを元に戻さないでさらに無作為に１個取り出すとき、１個が白玉、１個が黒玉である確率を求めよ。
「戻さないで２回玉を取る」問題です。
普通に解いてみましょう。
全部で１０個ある玉の中から１回目、２回目と分けて２個の玉を取り出す方法は全部で
\( N=_{10}\mathrm{P}_2=10\times 9=90\) （通り）で、
１０個のものから２個選んで並べる順列です。
これらはすべて同じ確率で起こります。
このうち「１個が白玉、１個が黒玉」となる取りだし方は、
ⅰ）１回目が白、２回目が黒
ⅱ）１回目が黒、２回目が白
のどちらかで
ⅰ）は \(\mathrm{_6C_1\times _4C_1=24}\) 通り
ⅱ）は \(\mathrm{_4C_1\times _6C_1=24}\) 通り
で合わせて \( r=24+24=48\) 通り。
よって求める確率 \( p\) は
\(\displaystyle p=\frac{r}{N}=\frac{48}{90}=\frac{8}{15}\)
では問題を変えましょう。
この中から同時に２個の玉を取り出すとき、１個が白玉、１個が黒玉である確率を求めよ。
１０個の玉から２個の玉を選ぶ選び方は全部で
\(\hspace{10pt}\displaystyle \mathrm{_{10}C_2}\)
という組合せになります。（順列ではありません。）
白玉１個を選ぶ選び方は \( \mathrm{_6C_1}\)
黒玉１個を選ぶ選び方は \( \mathrm{_4C_1}\)
なので求める確率は
\(\displaystyle p=\mathrm{\frac{_6C_1\cdot _4C_1}{_{10}C_2}}=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}\)
「１個ずつ取り出す」「２個同時に取り出す」
確率は同じでしょう？
順番に１個ずつ取り出すことと、
取り出す２個を同時に選んで順番を決める、
というのは同じことだからです。
乗法定理を使えるならこの問題はもっと簡単に答が出ます。
白と黒１個ずつ取り出す方法は、
ⅰ）１回目白、２回目黒
ⅱ）１回目黒、２回目白
の取りだし方が考えられます。
１回目白である確率は１０固中６個が白なので \(\displaystyle \frac{6}{10}\)
２回目黒である確率は残り９個中４個が黒なので \(\displaystyle \frac{4}{9}\)
ⅰ）はこれをかければ確率が出ます。
\(\displaystyle \frac{6}{10}\times \frac{4}{9}=\frac{4}{15}\)
ⅱ）も同様に
\(\displaystyle \frac{4}{10}\times \frac{6}{9}=\frac{4}{15}\)
ⅰ）ⅱ）は同時には起こりませんので、求める確率はこの和です。
\(\displaystyle p=\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{8}{15}\)
普段は取り出す順序を自分で（勝手に）決めて、
取りだし方を後でかけるということしかしないのですが、
ちょっと長くなるのでここでは省略します。
玉を取り出して元に戻す問題の考え方
「取り出してもとに戻す」これを「復元抽出」といいます。
この方法は１回１回の試行は別々に考えて良いので、
サイコロと同じ考えで良いのです。
サイコロって１回降ると数字が消えるということはありませんよね？
あれと同じです。
ただし、元に戻すということは、
「同時に取り出す」
ということはできませんよ。
この中から無作為に１個取り出して色を確認してからこれを元に戻し、さらに無作為に１個取り出すとき、２個とも白玉である確率を求めよ。
組合せを利用すると、
１０個の中から１個取り出す方法は全部で \( \mathrm{_{10}C_1}\)
白を１個取り出す方法は \( \mathrm{_6C_1}\)
元に戻しているのだから１回目白である確率と２回目白である確率は同じで、
求める確率は
\(\displaystyle p=\frac{\mathrm{_6C_1}}{\mathrm{_{10}C_1}}\cdot \frac{\mathrm{_6C_1}}{\mathrm{_{10}C_1}}=\frac{6}{10}\times \frac{6}{10}=\frac{9}{25}\)
確率のかけ算が使えるなら
１回目に白を取り出す確率は \(\displaystyle \frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)
２回目も白を取り出す確率は、最初の状態と同じで \(\displaystyle \frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)
２回とも白である確率は \(\displaystyle \frac{3}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{25}\)
