部分分数分解を使って数列の和を求める方法

数列を和を求める方法はいろいろありますが、部分分数を使って数列の和を求めるのもその1つです。
和の公式が使える問題は公式にあてはめるだけです。覚えていれば誰でも求めることができます。
しかし、この手の問題は数学の基本となる作業で手を抜くと先に進めませんし、もちろん答を求めることもできません。

シグマ計算の説明のときにもお伝えしていますが、
改めて部分分数とはどういったものかを説明しておきます。

部分分数分解

例えば、

 \dfrac{1}{3\cdot 5}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)

のように1つの分数を2つまたはそれ以上の分数の和や差に分けることを部分分数分解といいます。

普通はこの過程を単に、「部分分数」とよんでいるだけです。
これを利用すると非常に楽な計算で和が求められる場合があります。

部分分数の例

例題1

次の和を求めよ。

 \displaystyle S= \dfrac{1}{1\cdot 3} + \dfrac{1}{3\cdot 5} +\dfrac{1}{5\cdot 7} +\cdots +\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}

第 \( k\) 項は

 \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)

と部分分数分解できますので

 \displaystyle S=\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}\\ \\  =\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)

ここでのポイントはこの次の式をどれだけ多く書き出すかです。
できるだけ多く書き出す方が消える部分が分かり易いですよ。

 \displaystyle S=\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)\\ \  =\dfrac{1}{2}\left\{\left( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right) + \left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\right)+\cdots + \left(\dfrac{1}{2n-3}-\dfrac{1}{2n-1}\right) + \left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right) \right\}\\ \\  =\dfrac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\\ \\  =\dfrac{1}{2}\left(\frac{(2n+1)-1}{2n+1}\right)\\ \\  =\dfrac{1}{2}\left(\frac{2n}{2n+1}\right)\\ \\  =\frac{n}{2n+1}

このように \( b_k=a_{k+1}-a_k\) が見つけられたとき、
分数に限らず「途中の項が打ち消し合って

 \displaystyle \sum_{k=1}^n b_k=\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_1

と和が求められます。
(これを『数列の和を求める原理』といいますがスルーしましょう。)

すぐには部分分数になるとは思えない問題

例題2

数列
 a_1=\dfrac{1}{1}\,,\,a_2=\dfrac{1}{1+2}\,,\,a_3=\dfrac{1}{1+2+3}\,,\,\cdots

の一般項 \(a_n\) を求めよ。
また、数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \( n\) 項までの和を求めよ。

この数列、変化しているのは分母だけです。

分母を見ると、
 1\,,\,1+2\,,\,1+2+3\,,\,\cdots \,,\,1+2+3+\cdots +(n-1)+n

第 \(n\) 番目の分母は、\(1\,~\, n\) までの自然数の和になっています。

よって、一般項は

 a_n=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}n(n+1)}=\hspace{5pt}\dfrac{2}{n(n+1)}\hspace{5pt}

さて、「数列 \( \{a_n\}\) の初項から第 \( n\) 項までの和」

 \displaystyle a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=\sum_{k=1}^{n} a_k

ですが、これは \( \Sigma\) のページで詳しく書いているので、目を通しておいて下さい。
⇒ 数列のシグマ(Σ)の意味と公式と計算方法

ここでは、上でも説明しているので『部分分数』の作り方について少し触れる程度にしておきます。

部分分数の作り方

例えば、

 \dfrac{1}{1\cdot 3} \rightarrow \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}

とすると等号は成立しません。

 \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3-1}{3}=\dfrac{2}{3}

です。
分子が1ではなく2になっています。
そのため値をそろえるために、全体を2で割っておく必要があります。

 \dfrac{1}{1\cdot 3}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}\right)
 \dfrac{1}{3\cdot 5}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)
 \dfrac{1}{5\cdot 7}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\right)

などのようにです。

これは分母のふたつの数の差だけ分子に出てきます。
一般的に書くと、

 \dfrac{1}{n(n+a)}=\dfrac{1}{a}\left( \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+a}\right)

となりますが、覚えるよりその場で部分分数の形を作り、
通分し直して係数を調整した方が分かり易いと思います。

分母が2つ、または3つの数の積で表されたときは
(わざわざ積の形で表してくれていることが多い)
『部分分数』を利用する方向で試して下さい。

ここでも分母は積の形になっています。

 a_n=\dfrac{2}{n(n+1)}

この右辺を部分分数の形にすると、
分母は \(n(n+1)\) なので分子を無視して変形すると

 \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-n}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n(n+1)}

であることを考慮して、

 a_n=\dfrac{2}{n(n+1)}=2\left( \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)

と変形できます。

よって、

 \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k\\ \\  =\sum_{k=1}^n 2\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)\\ \\  =2\sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)\\ \\  =2\left\{ \underline{\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right) + \left(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}\right) +\cdots +\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)} \right\}\\ \\  =2\left( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{n+1}\right)\\ \\  =2\left( \dfrac{n+1-1}{n+1}\right)=\dfrac{2n}{n+1}

 \( \underline{\hspace{30pt}}\) 部分の打ち消しをするために部分分数の和をとるんですよね。

分母が積で表されているときは部分分数を使う、というのを先ず頭に思い浮かべて下さい。
数学Ⅲでも良く出てきます。

センターや本試でも(大学によるけど)割と高い頻度で出題されていますよ。

数列の大きな項目の1つとして『部分分数』、記憶しておきましょう。

途中の項を消し合って和を求めているところは

⇒ 階差数列の公式と一般項を求める問題の解き方

と同じなんですけどね。なかなか踏み込んではいけないところでもあります。
それぞれが別物としてでも良いので使えるようになっておきましょう。

次は群数列を見ておきましょう。

⇒ 群数列問題を解くときのチェックポイントと解き方のコツ

ここはポイントがいくつかありますので、手を動かさないと糸口すら見えないことがあります。




PAGE TOP