三角関数で覚えにくい公式で「積を和（差）に直す公式」があります。
その覚えにくい公式のもう一つです。
今度は逆に「和または差を積に直す公式」ですが、これも覚えなくて良いです。
どうしても覚えたい場合、語呂合わせも良いですが、加法定理を確実に書き出すことを覚えた方が良いですね。
三角関数の和（差）を積に直す公式
いきなりですが、公式を並べておきます。
\(\displaystyle \color{red}{\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}\) ･･･①
\(\displaystyle \color{red}{\sin A-\sin B=2\sin \frac{A-B}{2} \cos \frac{A+B}{2}}\) ･･･②
\(\displaystyle \color{red}{\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}\) ･･･③
\(\displaystyle \color{red}{\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}}\) ･･･④
これらを見て、すぐに覚える気がなくなると思いますが？
「よし、覚えよう」という人はものすごく意欲的で理系科目も余裕でしょう。
覚えたくないとすぐに感じる方が普通です。
でも、落ち着いてみてください
加法定理を覚えているでしょう？
\( \sin\,(\,\alpha+\beta\,)=\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin \beta\) ･･･⑤
\( \sin\,(\,\alpha-\beta\,)=\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin \beta\) ･･･⑥
\( \cos\,(\,\alpha+\beta\,)=\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin \beta\) ･･･⑦
\( \cos\,(\,\alpha-\beta\,)=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin \beta\) ･･･⑧
これは覚えていないならすぐに覚えて下さい。
数学を暗記科目としてとらえて欲しくはありませんが、
これを覚える気がないなら数学Ⅱを受験科目からはずした方が良いです。
①の右辺を見てみると
\( \sin \alpha \cos \beta\)
と似ています。
これは加法定理の⑤⑥からしかでてこない形です。
だから⑤＋⑥で出てくる公式、と考えれば後は楽です。
証明しておきます。
三角関数の和や差を積に直す公式の証明
積を和（差）に直す公式
\( \sin\alpha \cos\beta=\displaystyle \frac{1}{2}\{\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\}\)
\( \cos\alpha \cos\beta=\displaystyle \frac{1}{2}\{\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\}\)
\( \sin\alpha \sin\beta=\displaystyle \frac{1}{2}\{\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\}\)
これらを変形した次の形
\( 2\sin\alpha \cos\beta=\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\)
\( 2\cos\alpha \cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\)
\( 2\sin\alpha \sin\beta=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\)
でも良いですが、これを利用すると早いです。
例えば、
\( 2\sin\color{red}{\alpha }\cos\color{red}{\beta}=\sin(\color{red}{\alpha+\beta})+\sin(\color{red}{\alpha-\beta})\)
において、
\( \color{red}{\alpha+\beta}=A , \color{red}{\alpha-\beta}=B\)
とおくと
\(\displaystyle A+B=2\alpha \Leftrightarrow \color{red}{\alpha}=\frac{A+B}{2}\)
\(\displaystyle A-B=2\beta \Leftrightarrow \color{red}{\beta}=\frac{A-B}{2}\)
なので即座に
\(\displaystyle 2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}= \sin A+\sin B\\ \\
\displaystyle \Leftrightarrow \sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} ･･･①\)
が導けます。
②は①で \( B\) の代わりに \( -B\) を代入すれば終わりです。
③、④も同様に導けます。
積を和（差）に直す公式を覚えていなかったらどうするか？
「加法定理」から変形して見ましょう。
加法定理は
\(\sin\,(\,\alpha+\beta\,)=\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin \beta\) ･･･⑤
\(\sin\,(\,\alpha-\beta\,)=\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin \beta\) ･･･⑥
\(\cos\,(\,\alpha+\beta\,)=\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin \beta\) ･･･⑦
\( \cos\,(\,\alpha-\beta\,)=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin \beta\) ･･･⑧
⑤+⑥から
