２項間型の漸化式から数列の一般項の求め方です。
漸化式を満たす一般項の求め方はパターンがいくつかありますが、数学Ⅲで利用するものを除けばそれほど多くありません。
ここでは基本となる解法を説明しますので、使えるようになるまで練習問題に取り組んで見ましょう。
漸化式とは
漸化式を簡単な言葉で定義すると、
数列 \(\{a_n\}\) のいくつかの連続する項の関係式を、
数列 \(\{a_n\}\) の漸化式という。
となります。
高校生は厳密な定義なんて必要ありません。
【定義】（漸化式）
数列 \(\{a_n\}\) のいくつかの連続する項の値から、
それらの次の項の値を定める関係式
\( a_{n+1}=f(a_n)\hspace{7pt}\,\hspace{7pt}a_{n+2}=g(a_{n+1}\,,\,a_n)\)
などを数列 \(\{a_n\}\) の漸化式という。
これを簡単にいうと上の定義になります。
また、
この漸化式によって数列を定めることを漸化式による定義、または帰納的定義といいますが忘れてください。笑
今は漸化式から一般項を求める方法を覚えましょう。
２項間漸化式から数列の一般項を求める基本形
例題で説明していきますが２項間漸化式の解き方は機械的です。
\( a_1=1\,,\,a_{n+1}=3a_n+2 \hspace{7pt}(\,n\,≧\,1\,)\)
で定まる数列\(\,\{a_n\}\,\)の第\(\,n\,\)項を求めよ。
最も基本となる『漸化式』の１つです。
漸化式って何かというと、
数列\(\,\{a_n\}\,\)の第\(\,a_n\,\)項とその前後の項との関係を方程式として表したものです。
漸化式にはいくつか種類があり、解き方にパターン（手法）があります。
例えば、この問題は２項間（ \(a_n\) と \( a_{n+1}\) ）の漸化式です。
一番の基本となる漸化式ですが、
この漸化式の解き方が他のすべての漸化式の解き方の基本になると思っていてください。
漸化式の解き方の基本方針は、
『まとまりをつくり、等比数列の形を作る』
です。
いろいろな形で出題されますのですべてのパターンをやるとなるとかなりの量になりますが基本的な方法は同じです。
基本的ところは抑えておきますので参考にして下さい。
漸化式を変形することで一般項を求めます。
\(\hspace{10pt} a_{n+1}=\color{blue}{3}a_n+2\)
という漸化式でまとまりを作るには、
\( \underline{\color{red}{a_{n+1}-\alpha}}=\color{blue}{3}\,(\underline{\,\color{red}{a_n-\alpha}\,})\)
とすれば良いのですが、
この\(\,\alpha\,\)の探し方は、２つあります。
\(\begin{eqnarray}
a_{n+1}-\alpha&=&3\,(\,a_n-\alpha\,)\\
a_{n+1}-\alpha&=&3a_n-3\alpha\\
a_{n+1}&=&3a_n-2\alpha
\end{eqnarray}\)
と展開し、もとの漸化式
\(\hspace{10pt} a_{n+1}=\color{blue}{3}\,a_n+2\)
と比較して、
\( -2\alpha=2\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt}\alpha=-1\)
から
\(\hspace{10pt} \color{red}{a_{n+1}+1}=\color{blue}{3}(\,\color{red}{a_n+1}\,)\)
とする方法が1つ。
もう一つは、漸化式\(\,a_{n+1}=3a_n+2\,\)において
\(\hspace{10pt} \color{red}{a_{n+1}}=\color{red}{a_n}=\color{red}{\alpha} \)
とおいて
\(\hspace{10pt} \color{red}{\alpha}=3\,\color{red}{\alpha}+2 \)
から\(\,\alpha=-1\,\)とする方法。
「 \( \color{red}{\alpha=3\alpha+2} \) 」を特性方程式といいますが、
言葉より今は方法を覚えて下さい。
変形ができたら漸化式を解きます。
\( \underline{a_{n}+1}=b_{n}\)
とおくと、
\( \underline{\underline{a_{n+1}+1}}=b_{n+1}\)
となります。
（添え字はともに変わります。）
すると、
\( \underline{\underline{a_{n+1}+1}}=3(\underline{a_n+1})\)
は
\(\hspace{10pt} b_{n+1}=3b_n\)
となりこの\(\,\{b_n\}\,\)は等比数列を表します。
ここまで来たとき、大切なのが数列 \(\{a_n\}\) については一旦おいといて、
数列\(\,\{b_n\}\,\) を求めることに専念することです。
あれもこれもは一度には解決しないので一旦数列 \(\,\{a_n\}\,\) のことは忘れます。
これができないと多段階の変形のある漸化式はなかなか解けるようになりません。
数列\(\,\{b_n\}\,\)は、
初項 \( b_1\,=a_1+1\,=1+1\,=2\)
公比 \(\,3\,\)
の等比数列です。
よって
\(\hspace{10pt} b_n=2\cdot 3^{n-1}\)
となります。
ここで数列\(\,\{a_n\}\,\)に戻します。
\(\hspace{10pt} a_n+1=b_n\)
とおいていたから
\(\begin{eqnarray}
a_n&=&b_n-1\\
&=&\underline{ 2\cdot 3^{n-1}-1 }
\end{eqnarray}\)
このように等比数列の形にすることで解決する漸化式は多いの必ず覚えておきましょう。
