公倍数や公約数は小学校の間に算数で習うところです。
高校でも最大公約数や最小公倍数を扱った問題は整数が選択科目ではありますが採用されたのでよく見かけるようになりました。
ここでは算数の問題として3つの数の最大公約数最小公倍数の求め方までをお伝えします。

公約数とは

2つ以上の数字があって、どれも割り切れる数字を公約数といいます。

例えば、2と6は両方が2で割り切れます。
なので2は2と6の公約数です。
公約数は1つとは限りません。

12と36は、両方1,2,3,4,6,12で割り切れます。
だから12と36の公約数は1,2,3,4,6,12の6つです。

算数では自然数で考えれば良いので普通に6つと考えてかまいませんよ。

公倍数とは

2つ以上の数字があって共通の倍数を公倍数といいます。

例えば
2の倍数:\(\,2,4,\color{red}{6},8,10,\color{red}{12},14,\cdots \)
3の倍数:\(\,3, \color{red}{6}, 9, \color{red}{12}, 15,\cdots\)
で共通する、\(\color{red}{6,12,18,\cdots}\) が公倍数です。

最大公約数

公約数のうち最大の数を最大公約数といいます。

例えば24と36の約数を上げていくと、
24は、1,2,3,4,6,8,12,24
36は、1,2,3,4,6,9,12,18,36
のうちで公約数は \(\color{magenta}{1,2,3,4,6,12}\) です。

この約数のうちで最大の12が最大公約数となります。

最小公倍数

公倍数はいくつもあります。
上限はありません。

公倍数のうち最小の数を最小公倍数といいます。

例えば、2と3の公倍数は 6,12,18,・・ でしたが、
この1番小さい6が最小公倍数です。

最大公約数と最小公倍数の求め方

2つの数の最小公倍数は知ってる人が多いと思うけど、
3つ以上のときの最小公倍数の出し方もここで説明しておきましょう。

例えば、4と6の最小公倍数は、

 \(\color{red}{2}\underline{) 4  6}\)
 \(\hspace{16pt}\color{blue}{ 2  3}\)
 
と共通に割れるで割って、これ以上  と  を割れる数はないので、
最大公約数が左の数をかけた2、(2しかない)
最小公倍数は最大公約数に下に残った数をすべてかけます
 \(\color{red}{2}\times \color{blue}{2\times 3}=12\)
左と下に並んだ数のかけ算で最小公倍数は求まります。

ここまでは割と知っているのではないでしょうか?
忘れていれば復習しておきましょう。

もう一つ例を見ておきます。
例えば、12 と 32 の場合

 \(\color{red}{2}\underline{) 12  32}\)
 \(\color{red}{2}\underline{)  6  16}\)
 \(\hspace{24pt}\color{blue}{ 3   8}\)

となって、
最大公約数は \(\color{red}{2\times 2}=4\)
最小公倍数は \(\color{red}{2\times 2}\times \color{blue}{3\times 8}=96\)
となります。ここまではいいでしょうか?

3つ以上の数の最大公約数と最小公倍数

次に3つ以上の数字の最大公約数、最小公倍数の出し方を説明します。
共通に割れる数を探すのは同じです。
違うのは、最小公倍数の出し方です。

例えば、 8 と 12 と 32 の場合。

 \(\color{red}{2}\underline{) 8  12  32}\)
 \(\color{red}{2}\underline{) 4   6  16}\)
 \(\hspace{16pt}\color{blue}{ 2   3   8}\)

ここで、共通に割れる数が無くなるので、
最大公約数は、\(\color{red}{2}\times \color{red}{2}=4\) で良いのです。

しかし、最小公倍数は違います。
割れない数はそのままで、割れる部分だけを割り続けるのです。
下の2と8がまだ2で割れます。

 \(\color{red}{2}\underline{) 8  12  32}\)
 \(\color{red}{2}\underline{) 4   6  16}\)
 \(\color{blue}{2}\underline{) 2   \color{blue}{3}   8}\)
 \(\hspace{16pt}\color{blue}{ 1   3   4}\)

2で割れない3はそのまま下ろします。
これでどの2数も公約数はありませんので終わりです。

最大公約数は変わりません。
 \(\color{red}{2}\times \color{red}{2}=4\) です。

最小公倍数は左と下の数全部をかけます。
 \(\color{red}{2\times 2}\times \color{blue}{2\times 1\times 3\times 3\times 4}=96\)

3をそのまま下ろすというところがポイントですね。

⇒ 分数計算が苦手な人は通分の方法を変えてみる

最小公倍数が見つけられるようになれば、
あなたの分数計算は断然速くなっていますよ。