群数列問題を解くときのチェックポイントと解き方のコツ

群数列の問題はコツさえおさえておけば解き方は普通の数列の問題と変わりません。
考え方とチェックポイントは２つありますが問題の中で見ておきましょう。
問題自体がややこしく見えるので苦手にしている人が多いですが、
群数列が分からないのではなくて、答までの段階を踏んでいないだけだということがはっきりしますよ。

群数列とは

規則性をもって並んだ数が数列で、
数列のあるひとくくりの「群がまた規則性を持って並んでいる数列」を群数列と呼びます。

例えば、１から始まる自然数を

　\( |\,1\,|\,,\,|\,2\,,\,3\,|\,,\,|\,4\,,\,5\,,\,6\,|\,\cdots \)

というように群にして分けた数列のことです。

最初の群を第１群、続いて第２群、第３群、、、と呼びます。
一般的に取りあげる群を第 \(n\) 群といいます。

群数列だけにあてはめる公式などがある訳ではなくて、
数列全般にある定理をその群数列に活用するだけです。

　群を見る、
　各群の中の数列を見る、
　全体を見る、
という解答上では多段階になりますが、数列として難しくはないのでポイントをおさえて問題に取り組めば基本的な知識でも何とかなりますよ。

群数列問題を解くときのチェックポイントとコツ

群数列の問題を解くときのチェックポイントは２つです。

それだけで解けるかというとそうではありませんが、
おさえておかないと解答の糸口が見つからないことが多いのでチェックしておいてください。

１つは、各群に含まれている項数です。

上の群数列では各群に含まれている項数は１つずつ増えています。
よって第\(\,n\,\) 群では\(\,n\,\)項あります。

もう一つは、第\(\,n\,\)群の初項、または第 \( n-1\) 群の末項です。
　\(\hspace{10pt}\cdots\,,\,|\,\cdots\,,\,\color{blue}{●}\,|\,,\,|\,\color{red}{●}\,,\,\cdots\,|\,,\,\cdots\,\)

第\(\,n\,\)群の初項が分かれば問題ありませんが、末項の方が分かりやすい場合もあるのです。

結局は第\(\,n\,\)群の初項を知るためですが、
順序として第\( n-1\)群の末項を先に考えるという場面も多いので覚えておきましょう。

この２つをチェックポイントにあげておきますので問題演習でチェックして見てください。
かなり取り組みやすくなっているはずです。

後は一気に答にたどり着くことより、
　「各群の数列がどのような数列か」
ということを見れば全体も見えてきます。

問題を解いてみましょう。

群数列の例題その１

あれこれ考えてもムダです。
実際に、問題に対する作業をしてみましょう。

例題１と例題２を踏まえて例題３でまとめてみます。

一見規則性がないように見える数列ですが、

　\( \left|\displaystyle \frac{1}{1} \right| \,,\, \left|\displaystyle \frac{2}{1}\,,\,\displaystyle \frac{1}{2} \right| \,,\, \left|\displaystyle \frac{3}{1}\,,\,\displaystyle \frac{2}{2}\,,\,\displaystyle \frac{1}{3}\right|\,,\, \left|\displaystyle \frac{4}{1}\,,\,\displaystyle \frac{3}{2}\,,\,\displaystyle \frac{2}{3}\,,\,\displaystyle \frac{1}{4}\right|\,,\,\cdots\)

と分けると、｜　｜の中に規則性がある数列ができます。

これが『群数列』です。
｜　｜で元々区切ってあるものもあります。

群数列での基本は、
　各群の初項と末項、
　各群の項数、
もちろん各群の規則性に着目することです。

｜　｜で区切られた左から第1群、第2群、・・・第 \(n\) 群と呼びます。

この群数列では、
　第 \(n\) 群には、項数が \( n\) 項あり、
　第 \(n\) 群の分母は、
　\(\hspace{10pt} 1\,,\,2\,,\,3\,,\,\cdots \,,\,n\)
　分子は逆に
　\(\hspace{10pt} n\,,\,n-1\,,\,\cdots \,,\,2\,,\,1\)
つまり第 \(\,n\,\) 群は、
　\( \displaystyle \frac{n}{1} \,,\, \displaystyle \frac{n-1}{2} \,,\, \displaystyle \frac{n-2}{3} \,,\,\cdots \,,\, \displaystyle \frac{3}{n-2} \,,\,\displaystyle \frac{2}{n-1} \,,\,\displaystyle \frac{1}{n} \)

となっていて、
第 \(n\) 群の最初の項の分子 \( n\) が第 \( n\) 群の項数ということになります。

では、\(\displaystyle \frac{10}{7}\)　は？
ここからは数列が持っている規則性で片がつきます。

分母が「７」なので、その群の中では「７番目の項」
であることからその群の前６項を書き出せば、

　\( \displaystyle \frac{10}{7}\rightarrow \displaystyle \frac{11}{6}\rightarrow \displaystyle \frac{12}{5}\rightarrow \displaystyle \frac{13}{4}\rightarrow \displaystyle \frac{14}{3}\rightarrow \displaystyle \frac{15}{2}\rightarrow \displaystyle \color{red}{\frac{16}{1}}\)

これがこの群の初項になるので、第\(\,16\,\)群にあるということが分かります。

数列ではこの具体的に書き出すという作業は重要です。

規則性を文字で見ると第\(\,n\,\)群では、
　分子は１ずつ減って、分母が１ずつ増えるので、
すべての項が分母と分子を加えると一定の\(\,n+1\,\)になっています。

だから\(\displaystyle \,\frac{10}{7}\,\)を見た瞬間に第\(\,16\,\)群であるということは分かるようになりますが、
慣れるまでではなく、慣れてからも書き出すようにしておく方が適応できる範囲が広がりますよ。

