数列の要点をまとめておきます。
数列では計算量が多くなりますが、式変形を要領よくやれば良いだけなので基本的な定理までは確実に抑えておきましょう。
共通テストでは選択問題になるとしてもほとんどの人が選択することになりますね。

数列は単元として存在していますが、数字の規則性を扱うので数学全般において役立つことが多いです。
数学\(Ⅲ\)(極限)につながる部分も多く、細かく説明するとものすごく長くなるので教科書程度の説明で(共通テストで扱う程度で)まとめることにしていますが、
項目が割と多いので、数学\(Ⅲ\)を学ぶ予定のない人もある程度時間に余裕を持って取り組んでおきましょう。

数列とは

改めてする必要もありませんが定義からです。

数列の定義

\(\color{red}{\fbox{ 数列とは(定義) }}\)

 数の並び\(\,a_1\,,\,a_2\,,\,\cdots\,,\,a_n\,,\,\cdots\,\)があり、
 ある確定した規則に沿って第\(\,n\,\)番目の数\(\,a_n\,\)が定まるとき、
 これらの数の一団を数列といい、記号では\(\,\{a_n\}\,\)と表す。

他にもありますが、数列を表す記号は\(\,\{a_n\}\,,\,\{b_n\}\,)などと書くのが普通です。

数列全般で使う記号と用語

\(\color{red}{\fbox{ 項と一般項 }}\)

 数列\(\,\{a_n\}\,\)において、各々の数をその数列の「項」という。
 第\(\,n\,\)番目の項を第\(\,n\,\)項、または一般項という。
 また、最初の項\(\,a_1\,\)を初項という。

一般項\(\,a_n\,\)は添え字(右下にある順番を表す数)の\(\,n\,\)が\(\,k\,\)になっている場合もありますが、
\(\,a_n\,\)も\(\,a_k\,\)もどちらも数列\(\,\{a_n\}\,\)を代表しているという意味で一般項です。

また、数列が有限個数の項(有限数列)であるとき、
最後の項を「末項」といいます。

第\(\,n\,\)項までの数列の場合は\(\,a_n\,\)を末項として扱います。

数列の目的

数列を扱う目的は1つではありませんが、
数学\(\,\mathrm{ⅡB}\,\)で扱う問題の大きな目的は一般項を求めることにあります。

一般項を求める方法がいろいろとあるので、
それを一つひとつ解決していこうとしてるわけです。

ところで、ここでは\(\,n\,\)は自然数として構いません。
例外的に\(\,n=0\,\)とすることもありますが、
添え字の使い方で自然数に換えることもできるので相等に慣れるまでは気にしなくて良いです。

このことから、
 数列は自然数を定義域とする関数
と見ることができるのでいままで学んできた関数を利用できることも覚えておくと良いですよ。
(自然数が定義域なのでグラフで見ると飛び飛びになることに注意が必要です。)

等差数列と等比数列

この単元をはじめた頃に出てくる名前のついた数列なので覚えている人は多いでしょう。
簡単にまとめておきます。

等差数列の一般項と和

1つの数に次々と同じ数を加えるという手順で得られる数列を等差数列といいます。

\(\color{red}{\fbox{ 等差数列の定義 }}\)

定数\(\,a\,,\,d\,\)によって
 \(a\,,\,a+d\,,\,a+2d\,,\,a+3d\,,\,\cdots\,\)
と定められる数列を等差数列という。
また、定数\(\,a\,\)を初項、定数\(\,d\,\)を公差という。

 (\(\hspace{10pt}a_{n+1}=a_n+d\,\)ということです。)

1つの項と次の項の差が一定ということなので、
 \(\hspace{10pt}\color{blue}{a_{n+1}-a_n=d (定数)}\)
であれば数列\(\,\{a_n\}\,\)は等差数列ということにもなります。

等差数列の一般項

\(\color{red}{\fbox{ 等差数列の一般項 }}\)

 初項\(\,a\,\)、公差\(\,d\,\)の等差数列の一般項は
 \(\hspace{10pt}a_n=a+(n-1)d\)

あとで詳しく説明しているページをご紹介しますが、
これは覚えるより書き出して規則性を見ることをおすすめしています。

等差中項

数列\(\,a\,,\,b\,,\,c\,\)がこの順に等差数列であるとき、
 \(\hspace{10pt}2b=a+c\)
が成り立ちます。

このときの\(\,b\,\)を等差中項といいます。

⇒ 等差中項と等比中項の公式とは?等差数列と等比数列の応用

等比中項は等比数列で出てきます。

等差数列の和

\(\color{red}{\fbox{ 等差数列の和 }}\)