漸化式や数列の一般項を求める方法の１つに、
推測 →『数学的帰納法』
というのもありますが、
いつでも推測できるとは限りませんので漸化式の基本的な解き方は確実にマスターしておいて下さい。
３項間については、センター試験で『出た！』と大騒ぎしたことがありますが、２項間の解き方で解けるものでした。
３項間の漸化式も解ける方が良いに決まっていますが、２項間の漸化式の解き方をマスターして、それからパターンを１つでも増やすようにしましょう。
他のパターンも説明しますが、この２項間の漸化式が基本になりますのでいくつか例題をあげておきます。
先ずはこのパターンを使えるようになっておきましょう。
次の問題にいく前にちょっとまとめます。
２項間漸化式の解き方まとめ
\(p\,,\,q\,\)を定数として
\(\hspace{10pt} a_1=a\\
a_{n+1}=pa_n+q\hspace{7pt} (n=1\,,\,2\,,\,\cdots)\)
の漸化式で定まる数列の一般項は
\(\hspace{10pt} a_{n+1}-\alpha=p(\,a_n-\alpha)\)
と変形できて、
\(\{a_n-\alpha\}\) が公比 \( p\) の等比数列となる
ということを利用して求めます。
\(\,\alpha\,\)は特性方程式\(\,\alpha=p\alpha+q\,\)を満たす値です。
階差数列のパターンは別に取り上げたいので\(\, p\neq 1\,\)としておきます。
\( p=1\,\)とすると
\(\hspace{10pt} a_{n+1}=a_n+q\\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} a_{n+1}-a_n=q\)
と階差数列になるので解法が少し変わるんですよ。
ところで、２項間の漸化式は違う解き方もできます。
しかし、特性方程式からの変形パターンを先ずは覚えましょう。
２項間漸化式から一般項を求める練習問題
\( a_1=5\,,\,a_{n+1}=3a_n-4\hspace{7pt}\)\( (\,n=1\,,\,2\,,\,3\,,\cdots\,)\)
で定められる数列 \( \{a_n\}\) の一般項を求めよ。
漸化式の変形からです。
\(\alpha=3\alpha-4\) から \( \alpha =2\) なので
\(\hspace{10pt} a_{n+1}=3a_n-4\\
\Leftrightarrow a_{n+1}-2=3(a_n-2) ･･･①\)
よって\(\,\{a_n-2\}\,\)は
初項が \( a_1-2\,=5-2\,=3\)
公比が \(\,3\,\)
の「等比数列」なので
\(\hspace{10pt} a_n-2=3\cdot 3^{n-1}=3^n\)
これから
\(\hspace{10pt} a_n=\underline{ 3^n+2 }\)
慣れていないうちは \( a_n-2=b_n\) と一旦おいて処理して下さい。
①の変形過程は特性方程式を解いたとか、どうやって変形したかは書かなくて良いです。
「たまたま変形できた」としていきなり①の形に変形しても大丈夫です。
もちろん「たまたま変形できた」とは書かなくて良いですよ。
いや、書かない方が良いです。笑
次の漸化式を満たす数列 \( \{a_n\}\) の一般項を求めよ。
\(\hspace{10pt} a_1=5 , 3a_{n+1}=2a_n+4\)
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
3a_{n+1}&=&2a_n+4\\
a_{n+1}&=& \frac{2}{3}a_n+ \frac{4}{3}
\end{eqnarray}\)
とすれば今までと同じです。
\(\hspace{10pt} \alpha=\displaystyle \frac{2}{3}\alpha +\displaystyle \frac{4}{3}\\ \\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} 3\alpha=2\alpha+4\\ \\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} \alpha=4\)
これから
\(\hspace{10pt} 3a_{n+1}=2a_n+4\\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} a_{n+1}=\displaystyle \frac{2}{3}a_n+\displaystyle \frac{4}{3}\\ \\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} a_{n+1}-4=\displaystyle \frac{2}{3}\left(a_n-4\right)\)
※
青字部分は解答上に無くて良いです。
ここで数列 \( \{a_n-4\}\) は
初項が \( a_1-4=5-4=1\)
公比が \(\displaystyle \frac{2}{3}\)
の「等比数列」なので
\( a_n-4=1\cdot \left(\displaystyle \frac{2}{3}\right)^{n-1}\)
よって、\(\displaystyle a_n=\underline{ \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+4 }\)
これくらいで少しは慣れてきたでしょう。
他の漸化式も少し手を加えるとこの形になるものが多いので、
「変形して等比数列の形」
このパターンだけは覚えておきましょう。
等比数列に必要な情報は「初項」と「公比」です。
「要点」の中に漸化式のパターン集があります。
普通は誘導がつくので上の基本形を応用すれば良いのですが、知っておいても損はありませんので参考にして下さい。