サイコロも同じように確率は求まります。
同じ色の玉が複数ある問題の解き方と注意点
組合せを考えて確率を求めようとするときは、注意点がありますのでお伝えしておきます。
袋の中より任意に４個の玉を取り 出すとき、その４個の玉が２種類の色からなる確率を求めよ。また、３種類の色からなる確率を求めよ。
順列や組合せを通してここまで来れば、何をするかは分かるでしょう？
そうです。
「場合」を書き出すことから始めます。
４個の球が２種類になるのは、「赤と白」「赤と黒」「白と黒」の３通りあります。
それぞれについて数え上げていきます。
しかし、確率で重要なのは、すべての球を区別しておかなければならないことです。
これは後で説明します。
ⅰ）「赤と白」のとき、赤の数と白の数は何個ずつかは分かりません。
例えば、
「赤３個＋白１個」、「赤２個＋白２個」、「赤１個＋白３個」があります。
それぞれを計算して求めても良いのですが、これを別々に計算すると結構時間がかかります。
そこで、
赤４白４の８個の中から４つを選んで、
赤４＋白０、赤０＋白４ の場合を除けば良いのです。
どういうことかと言うと、赤４白４の８個の中から４つを選んで取り出す方法は、
「赤４白０」，「赤３白１」，「赤２白２」，「赤１白３」，「赤０白４」
の場合がありますが、
「赤４白０」，「赤０白４」 （一色だけの取りだし方）
は一通りしかありません。
よって、「赤３＋白１」、「赤２＋白２」、「赤１＋白３」の場合の数は、
８個から４個を取り出す \( \mathrm{_8C_4}\) から「赤４白０，赤０白４」の場合を引けば良いのです。
よって、「赤と白」の取り出し方は、\( \mathrm{_8C_4}-2\) 通り。
ここが分かれば後は問題ありません。
ⅱ）「赤と黒」の場合も同様に考えると、6個の中から4個を取り出し、その中から、
赤４黒０（赤０黒４は黒が２個しかないからあり得ない）の場合を引けばいい。
よって、「赤と黒」で４個を取り出す方法は、\( \mathrm{_6C_4}-1\) 通り。
ⅲ）「白と黒」の場合は、ⅱ）と同じく \(\mathrm{_6C_4}-1\) 通り。
ⅰ）からⅲ）より２色で取り出す方法は、
\( (\mathrm{_8C_4}-2)+2\times (\mathrm{_6C_4}-1)\)
となります。
ところで、全部で１０個ある球から４個取り出す方法は、
全部で \( \mathrm{_{10}C_4}\) なので求める確率は、
\(\displaystyle \mathrm{\frac{(\mathrm{_8C_4}-2)+2\times (\mathrm{_6C_4}-1)}{_{10}C_4}}=\frac{16}{35}\)
と、ここまでは間違えてはいないのですが、注意することがあります。
同色の球を区別せず、４個の組が
(赤４白０)(赤３白１)(赤２白２)(赤１白３)(赤０白４)
(赤４黒０)(赤３黒１)(赤２黒２)
(白４黒０)(白３黒１)(白２黒２)
の１１組あり、２色の組みが、
(赤３白１)(赤２白２)(赤１白３)(赤３黒１)(赤２黒２)(白３黒１)(白２黒２)
の７組あるから求める確率を \(\displaystyle \frac{7}{11}\) とするのは間違いです。
赤、白、黒の球の数が違うので組によって確からしさが違うので、
すべての確率が同じとは言えないからです。
確率は「１つひとつの『場合』が同様に確からしい」、という前提があります。
だから同じように見えるもの（ここでは同色の球）も区別する必要があるのです。
同じ色なんだからあとで区別はなくさなくて良いのか？
というと、分母も区別をしていますので区別をなくす必要がないわけですね。
同等に確からしい上ですべて調べたわけですから。
次に３色の場合も同様に、同色の球は区別して、
「赤－白－黒」の個数が、
「２－１－１」の場合：
\(\hspace{4pt} \mathrm{_4C_2\times _4C_1\times _2C_1=6\times 4\times 2=48}\)
「１－２－１」の場合：
\(\hspace{4pt} \mathrm{_4C_1\times _4C_2\times _2C_1=4\times 6\times 2=48}\)
「１－１－２」の場合：
\(\hspace{4pt} \mathrm{_4C_1\times _4C_1\times _2C_2=4\times 4\times 1=16}\)
の計１１２通りがあるので求める確率は、
\(\displaystyle p=\mathrm{\frac{112}{_{10}C_4}}=\frac{112}{210}=\frac{8}{15}\)
となります。
確率を求めるときはすべて区別しよう！
という話です。
⇒ 場合の数 順列と組み合わせの違いと並べ方問題の解き方
順列と組合せの違いは区別できるようになっておく必要はありますよ。
次はサイコロの問題を解いておきましょう。
重複試行と呼ばれるものですが、
あまり考えなくて良くなります。