算数の問題として３つの数の最大公約数最小公倍数の求め方までをお伝えします。
公倍数や公約数は小学校の間に算数で習うところです。
高校でも最大公約数や最小公倍数を扱った問題は整数が選択科目ではありますが採用されたのでよく見かけるようになりました。
公約数とは
２つ以上の数字があって、どれも割り切れる数字を公約数といいます。
例えば、２と６は両方が２で割り切れます。
なので２は２と６の公約数です。
公約数は１つとは限りません。
１２と３６は、両方１，２，３，４，６，１２で割り切れます。
だから１２と３６の公約数は１，２，３，４，６，１２の６つです。
算数では自然数で考えれば良いので普通に６つと考えてかまいませんよ。
公倍数とは
２つ以上の数字があって共通の倍数を公倍数といいます。
例えば
２の倍数：\(\,2,4,\color{red}{6},8,10,\color{red}{12},14,\cdots \)
３の倍数：\(\,3, \color{red}{6}, 9, \color{red}{12}, 15,\cdots\)
で共通する、\(\color{red}{6,12,18,\cdots}\) が公倍数です。
最大公約数と最小公倍数
公約数のうち最大の数を最大公約数といいます。
例えば２４と３６の約数を上げていくと、
２４は、1，2，3，4，6，8，12，24
３６は、1，2，3，4，6，9，12，18，36
のうちで公約数は \(\color{magenta}{1,2,3,4,6,12}\) です。
この約数のうちで最大の１２が最大公約数となります。
公倍数はいくつもあります。
上限はありません。
公倍数のうち最小の数を最小公倍数といいます。
例えば、２と３の公倍数は 6,12,18,・・ でしたが、
この１番小さい６が最小公倍数です。
最大公約数と最小公倍数の求め方
２つの数の最小公倍数は知ってる人が多いと思うけど、
３つ以上のときの最小公倍数の出し方もここで説明しておきましょう。
例えば、４と６の最小公倍数は、
\(\color{red}{２}\underline{） ４ ６}\)
\(\hspace{16pt}\color{blue}{ ２ ３}\)
と共通に割れる２で割って、これ以上 ２ と ３ を割れる数はないので、
最大公約数が左の数をかけた２、（2しかない）
最小公倍数は最大公約数に下に残った数をすべてかけます。
\(\color{red}{2}\times \color{blue}{2\times 3}=12\)
左と下に並んだ数のかけ算で最小公倍数は求まります。
ここまでは割と知っているのではないでしょうか？
忘れていれば復習しておきましょう。
もう一つ例を見ておきます。
例えば、１２ と ３２ の場合
\(\color{red}{２}\underline{） １２ ３２}\)
\(\color{red}{２}\underline{） ６ １６}\)
\(\hspace{24pt}\color{blue}{ ３ ８}\)
となって、
最大公約数は \(\color{red}{2\times 2}=4\)
最小公倍数は \(\color{red}{2\times 2}\times \color{blue}{3\times 8}=96\)
となります。ここまではいいでしょうか？
３つ以上の数の最大公約数と最小公倍数
次に３つ以上の数字の最大公約数、最小公倍数の出し方を説明します。
共通に割れる数を探すのは同じです。
違うのは、最小公倍数の出し方です。
例えば、 ８ と １２ と ３２ の場合。
\(\color{red}{２}\underline{） ８ １２ ３２}\)
\(\color{red}{２}\underline{） ４ ６ １６}\)
\(\hspace{16pt}\color{blue}{ ２ ３ ８}\)
ここで、共通に割れる数が無くなるので、
最大公約数は、\(\color{red}{2}\times \color{red}{2}=4\) で良いのです。
しかし、最小公倍数は違います。
割れない数はそのままで、割れる部分だけを割り続けるのです。
下の２と８がまだ２で割れます。
\(\color{red}{２}\underline{） ８ １２ ３２}\)
\(\color{red}{２}\underline{） ４ ６ １６}\)
\(\color{blue}{２}\underline{） ２ \color{blue}{３} ８}\)
\(\hspace{16pt}\color{blue}{ １ ３ ４}\)
２で割れない３はそのまま下ろします。
これでどの２数も公約数はありませんので終わりです。
最大公約数は変わりません。
\(\color{red}{2}\times \color{red}{2}=4\) です。
最小公倍数は左と下の数全部をかけます。
\(\color{red}{2\times 2}\times \color{blue}{2\times 1\times 3\times 4}=96\)
３をそのまま下ろすというところがポイントですね。
最小公倍数が見つけられるようになれば、
あなたの分数計算は断然速くなっていますよ。