三角関数で覚えにくい公式で「積を和(差)に直す公式」があります。
その覚えにくい公式のもう一つです。
今度は逆に「和または差を積に直す公式」ですが、これも覚えなくて良いです。
どうしても覚えたい場合、語呂合わせも良いですが、加法定理を確実に書き出すことを覚えた方が良いですね。

三角関数の和(差)を積に直す公式

いきなりですが、公式を並べておきます。

 \(\displaystyle \color{red}{\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}\)  ・・・①

 \(\displaystyle \color{red}{\sin A-\sin B=2\sin \frac{A-B}{2} \cos \frac{A+B}{2}}\)  ・・・②

 \(\displaystyle \color{red}{\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}\)  ・・・③

 \(\displaystyle \color{red}{\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}}\)  ・・・④

これらを見て、すぐに覚える気がなくなると思いますが?
「よし、覚えよう」という人はものすごく意欲的で理系科目も余裕でしょう。
覚えたくないとすぐに感じる方が普通です。

でも、落ち着いてみてください

加法定理を覚えているでしょう?

 \sin\,(\,\alpha+\beta\,)=\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin \beta  ・・・⑤

 \sin\,(\,\alpha-\beta\,)=\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin \beta  ・・・⑥

 \cos\,(\,\alpha+\beta\,)=\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin \beta  ・・・⑦

 \cos\,(\,\alpha-\beta\,)=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin \beta  ・・・⑧

これは覚えていないならすぐに覚えて下さい。
数学を暗記科目としてとらえて欲しくはありませんが、
これを覚える気がないなら数学Ⅱを受験科目からはずした方が良いです。

①の右辺を見てみると

 \( \sin \alpha \cos \beta\)

と似ています。

これは加法定理の⑤⑥からしかでてこない形です。
だから⑤+⑥で出てくる公式、と考えれば後は楽です。

証明しておきます。

三角関数の和や差を積に直す公式の証明

 積を和(差)に直す公式

 \sin\alpha \cos\beta=\dfrac{1}{2}\{\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\}

 \cos\alpha \cos\beta=\dfrac{1}{2}\{\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\}

 \sin\alpha \sin\beta=\dfrac{1}{2}\{\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\}

これらを変形した次の形

 2\sin\alpha \cos\beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)

 2\cos\alpha \cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)

 2\sin\alpha \sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)

でも良いですが、これを利用すると早いです。

例えば、

 \( 2\sin\color{red}{\alpha }\cos\color{red}{\beta}=\sin(\color{red}{\alpha+\beta})+\sin(\color{red}{\alpha-\beta})\)

において、
 \( \color{red}{\alpha+\beta}=A , \color{red}{\alpha-\beta}=B\)
とおくと
 \(\displaystyle A+B=2\alpha \Leftrightarrow  \color{red}{\alpha}=\frac{A+B}{2}\) 
 \(\displaystyle A-B=2\beta \Leftrightarrow  \color{red}{\beta}=\frac{A-B}{2}\)
なので即座に

 \(\displaystyle 2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}= \sin A+\sin B\\ \\
\displaystyle \Leftrightarrow  \sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}  ・・・①\)

が導けます。

②は①で \( B\) の代わりに \( -B\) を代入すれば終わりです。

③、④も同様に導けます。

積を和(差)に直す公式を覚えていなかったらどうするか?
「加法定理」から変形して見ましょう。

加法定理は

 \(\sin\,(\,\alpha+\beta\,)=\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin \beta\)  ・・・⑤
 \(\sin\,(\,\alpha-\beta\,)=\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin \beta\)  ・・・⑥
 \(\cos\,(\,\alpha+\beta\,)=\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin \beta\)  ・・・⑦
 \( \cos\,(\,\alpha-\beta\,)=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin \beta\)  ・・・⑧

⑤+⑥から

 \sin\,(\,\alpha+\beta\,) + \sin\,(\,\alpha-\beta\,)\\ \\  =(\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin \beta)+(\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin \beta)\\ \\  =2\sin\alpha \cos\beta

 \(∴ \sin\,(\,\alpha+\beta\,) + \sin\,(\,\alpha-\beta\,)=2\sin\alpha \cos\beta\)  ・・・①’
ここで
 \( \alpha+\beta=A\,,\,\alpha-\beta=B\)

