漸化式が累乗になっている形、数列anの2乗とか3乗の積で表されているパターンの解き方です。
これは3項間の漸化式に変化する場合が多いのですが、単純なものが多いので難しくありません。
他のタイプの漸化式と同じで、最初の処理のしかたで決まるので確認しておきましょう。

累乗や指数関数を見たときの対数の取り方

このパターンの漸化式は「推測して帰納法」はちょっと難しいでしょう。
普通なら誘導がつくでしょうけど、「誘導なしでも解ける」、が良いですよね。

最初だけが今までと違うだけなので簡単ですよ。

例題10

 項がすべて正である数列 \( \{a_n\}\) において

 \(a_1=1\hspace{7pt},\hspace{7pt}a_2=10\hspace{7pt},\)

 \( {a_n}^2\,a_{n-2}={a_{n-1}}^3\hspace{7pt}(n=3\,,\,4\,,\,\cdots\,)\)

とするとき、この数列 \( \{a_n\}\) の一般項を求めよ。

「数列」が「指数対数」の前に入っている課程のときはどうしてたんだ?
という疑問はさておき、
(メンドクサイことに、指数対数をやって、その後数列の応用として復習に取り入れていたのです。それまではないものとして無視です。笑)

漸化式の両辺の常用対数を取ります。

すべての項が正であることから
対数の真数は正である必要があります。)

 \( {a_n}^2\,a_{n-2} = {a_{n-1}}^3\\ \\
\Leftrightarrow  \log_{10}\{{a_n}^2\,a_{n-2}\}=\log_{10}\{{a_{n-1}}^3\}\\ \\
\Leftrightarrow  2\log_{10}a_n+\log_{10}a_{n-2}=3\log_{10}a_{n-1} ・・・☆\)

ここで \( \color{red}{b_n=\log_{10}a_n}\) とおくと
 \( \color{red} {\log_{10}a_{n-1}=b_{n-1}}\)
 \( \color{red} {\log_{10}a_{n-2}=b_{n-2}}\) 
となるので、\(☆\)は

 \( 2\color{red}{b_n}+\color{red}{b_{n-2}}=3\color{red}{b_{n-1}}\\ \\
\Leftrightarrow   2b_n-3b_{n-1}+b_{n-2}=0\\ \\
\Leftrightarrow \displaystyle  b_n-\frac{3}{2}b_{n-1}+\frac{1}{2}b_{n-2}=0\)

ここまでくれば後は普通の3項間漸化式です。
好きな解き方で解いてください。

と、終わるわけにもいきませんので解いておきます。
疑問が出てくるだろうなあ、ということにも後でお答えしておきます。

 \( b_n-\displaystyle \frac{3}{2}b_{n-1}+\displaystyle \frac{1}{2}b_{n-2}=0\)

これを変形しますが特定方程式を利用して、連立することにします。

 \( t^2-\displaystyle \frac{3}{2}t+\displaystyle \frac{1}{2}=0\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} 2t^2-3t+1=0\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} (2t-1)(t-1)=0\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} t=\displaystyle \frac{1}{2}\hspace{7pt},\hspace{7pt}1\)

から

 \( \begin{cases}
\hspace{7pt} b_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}b_{n-1}=b_{n-1}-\displaystyle \frac{1}{2}b_{n-2}\\ \\
\hspace{7pt} b_{n}-b_{n-1}=\displaystyle \frac{1}{2}(b_{n-1}-b_{n-2})\\
\end{cases}\)

とふた通りの変形ができます。
⇒ 3項間の漸化式の解き方(基本形例題8解説)

 \( b_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}b_{n-1}=b_{n-1}-\displaystyle \frac{1}{2}b_{n-2}\)

これは公比が1の数列、つまり定数数列なので

 \( b_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}b_{n-1}=b_{n-1}-\displaystyle \frac{1}{2}b_{n-2}=\cdots =b_2-\displaystyle \frac{1}{2}b_1\)

ここで
 \( b_1=\log_{10}a_1=\log_{10}1=0\)
 \( b_2=\log_{10}a_2=\log_{10}10=1\)
から
 \(\displaystyle b_2-\frac{1}{2}b_1=1-0=1\)
なので

 \(\displaystyle b_{n}-\frac{1}{2}b_{n-1}=1\) ・・・①

変形したもう一つの漸化式

 \( b_{n}-b_{n-1}=\displaystyle \frac{1}{2}(b_{n-1}-b_{n-2})\)

これは等比数列なので、\( n\) が \( 1\rightarrow (n-1)\)まで変化するので、
項数が \( n-1\) 項であることに注意して

 \( b_{n}-b_{n-1}=(b_2-b_1)\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n-2}\)

 \( (b_2-b_1)=1-0=1\) だから

 \(\displaystyle b_{n}-b_{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\) ・・・②

①を2倍して

 \( 2b_{n}-b_{n-1}=2\) ・・・①’

これと②から \( b_{n-1}\) を消去すると(①’-②)

 \( b_n=2-\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n-2}\)

よって

 \( b_n=\log_{10}a_n \hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} a_n=10^{b_n}\)

 \(∴ \displaystyle \underline{a_n=10^{\left\{2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\right\}}}\)

もっときれいな答になる問題にすれば良かった。

対数の底を決める方法

ところで、この底の「10」は常用対数を取ったからなのか?
常用対数でなければダメなのか?
と考えた人は物事を深く考える人ですね。
科学者に向いているのではないでしょうか。

違います。
常用対数でなくてもかまいません。

例えば底を「2」として、\(\log_{2}a_n=b_n\) とすると
 
 \( \begin{cases}
\hspace{7pt} b_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}b_{n-1}=b_{n-1}-\displaystyle \frac{1}{2}b_{n-2}\\ \\
\hspace{7pt} b_{n}-b_{n-1}=\displaystyle \frac{1}{2}(b_{n-1}-b_{n-2})\\
\end{cases}\)

となって

 \( \begin{cases}
\hspace{7pt} b_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}b_{n-1}=b_2-\displaystyle \frac{1}{2}b_1\\ \\
\hspace{7pt} b_{n}-b_{n-1}=(b_2-b_1)\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n-2}\\
\end{cases}\)

までは同じです。

ここからが違って

 \( b_1=\log_{2}a_1=\log_{2}1=0\)
 \( b_2=\log_{2}a_2=\log_{2}10\)

なので

 \( b_{n}-\displaystyle \frac{1}{2}b_{n-1}=\log_{2}10\)
 \( b_{n}-b_{n-1}=\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n-2}\cdot \log_{2}10\)

これらから \( b_{n-1}\) を消去して

 \( b_n=2\log_{2}10-\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n-2}\cdot \log_{2}10\\ \\
=\left\{2-\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{n-2}\right\}\log_{2}10\\ \\
=\log_{2}10^{\left\{2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\right\}}\)

 \( b_n=\log_{2}a_n\) なので

 \( \log_{2}a_n=\log_{2}10^{\left\{2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\right\}}\)

真数どうしは等しくなるので

 \( ∴ \hspace{7pt} a_n=10^{\left\{2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}\right\}}\)

ね、同じでしょう。
その問題に適した底があるかもしれません。
でも、底は何が良いか?と探し、あれこれ考えるより、最初から常用対数を取った方が早いだろ!ってことです。

次は

⇒ ルートのついた漸化式の解き方(例題11)

指数や対数関数での基本って知ってますか?
そんな感じのパターンです。