等差数列の初項が\(\,a\,\)、公差が\(\,d\,\)のとき、
この等差数列の初項から第\(\,n\,\)項までの和\(\,S_n\,\)は
 \(\hspace{10pt}\displaystyle S_n=\frac{1}{2}\,n\,\{\,2a+(n-1)d\,\}\)
または、末項を\(\,\ell\,\)とすると
 \(\hspace{10pt}\displaystyle S_n=\frac{1}{2}\,n\,(\,a+\ell\,)\)

末項\(\,\ell\,\)は\(\,\color{blue}{a_n=a+(n-1)d}\,\)の一般項と同じになるので、
 \(\begin{eqnarray}\displaystyle
S_n&=&\frac{1}{2}\,n\,(\,a+\color{blue}{\ell}\,)\\
&=&\frac{1}{2}\,n\,\{a+\color{blue}{a+(n-1)d}\}\\
&=&S_n=\frac{1}{2}\,n\,\{\,2a+(n-1)d\,\}
\end{eqnarray}\)

と同じことになるので末項が分かる場合は
 \(\hspace{10pt}\displaystyle S_n=\frac{1}{2}\,n\,(\,a+\ell\,)\)
の方が計算しやすく早いです。

⇒ 等差数列 一般項と和の公式の求め方と最大値へのグラフ利用

等差数列の和が何次関数になるのか確認しておいてください。

等比数列の一般項と和

1つの数に次々と同じ数をかけるという手順で得られる数列を等比数列といいます。

\(\color{red}{\fbox{ 等比数列の定義 }}\)

定数\(\,a\,,\,r\,\)によって
 \(a\,,\,a\,r\,,\,a\,r^2\,,\,a\,r^3\,,\,\cdots\,\)
と定められる数列を等比数列という。
また、定数\(\,a\,\)を初項、定数\(\,r\,\)を公比という。

 (\(\hspace{10pt}a_{n+1}=r\,a_n\,\)ということです。)

1つの項と次の項の比が一定ということなので、
 \(\hspace{10pt}\displaystyle \color{blue}{\frac{a_{n+1}}{a_n}=r (定数)}\)
であれば数列\(\,\{a_n\}\,\)は等比数列ということにもなります。

等比数列の一般項

\(\color{red}{\fbox{ 等比数列の一般項 }}\)

 初項\(\,a\,\)、公比\(\,r\,\)の等比数列の一般項は
 \(\hspace{10pt}a_n=a\,r^{n-1}\)

等比中項

数列\(\,a\,,\,b\,,\,c\,\)がこの順で等比数列であるとき、
 \(\hspace{10pt}b^2=a\,c\)
が成り立ちます。

このときの\(\,b\,\)を等比中項といいます。

⇒ 等差中項と等比中項の公式とは?等差数列と等比数列の応用

等比数列の和

\(\color{red}{\fbox{ 等比数列の和 }}\)

等比数列の初項が\(\,a\,\)、公比が\(\,r\,\)のとき、
この等比数列の初項から第\(\,n\,\)項までの和\(\,S_n\,\)は
\(\hspace{10pt}r\,\)≠\(\,1\,\)ならば
 \(\hspace{10pt}\displaystyle S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\,=\,\frac{a(r^n-1)}{r-1} ・・・①\)
\(\hspace{10pt}r\,=1\,\)ならば
 \(\hspace{10pt}\displaystyle S_n=n\,a\)


\(\,①\,\)は公比\(\,r\,\)が\(\,1\,\)より大きいときと小さいときで使い分けると計算が少しは楽です。

⇒ 等比数列の一般項と和の公式および問題の解き方ポイント

定数\(\,a\,,\,r\,\)を用いて(文字で)和を一般的に表す場合は、
公比が\(\,1\,\)か\(\,1\,\)でないかの吟味が必要になりますね。
また和の公式において
 \(\hspace{10pt}r^n-1=(r-1)(r^{n-1}+\cdots+r^2+r+1)\)
と因数分解できるので
 \(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{(1-r^n)}{1-r}=\frac{(r^n-1)}{r-1}\)
は変形できますが、する必要はありません。


教科書に複利計算も項目があります。
等比数列の和を利用した計算です。
しかし、現在銀行で\(\,2\,\)%の利息がつく預金なんてものはありません。笑

いろいろな数列

限りなくあるといっても良い数列の、
和についていろいろと(いくつか)見ていくことになります。

和を表す記号シグマ

数列の和は普通\(\,S_n\,\)と表されます。
例えば等差数列の初項から第\(\,n\,\)項までの和は
 \(\hspace{10pt}\displaystyle S_n=\frac{1}{2}\,n\,(\,a+\ell\,)\)
です。