とおくと
 \(\displaystyle \sin A+ \sin B=2\sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}\)  ・・・①

①において

 \(\displaystyle \sin A+ \sin (-B)=2\sin\frac{A+(-B)}{2} \cos\frac{A-(-B)}{2}\\ \\
\displaystyle \Leftrightarrow   \sin A- \sin B=2\sin\frac{A-B}{2} \cos\frac{A+B}{2}  ・・・②\)

⑦+⑧から

 \cos\,(\,\alpha+\beta\,) + \cos\,(\,\alpha-\beta\,)\\ \\  =(\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin \beta)+(\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin \beta)\\ \\  =2\cos\alpha \cos\beta

 \(∴ \cos\,(\,\alpha+\beta\,) + \cos\,(\,\alpha-\beta\,)=2\cos\alpha \cos\beta\)  ・・・③’

ここで

 \( \alpha+\beta=A\,,\,\alpha-\beta=B\)

とおくと

 \(\displaystyle \cos A+ \cos B=2\cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}\)  ・・・③

⑦-⑧から

 \cos\,(\,\alpha+\beta\,) - \cos\,(\,\alpha-\beta\,)\\ \\  =(\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin \beta)-(\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin \beta)\\ \\  =2\cos\alpha \cos\beta

 \(∴ \cos\,(\,\alpha+\beta\,) – \cos\,(\,\alpha-\beta\,)=-2\sin\alpha \sin\beta\)  ・・・④’

ここで
 
 \( \alpha+\beta=A\,,\,\alpha-\beta=B\)

とおくと

 \(\displaystyle \cos A- \cos B=-2\sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}\)  ・・・④

証明終わりです。

何が覚えにくくしているかというと、

 \( \color{red}{\alpha+\beta=A} , \color{red}{\alpha-\beta=B}\)

と置換した形で公式化しているからです。

①’③’④’の形で覚えてもいいと思いますよ。
というと加法定理から導いてもさほど変わらないでしょう?

だから無理に覚えなくて良いと言っているんです。

公式の応用例題

数学Ⅱの範囲での応用例題です。

例題

次の値を求めよ。

 \(\cos 20^{\circ}+\cos 140^{\circ}+\cos 260^{\circ}\)

いきなり正解への道筋が見えるわけではありませんよ。
簡単に見つけられる問題で練習しても良いのですが、
探して欲しいのです。

 \(\displaystyle 20+140=160 , \frac{160}{2}=80\)

 \(\displaystyle 140-20=120 , \frac{120}{2}=60\)

 \(\displaystyle 20+260=280 , \frac{280}{2}=140\)

 \(\displaystyle 260-20=240 , \frac{240}{2}=120\)

 \(\displaystyle 140+260=400 , \frac{400}{2}=200\)

 \(\displaystyle 260-140=120 , \frac{120}{2}=60\)

どれを組み合わせても(差)の方に有名角は出てきそうです。

 \cos 20^{\circ}+\cos 140^{\circ}+\cos 260^{\circ}\\ \\  =\cos 20^{\circ}+(\cos 260^{\circ}+\cos 140^{\circ})\\ \\  =\cos 20^{\circ}+\left( 2\cos \dfrac{260^{\circ}+140^{\circ}}{2} \cos \dfrac{260^{\circ}-140^{\circ}}{2}\right)\\ \\  =\cos 20^{\circ}+\left( 2\cos \dfrac{400^{\circ}}{2} \cos \dfrac{120^{\circ}}{2}\right)\\ \\  =\cos 20^{\circ}+\left( 2\cos 200^{\circ} \cos 60^{\circ}\right)\\ \\  =\cos 20^{\circ}+\left( 2\cos 200^{\circ} \times \dfrac{1}{2}\right)\\ \\  =\cos 20^{\circ}+\cos 200^{\circ}\\ \\  =\cos 20^{\circ}+\cos (180^{\circ}+20^{\circ})\\ \\  =\cos 20^{\circ}-\cos 20^{\circ}=0

どの組合せからでも同じですよ。

もう一つの覚えにくい公式

⇒ 三角関数の積を和または差に直す公式とその証明と応用

どちらも加法定理からです。