\( \sin\,(\,\alpha+\beta\,) + \sin\,(\,\alpha-\beta\,)\\ \\
=(\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin \beta)+(\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin \beta)\\ \\
=2\sin\alpha \cos\beta\)
\(∴ \sin\,(\,\alpha+\beta\,) + \sin\,(\,\alpha-\beta\,)=2\sin\alpha \cos\beta\) ･･･①’
ここで
\( \alpha+\beta=A\,,\,\alpha-\beta=B\)
とおくと
\(\displaystyle \sin A+ \sin B=2\sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}\) ･･･①
①において
\(\displaystyle \sin A+ \sin (-B)=2\sin\frac{A+(-B)}{2} \cos\frac{A-(-B)}{2}\\ \\
\displaystyle \Leftrightarrow \sin A- \sin B=2\sin\frac{A-B}{2} \cos\frac{A+B}{2} ･･･②\)
⑦+⑧から
\( \cos\,(\,\alpha+\beta\,) + \cos\,(\,\alpha-\beta\,)\\ \\
=(\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin \beta)+(\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin \beta)\\ \\
=2\cos\alpha \cos\beta\)
\(∴ \cos\,(\,\alpha+\beta\,) + \cos\,(\,\alpha-\beta\,)=2\cos\alpha \cos\beta\) ･･･③’
ここで
\( \alpha+\beta=A\,,\,\alpha-\beta=B\)
とおくと
\(\displaystyle \cos A+ \cos B=2\cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}\) ･･･③
⑦-⑧から
\( \cos\,(\,\alpha+\beta\,) – \cos\,(\,\alpha-\beta\,)\\ \\
=(\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin \beta)-(\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin \beta)\\ \\
=2\cos\alpha \cos\beta\)
\(∴ \cos\,(\,\alpha+\beta\,) – \cos\,(\,\alpha-\beta\,)=-2\sin\alpha \sin\beta\) ･･･④’
ここで
\( \alpha+\beta=A\,,\,\alpha-\beta=B\)
とおくと
\(\displaystyle \cos A- \cos B=-2\sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}\) ･･･④
証明終わりです。
何が覚えにくくしているかというと、
\( \color{red}{\alpha+\beta=A} , \color{red}{\alpha-\beta=B}\)
と置換した形で公式化しているからです。
①’③’④’の形で覚えてもいいと思いますよ。
というと加法定理から導いてもさほど変わらないでしょう？
だから無理に覚えなくて良いと言っているんです。
和を積に直す公式の応用例題
数学Ⅱの範囲での応用例題です。
次の値を求めよ。
\(\cos 20^{\circ}+\cos 140^{\circ}+\cos 260^{\circ}\)
いきなり正解への道筋が見えるわけではありませんよ。
簡単に見つけられる問題で練習しても良いのですが、
探して欲しいのです。
\(\displaystyle 20+140=160 , \frac{160}{2}=80\)
\(\displaystyle 140-20=120 , \frac{120}{2}=60\)
\(\displaystyle 20+260=280 , \frac{280}{2}=140\)
\(\displaystyle 260-20=240 , \frac{240}{2}=120\)
\(\displaystyle 140+260=400 , \frac{400}{2}=200\)
\(\displaystyle 260-140=120 , \frac{120}{2}=60\)
どれを組み合わせても（差）の方に有名角は出てきそうです。
\( \cos 20^{\circ}+\cos 140^{\circ}+\cos 260^{\circ}\\ \\
=\cos 20^{\circ}+(\cos 260^{\circ}+\cos 140^{\circ})\\ \\
=\cos 20^{\circ}+\left( 2\cos \displaystyle \frac{260^{\circ}+140^{\circ}}{2} \cos \displaystyle \frac{260^{\circ}-140^{\circ}}{2}\right)\\ \\
=\cos 20^{\circ}+\left( 2\cos \displaystyle \frac{400^{\circ}}{2} \cos \displaystyle \frac{120^{\circ}}{2}\right)\\ \\
=\cos 20^{\circ}+\left( 2\cos 200^{\circ} \cos 60^{\circ}\right)\\ \\
=\cos 20^{\circ}+\left( 2\cos 200^{\circ} \times \displaystyle \frac{1}{2}\right)\\ \\
=\cos 20^{\circ}+\cos 200^{\circ}\\ \\
=\cos 20^{\circ}+\cos (180^{\circ}+20^{\circ})\\ \\
=\cos 20^{\circ}-\cos 20^{\circ}=0\)
どの組合せからでも同じですよ。
覚えにくい公式の一つ
どちらも加法定理からです。
覚えたつもりでも忘れてしまうので、たまに総復習しておきましょう。