実際には、等差数列の和は
 \(\hspace{10pt}S_n=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +\{a+(n-1)d\}\)
を計算したもので、この右辺を
 \(\hspace{10pt}S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\{a+(k-1)d\}\)
のようにシグマを用いて和を表すこともできます。

\(\color{red}{\fbox{ シグマの定義 }}\)

\(\,n\,\)を自然数とするとき
 \(\hspace{10pt}\displaystyle \sum_{k=1}^n\,a_k=a_1+a_2+\cdots +a_n\)

シグマの計算公式もありますが、
シグマは「和」を意味しているので公式だけに使う記号ではありません

⇒ 数列 シグマ(Σ)の使い方や表し方と注意点

例えば、定数\(\,c\,\)の\(\,n\,\)項の和は\(\,c\,\)を\(\,n\,\)回足すということなので
 \(\begin{eqnarray}\displaystyle
\sum_{k=1}^n\,c&=&c+c+c+\cdots \,+c\\
&=&nc
\end{eqnarray}\)

シグマの計算公式

\(\color{red}{\fbox{ 自然数の累乗の和を表す公式 }}\)

 \(\hspace{10pt}\displaystyle \color{red}{\sum_{k=1}^n\,k=\frac{1}{2}\,n(\,n+1\,)}\)
 \(\hspace{10pt}\displaystyle \color{red}{\sum_{k=1}^n\,k^2=\frac{1}{6}\,n(\,n+1\,)(\,2n+1\,)}\)
 \(\hspace{10pt}\displaystyle \color{red}{\sum_{k=1}^n\,k^3=\left\{\frac{1}{2}\,n(\,n+1\,)\right\}^2}\)

覚えておくべきシグマの計算公式はこの3つです。

⇒ 数列のシグマ(Σ)の意味と公式と計算方法

シグマ計算には次の定理が成り立ちます。

 \(\hspace{10pt}\displaystyle \sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^n\,a_k+\sum_{k=1}^n\,b_k\)
 \(\hspace{10pt}\displaystyle \sum_{k=1}^nc\,a_k=c\sum_{k=1}^na_k (\,c\,は定数)\)

シグマにおける線型性ですが、
いくつかの数列の和の形になっている場合の全体の和は、
「ひとつひとつの数列の和の和」であるということです。

例えば、\(\,a_k\,\)が等差数列、\(\,b_k\,\)が等比数列だとすると、
一度には計算できませんが、別々に和を求めて足すことができるという意味です。

⇒ 等差数列の和とシグマの計算方法

ただし、積において
 \(\hspace{10pt}\displaystyle \sum_{k=1}^na_k\,b_k=\left(\sum_{k=1}^na_k\right)\left(\,\sum_{k=1}^nb_k\right)\)
は必ず成り立つとは言えません。
(\(\,a_k=k\,,\,b_k=k\,\)として計算してみて下さい。\(\,k=1\,\)を除いて両辺で違いが出てきます。)

階差数列

数列\(\,\{a_n\}\,\)において隣り合う項の差\(\,b_n\,\)を階差といいます。
 \(\hspace{10pt}b_n=a_{n+1}-a_n\)
また、この階差を並べた数列\(\,\{b_n\}\,\)を「階差数列」といいます。

階差数列と一般項

数列\(\,\{a_n\}\,\)の階差数列を\(\,\{b_n\}\,\)とすると
 \(\,n\,≧\,2\,\)において
 \(\hspace{10pt}\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\)

階差は項が2つ以上ないと出てきませんので、
一般項を求めるときは\(\,n=1\,\)のとき一致するかどうかを調べる必要がありますよ。

⇒ 階差数列の公式と一般項を求める問題の解き方

少しですが例題を取り上げて解説しています。

和と一般項の関係

数列\(\,\{a_n\}\,\)の初項から第\(\,n\,\)項までの和を\(\,S_n\,\)とすると、
 \(\hspace{10pt}S_1=a_1\)
 \(\,n\,≧\,2\,\)において
 \(\hspace{10pt}a_n=S_n-S_{n-1}\)

詳しい説明は別にしてありますが、
 \(\begin{eqnarray}
S_n&=&a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}+a_n\\
S_{n-1}&=&a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}
\end{eqnarray}\)
を具体的に書き出すことですぐに分かるでしょう。

⇒ 数列の初項から第n項までの和Snが分かっているときの一般項の求め方

よく見かける和と一般項の関係を表す問題です。

いろいろな数列の和

よく見かける和の求め方ですが、
決まった手法はありますが公式があるわけではありません。

部分分数分解を利用する和の求め方です。

⇒ 部分分数分解を使って数列の和を求める方法

問題はいくらでも作れるところですが、
ある程度パターンがあるので確認しておきましょう。

⇒ 群数列問題を解くときのチェックポイントと解き方のコツ

群数列では和の先にすべきことがあります。

漸化式と数学的帰納法

漸化式を難しく考えなくて良いです。
数列\(\,\{a_n\}\,\)において\(\,a_n\,\)と\(\,a_{n+1}\,\)、
つまり1つの項とその次の項やそのまた次の項との関係を表した関係式を漸化式といいます。