ここまで分かれば後はその第 \( n\) 群の前に何項あるかを数えれば良いだけです。

　第 \(n\) 群には項数が \( n\) 項ある
ので、第\(\,15\,\)群までには、
　\(\hspace{10pt} 1+2+3+\cdots+15\\
=\displaystyle \frac{15}{2}(1+15)\\
=120\)
の項があります。

よって、\(\displaystyle \,\frac{10}{7}\,\)は、
第\(\,16\,\)群の\(\,7\,\)番目なので、第\(\,127\,\)項ですね。

第\(\,k\,\)群の第何項が\(\,k\,\)でどう表せるか、
などと難しことを考える前に、各群の初項と末項、項数、規則性を見てください。

特に着目するところは、各群の初項と末項と項数です。

群数列の例題その２

これは各群が区切られています。
問題は６番目の群の総和なので、書き出しても答えは出そうですが、一般的に求められるようになっておきましょう。

先ず、すぐに分かるのは各群の項数です。

第 \(k\) 群には \( k\) 項あります。

では、\( k-1\) 群までには何項あるかというと、
　\( 1+2+3+\cdots +(k-1)=\displaystyle \frac{1}{2}k\,(k-1)\)
項あることになります。

このことから第５群までには \( k=6\)　として
　\(\hspace{10pt} \displaystyle \frac{1}{2}\,6\,(\,6-1\,)=15\)
の項があるので第 \( 6\) 群の最初の項は全体の数列の第 \( 16\) 項です。

数列　\( 2\,,\,5\,,\,8\,,\,11\,,\cdots\) は
　初項が\(\,2\,\)，公差が\(\,3\,\)の等差数列
なので、全体の数列の一般項は
　\(\hspace{10pt}\,3n-1\,\)
で、第６群の初項となる第\(\,16\,\)項は
　\(\hspace{10pt}3\cdot 16-1=47\)
とわかります。

つまり、第６群は
　「初項が\(\,47\,\)」で「公差が\(\,3\,\)」の数列の項数\(\,6\,\)個の集まり（群）
ということです。

　\(\hspace{10pt} |\,47\,,\,50\,,\,53\,,\,56\,,\,59\,,\,62\,|\)

よって第６番目のグループに属する数の総和は、
　\(\begin{eqnarray}\displaystyle
S&=&(47+62)\times \displaystyle \frac{6}{2}\\
&=&109\times 3\\
&=&\underline{　327　}
\end{eqnarray}\)

チェックポイントをしっかり見ていけば、『群数列』は難しくはありません!

ただ、この問題ではいざとなれば第６群すべてが書き出せます。
実際の試験では（時間があれば）あがいて良いですよ。笑

群数列の例題その３

チェックポイントその１の「項数」です。
各群の項数という意味ですよ。

第１群に１つ、第２群に２つ、、、と増えるので、
第\(\,n\,\)群には\(\,n\,\)項あります。

チェックポイントその２は「各群の初項」です。
ここでは、各群の初項を並べると
　\(\hspace{10pt} 1\,,\,2\,,\,4\,,\,7\,,\,\cdots\)
となっているので階差を取れば一般項がでそうです。

階差は
　\( 1\,,\,2\,,\,3\,,\,4\,\cdots\)
なので第\(\,n\,\)群の初項は
　\(\begin{eqnarray} \displaystyle
a_n&=&1+\sum_{k=1}^{n-1} k\\
&=&1+\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)\\
&=&\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)+1
\end{eqnarray}\)

でも、これって推測ですよね。

第\(\,n-1\,\)群の末項を考えるとはっきりします。
項数だけを考えると、
第\(\,1\,\)群から第\(\,n-1\,\)群の末項までの項数は
　\( 1+2+3+\cdots+(n-1)=\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)\)
あります。

第 \(n\) 群の初項はその次の項で、
この数列は自然数の数列なので第 \(n\) 群の初項自体が
　\(\hspace{10pt} \displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)+1\)
となっています。

つまり、第\(\,n\,\)群は
　初項を\(\displaystyle \,\frac{1}{2}n(n-1)+1\,\)とする公差が\(\,1\,\)の等差数列
で、　項数\(\,n\,\)の自然数の集まりということです。

和を求めるので、等差数列の和の公式に代入して
　\(\begin{eqnarray}\displaystyle
S&=&\frac{n}{2}\left\{ 2\left( \frac{1}{2}n(n-1)+1\right)+1(n-1)\right\}\\
&=& \frac{n}{2}\left\{ n(n-1)+2+(n-1)\right\}\\
&=& \frac{n}{2}(n^2-n+2+n-1)\\
&=& \frac{n}{2}(n^2+1)
\end{eqnarray}\)

群数列はこのように各群で数列になっているので、
　各群での数列を考える、
　その後全体で考える、
と段階を踏む必要があります。

この例題は各群の和まででしたが、初項から第 \( n\) 群までの和も出せますよ。

第 \(k\) 群の和が
　\( \displaystyle \frac{k}{2}(k^2+1)=\displaystyle \frac{1}{2}(k^3+k)\)
とおけるのでこの\(\,k\,\)が\(\,1\,\)から\(\,n\,\)までの和を計算すれば良いだけです。
ここはシグマ計算のページではないので計算はしません。

少し文字式がややこしい形になっていますがこれが普通です。
簡単なものばかりが出題される訳ではありません。
ここまで来ると「公式にあてはめてすぐに答」などといった問題は少ないですよ。

群数列のチェックポイント２つは忘れないでくださいね。

⇒　数列(一般項から数学的帰納法まで)の要点

群数列も数列の1つの項目に過ぎません。
知っておいた方が良い規則性（数列の項目）は他にもあります。