条件付き確率の公式は定理そのものなので問題の解き方として利用するのは難しいかもしれません。
また、条件付き確率そのものが確率の乗法定理と見分けにくいということもあります。
分かりやすい見分け方がありますので参考にして下さい。
条件付き確率の定義
【定義】
ある試行にともなう２つの事象Ａ，Ｂに関し、Ａが起こったときにＢが起こる確率を、
Ａが起こったときのＢの起こる条件付き確率 といい、
\( P_A(B)\)
で表す。
これは「Ｂの起こる確率」のことです。
「ＡかつＢの起こる確率」は後の「確率の乗法定理」で説明します。
例えば、１０本のくじがあり、２本が当たりだとします。
２人が続けてくじを引くとき、
１人目が当たりを引く事象をＡ、
２人目が当たりを引く事象をＢ、
とするとＢが起こるのは、
「１人目が当たりを引いて、Ｂが起こる」
「１人目が外れを引いて、Ｂが起こる」
のふた通りが考えられます。
このときに「Ｂが起こる確率は？」と聞かれると紛らわしいですよね。
単に「Ｂが起こる確率は？」と問われたら両方の確率の和になります。
ただ、ここでは条件付き確率について考えるので、条件をつけます。
「Ａが起こったときのＢの起こる条件付き確率」は
Ａが起こった時点でくじそのものと、当たりくじは１本減っているので、
\(\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{9}\)
Ａが起こった「後に」Ｂが起こる確率なので、
「Ａが起こったときにＢが起こる確率は？」
と聞かれてもＢが起こる条件付き確率のことです。
同じＢが起こる確率でも、
「Ａが起こらなかったときのＢの起こる条件付き確率」
Ａが起こらなかった時点でくじそのものは１本減り、当たりくじはそのままで、
\(\displaystyle P_{\bar{A}}(B)=\frac{2}{9}\)
は違いますよね？
同じＢが起こる確率でもその前の条件で違う値になります。
これが条件付き確率です。
次に確率の乗法定理を見てみましょう。
ここで見分けがつかなくなるのですが、先ずは定理を見ておきましょう。
確率の乗法定理
【定理】
一般に２つの事象Ａ，Ｂについて、Ａ，Ｂのいずれもが起こる事象、
すなわち、Ａ，Ｂの積事象 \( A\cap B\) の確率 \( P(A\cap B)\) と、
\( P(A) , P_{A}(B)\) との間には
\( \large{\color{red}{P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)}}\)
が成り立つ。
この定理は「ＡとＢがともに起こる確率」です。
（Ａが起こる確率）×（Ａが起こったときのＢの起こる条件付き確率）
という意味なので間違えないで下さい。
１０本中当たりが２本入っているくじを引くとき、
２人とも当たりを引く確率は、
「１人目が当たりを引き、さらに、２人目も当たりを引く」
\( P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A (B)=\displaystyle \frac{1}{5}\cdot \displaystyle \frac{1}{9}=\displaystyle \frac{1}{45}\)
ということで条件付き確率とは違うのが分かるでしょう。
２つの試行Ａ，Ｂが独立なときは
\( P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)
という「独立試行の乗法定理」が成り立ちます。
条件付き確率を求める公式
確率の乗法定理
\( P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)\)
において、
\( P(A\cap B)\) はＡ，Ｂがともに起こる確率
\( P(A)\) はＡが起こる確率
\( P_A(B)\) はＡが起こったときのＢの起こる条件付き確率
を表していて、
\(\displaystyle \color{red}{P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}} \hspace{5pt} (P(A)\neq 0)\)
という公式が成り立ちます。
これは「Ｂの起こる確率」で、条件付き確率を求めるときはこの公式を使います。
（後で説明しますが、ベン図を使えるようになればこの公式は必要ありません。）
確率の乗法定理の式と同じものと考えて良いのでどちらかを覚えておけば良いのですが、
「乗法定理」を使う問題か「条件付き確率」を求める問題なのか、
の見分けができていないようです。
確かに問題文の読み方によっては難しいかもしれませんが、目安になる言葉があるので見ておきましょう。
条件付き確率の見分け方
おおよその問題では「条件付き確率を求めよ。」と書いてくれているので分かりやすいです。
条件付き確率の求め方は後で簡単な方法を教えますので、ちょっとだけ問題文から見分けられるようになっておきましょう。
今までの説明でだいたい見当がついているかもしれませんが、
「さらに」とか「かつ」を問題文に加えても意味が通じる場合は「乗法定理」です。
「Ａが起こり、さらに、Ｂが起こる確率を求めよ。」
「ＡかつＢが起こる確率を求めよ。」
などの場合はＢだけが起こる確率を聞いているのではないので、条件付き確率ではありません。
一方で、
「Ａが起こった『ときの』Ｂの起こる確率を求めよ。」
の『ときの』は、『後に』または『Ａが起こった中で』と置きかえることができます。
さらに、「Ｂだけが起こる確率」と読み取れるので「条件付き確率」です。
つまりは、２つの事象の積事象の確率か、１つの事象の確率かを問題文から読み取るということです。
条件付き確率を求める問題には
「Ａが起こった『ときの』Ｂの起こる確率」
分かりやすい問題では
「Ａが起こったときのＢの起こる『条件付き確率』」
となっているので「かつ」や「さらに」が入らないことを確認して条件付き確率を求めれば良いのです。
問題の中で見分け見ましょう。
白玉３個と赤球２個が入っている袋から、球を１個ずつもとに戻さないで取り出すことを繰り返すとき、次の確率を求めよ。
（１）１回目も２回目も白玉を取り出す確率
（２）２回目に白玉を取り出したとき、１回目も白玉を取り出していた確率
（３）２回目に白玉を取り出したとき、３回目に赤球を取り出す確率
この問題、答は後回しにして、
「確率の乗法定理」か「条件付き確率」かだけを見分けておきましょう。
（１）は「１回目も２回目も」なので乗法定理です。
いいかえると「１回目『かつ』２回目が白玉」となります。
（２）は「２回目に白玉を取り出した『とき』」という条件がついた、「１回目に白玉を取り出していた確率」です。
順番が逆のように見えますが、
「２回目白を取り出す」というのは、
「１回目白⇒２回目白」
「１回目赤⇒２回目白」
の場合がありますが、
「２回目が白の『中で』、１回目も白」
という条件付き確率になります。
（３）は「２回目に白玉を取り出した『とき』」という条件がついた、「３回目に赤球を取り出す確率」です。
「２回目白の『後で』、３回目赤球を取り出す確率」
と読み取ることができます。
答を出す方法は次で詳しく説明します。
計算過程も見ると乗法公式が必要無いことも分かりますので見ておいてください。
公式とベン図を使った簡単な条件付き確率の計算方法、求め方の説明です。
場合分けをしっかりすれば、確率計算はできるようになりますよ。