条件付き確率の公式を使う問題と公式を使わない計算の方法

条件付き確率の公式を使う問題の見分け方は説明してありますので、ここでは公式を使った実際の問題を解いてみましょう。
公式を使わずに答を出す計算方法もあるので説明しておきます。
公式を使っていなくても答はおなじですし、簡単だけど結局は公式そのものの計算だということも分かるでしょう。

条件付き確率の意味と公式

問題は「条件付き確率の見分け方」のものと同じです。

条件付き確率ですが、確率の乗法定理を使います。
まずは用語の確認をしておきます。

条件付き確率：

事象Ａが起こった（確率　\(P(A)\)　）という条件のもとで事象Ｂの起こる確率を、
Ａが起こったときのＢの起こる条件付き確率といって　\( P_A (B)\)　で表します。

これは一般に、

　\(\displaystyle P_A(B)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}\)　･･･①

で求めることができます。
どういうことかと言うと、条件付き確率　\( \color{red}{P_A (B)}\)　は、

　「事象Ａを全事象と考えたときの、事象　\( \color{red}{A\cap B}\)　の起こる確率」

ということです。

　（Ａに対する　\( A\cap B\)　の比率）
この意味を理解しておくことが重要なのですが、計算出来ればまずは良しとします。

条件付き確率の変形

ここは変形しているだけなので飛ばしてかまいません。

さて、定理、公式が使えれば良いのですが、ここが少し分かりにくいところなのでもう少し説明します。

例えば、４０人のクラスで、
　部活動に入っている男子が１３人、入っていない男子は６人。
　部活動に入っている女子が１４人、入っていない女子は７人。
の場合で見てみます。

男子を選ぶという事象をＡ、部活に入っているという事象をＢとすると、
男子は４０人中１９人なので

　\(\displaystyle P(A)=\frac{\color{blue}{13}+\color{green}{6}}{40}=\frac{19}{40}\)

部活に入っている確率は、男女合わせて２７人なので、

　\(\displaystyle P(B)=\frac{\color{blue}{13}+\color{red}{14}}{40}=\frac{27}{40}\)

ですが、
選んだ人が男子であったとき、部活に入っている確率　\( P_A(B)\)　は男子１９人中の１３人なので、

　\(\displaystyle P_A(B)=\frac{\color{blue}{13}}{\color{blue}{13}+\color{green}{6}}=\frac{13}{19}\)

です。

選んだ人が部活に入っている人で、男子であったときの確率　\( P_B(A)\)は、部活に入っている人２７人中１３人なので、

　\(\displaystyle P_B(A)=\frac{\color{blue}{13}}{\color{blue}{13}+\color{red}{14}}=\frac{13}{27}\)

表にすると

少しはわかりやすくなりますか？

\( P(A)\)　：男子は４０人中１９人
\( P(B)\)　：部活に入っているのは４０人中２７人
\(P_A(B)\)　：男子で部活に入っているのは１９人中１３人
\( P_B(A)\)　：部活に入っている男子は２７人中１３人

ということです。

乗法定理で確認すると、

　\(\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)=\frac{19}{40}\cdot \frac{13}{19}=\frac{13}{40}\)

　\(\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P_B(A)=\frac{27}{40}\cdot \frac{13}{27}=\frac{13}{40}\)

と同じ結果になります。

条件付き確率をベン図で解く

ベン図（要素ではなく要素の個数を書き込んであります）で説明すると、

交わりの部分　\( n(A\cap B)=13\)　を　\( n(A)=19\)　で割ったものが

　\(\displaystyle P_A(B)=\frac{13}{19}\)

交わりの部分　\( n(A\cap B)=13\)　を　\( n(B)=27\)　で割ったものが

　\(\displaystyle P_B(A)=\frac{13}{27}\)

では、問題を解いて行きます。もう一度問題を書き出しておきます。

「白玉３個、赤球２個」の全体５個から、続けて２個取り出す。

（１）これは簡単です。「も」なので確率の乗法定理です。
１回目白となる確率と、２回目も白となる確率の積で、

　\(\displaystyle \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{10}\)

（２）条件付き確率です。
２回目に白玉を取り出す事象をＢ、１回目に白玉を取り出す事象をＡとすると、
「　\( P_B(A)\)　を求めよ。」、ということですね。

　\( P(B)\)　は２回目白を取り出す確率で、
「１回目白」かつ「２回目白」
の場合と、
「１回目赤」かつ「２回目白」
の場合があります。

このことから、

　\( P(B)=\displaystyle \frac{3}{5}\cdot \displaystyle \frac{2}{4}+\displaystyle \frac{2}{5}\cdot \displaystyle \frac{3}{4}=\displaystyle \frac{3}{5}\)

（１）から　\( P(A\cap B)\)　は計算してあるので、公式を使うと、

　\( P_B(A)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{10}}{\displaystyle \frac{3}{5}}=\displaystyle \frac{3}{10} \div \displaystyle \frac{3}{5}=\displaystyle \frac{3}{10}\times \displaystyle \frac{5}{3}=\displaystyle \frac{1}{2}\)

（３）２回目に白玉を取り出す事象をＢ、３回目に赤玉を取り出す事象をＣとすると、
「　\( P_B(C)\)　を求めよ」ということです。

　\( P(B)\)　はでていますので、\(P(B\cap C)\)　を出す必要があります。

　\( P(B\cap C)\)　は、「２回目白かつ３回目赤」なので、

　「１回目→２回目→３回目」が、
　「白→白→赤」または「赤→白→赤」
の確率で、

　\( P(B\cap C)=\displaystyle \frac{3}{5}\cdot \displaystyle \frac{2}{4}\cdot \displaystyle \frac{2}{3}+\displaystyle \frac{2}{5}\cdot \displaystyle \frac{3}{4}\cdot \displaystyle \frac{1}{3}=\displaystyle \frac{3}{10}\)

よって、

　\( P_B(C)=\displaystyle \frac{P(B\cap C)}{P(B)}=\displaystyle \frac{3}{10} \div \displaystyle \frac{3}{5}=\displaystyle \frac{3}{10} \times \displaystyle \frac{5}{3}=\displaystyle \frac{1}{2}\)

条件付き確率を求める公式を利用すれば計算はできると思いますが、ベン図を使うと公式は必要ありませんよ。

「交わり部分を条件がつく部分で割る」

それだけです。

⇒　条件付き確率の公式と乗法定理との分かりやすい見分け方

こちらからのつながりですので確認しておくといいでしょう。