数学的帰納法とは、いくつかの具体例から一般的な法則を推定する帰納法を数学に利用したもので、
証明や数列の一般項を求める場合に利用します。

漸化式

\(\color{red}{\fbox{ 漸化式による定義 }}\)

数列\(\,\{a_n\}\,\)のいくつかの連続する項の値から、
それらの次の項の値を定める関係式
 \(\hspace{10pt}a_{n+1}=f(a_n)\,,\,a_{n+2}=g(\,a_{n+1},a_n\,)\)
などを数列\(\,\{a_n\}\,\)の漸化式という。
また、漸化式のはじめのいくつかの項を指定することで\(\,\{a_n\}\,\)は決定する。
このような数列の定め方を漸化式による定義、または帰納的定義という。

\(\hspace{10pt}a_{n+1}=f(a_n)\,,\,a_{n+2}=g(\,a_{n+1},a_n\,)\)が抽象的でわかりにくいかもしれませんが、
2項間漸化式
 \(\hspace{10pt}a_{n+1}=p\,a_n+q\)

⇒ 2項間漸化式で表される数列の一般項の求め方基本パターン

3項間漸化式
 \(\hspace{10pt}a_{n+2}=p\,a_{n+1}+q\,a_n\)
などのことです。

⇒ 3項間の漸化式の解き方(一般項の求め方基本形例題8解説)

 関数\(\,f\,(\,x\,)=x^2-2x+5\,\)
や、
 関数\(\,f\,(x\,,\,y\,)=x^2+2x+y^2-4y\,\)
と表すように\(\,a_n\,\)の関数を表しているのと同じことです。

この漸化式の定義を見れば冒頭の「数列とは」で説明しておいた、
数列は自然数を定義域とする(グラフでは飛び飛びな)関数という意味が少しは理解できるでしょう。
まだ「ん?」と感じる人は気にしなくて良いです。笑
先ずは問題が少しずつ解けるようになってください。

漸化式の解法パターン集

漸化式から一般項を求めるパターンはほとんど例題をあげて説明しているので、
何度もみて習得すれば誘導無しで求められるようになりますよ。
(大学入試では誘導がつくのが普通なので高校生にはそれほど時間をかける必要はないです。)

⇒ 漸化式の解き方パターン一覧と一般項の求め方まとめ(階差数列、分数、累乗など)

ここだけでも相当な時間を費やします。
通常だと誘導がありますので覚えようとはしなくて良いですよ。

数学的帰納法

帰納法とは何か、ということは先ほど書いておきました。
いくつかの具体例から一般法則を推定することです。

数学的帰納法とは

先ずは数学的帰納法の手順から説明しておきます。

\(\color{red}{\fbox{ 数学的帰納法の手順 }}\)

\(\,\mathrm{(Ⅰ)}\,\) \(\,P_1\,\)が成り立つ。
\(\,\mathrm{(Ⅱ)}\,\) \(\,P_k\,\)が成り立つならば\(\,P_{k+1}\,\)も成り立つ。

\(\,\mathrm{(Ⅰ)}\,,\,\mathrm{(Ⅱ)}\,\)を証明することにより、
 任意の自然数\(\,n\,\)について\(\,P_n\,\)が成り立つ
ことを証明する方法を数学的帰納法といいます。

⇒ 数学的帰納法とは?等式の証明の仕方と解答の流れ


手順\(\,\mathrm{(Ⅰ)}\,\)で\(\,n=1\,\)の場合からはじめているので\(\,n\,≧\,1\,\)の自然数で成り立つことが言えていますが、
手順\(\,\mathrm{(Ⅰ)}\,\)で\(\,n=4\,\)の成立を確認すれば\(\,n\,≧\,4\,\)において成り立つことになります。
たまに「\(\,4\,\)以上の自然数において成り立つことを証明せよ。」といった問題もあるので補足しておきました。

⇒ 数学的帰納法(不等式の証明問題)

不等式でも数学的帰納法は使えます。

⇒ 確率の問題を数列の漸化式を応用して解く方法

確率で取り上げるべき項目ですが、良く融合問題として出題されます。
ほとんどの人は使えません。

数列の要点は以上です。

シグマを使える様になると二項展開なども分かり易くなるので、
数列まで学んだらもう一度高校数学を見直してみてください。

⇒ 共通テスト(センター試験)数学の勉強法と対策まとめ単元別攻略と解説

きっと、全体の理解が深まります。