センター試験数学1Ａ(2020年度)の第3問、場合の数と確率の解説です。
〔１〕は正しいものを選ぶ問題ですがそれぞれ確率を求めた方が確実です。
〔２〕は条件を満たす場合を書き出せるかどうかがポイントになります。
計算量はたいしたことはありませんのでさっさと片づけましょう。
センター試験2020年度数学\(\,\mathrm{ⅠＡ}\,\)の問題です。
第３問場合の数と確率
〔１〕はいろいろな確率についての正しい記述を選ぶ問題。
〔２〕はコインを５回投げるゲームの問題す。
〔１〕いろいろな確率計算
正しい確率が書かれている番号を２つ探します。
４つの選択肢から２つ選ぶので勘で答えた場合の正答確率は、
\(\displaystyle \frac{1}{_{4}\mathrm{C}_{2}}=\frac{1}{6}\)
です。
1つでも確率が求まれば、\(\displaystyle \frac{1}{3}\)と確率は上がりますが、
勘で答える問題ではありません。笑
⓪コインを\(\,5\,\)回投げて「少なくとも」\(\,1\,\)回は表が出る確率は、
余事象の\(\,1\,\)回も表が出ない確率
を考えて、
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
P&=&1-\left(\frac{1}{2}\right)^5\\
&=&1-\frac{1}{32}\\
&=&\frac{31}{32}\\
&=&0.96875＞0.95
\end{eqnarray}\)
正しい \(\,○\,\)
①\(\,5\,\)回玉を取り出して赤玉が\(\,3\,\)回出る確率は、
って、赤白何個ずつ入っているのでしょうか？
赤玉白玉が\(\,4\,\)個ずつ入っているとすると
\(\,1\,\)回の試行で赤玉が出る確率が\(\,\displaystyle \color{red}{\frac{1}{2}}\)
\(\,1\,\)回の試行で赤玉が出る確率が\(\,\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{2}}\)
と同じなので、\(\,5\,\)回のうちどこで赤玉が\(\,3\,\)回出るかを考えて、
\(\hspace{10pt}\displaystyle _5\mathrm{C}_3\cdot\left(\color{red}{\frac{1}{2}}\right)^3\cdot \left(\color{blue}{\frac{1}{2}}\right)^2\\
\displaystyle =\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4}\\
\displaystyle =\frac{5}{16}\)
赤玉白玉の入っている個数によって確率は変わってきますので計算するまでもなく、違います。
②「い」\(\,1\,\)枚「ろ」\(\,2\,\)枚「は」\(\,2\,\)枚の\(\,3\,\)種類のカード\(\,5\,\)枚から、
\(\,2\,\)枚取り出しすとき、異なる文字が取り出される確率です。
「い」「ろ」「は」でなくても赤、白、黒でも同じです。
ついでに言っておくと、
同時に取り出しても\(\,1\,\)枚ずつ取り出しても同じです。
いくつか方法が考えられますが、全部で\(\,5\,\)枚しかないのでどれでも良いでしょう。
時間がかかっても確実なのは、\(\,5\,\)枚を区別する方法です。
「い」を\(\,\color{red}{1}\,\)、「ろ」を\(\,\color{blue}{2},\color{blue}{3}\,\)、「は」を\(\,\color{magenta}{4}，\color{magenta}{5}\,\)
とすると、取り出し方は、
\(\,(\,\color{red}{1}\,,\,\color{blue}{2}\,)\,\) \(\,(\,\color{red}{1}\,,\,\color{blue}{3}\,)\,\) \(\,(\,\color{red}{1}\,,\,\color{magenta}{4}\,)\,\) \(\,(\,\color{red}{1}\,,\,\color{magenta}{5}\,)\,\)
\(\,(\,\color{blue}{2}\,,\,\color{blue}{3}\,)\,\) \(\,(\,\color{blue}{2}\,,\,\color{magenta}{4}\,)\,\) \(\,(\,\color{blue}{2}\,,\,\color{magenta}{5}\,)\,\)
\(\,(\,\color{blue}{3}\,,\,\color{magenta}{4}\,)\,\) \(\,(\,\color{blue}{3}\,,\,\color{magenta}{5}\,)\,\)
\(\,(\,\color{magenta}{4}\,,\,\color{magenta}{5}\,)\,\)
の\(\,10\,\)通りで、異なるのは色違いの組になっている取り出し方なので、
\(\displaystyle \frac{8}{10}=\frac{4}{5}\)
\(\,5\,\)枚から\(\,2\,\)枚取り出す組み合わせは
\(_5\mathrm{C}_2=10\)通り
そのうち異なる組み合わせは
「い」「ろ」または「い」「は」または「ろ」「は」
なので
\(\hspace{10pt}_1\mathrm{C_1\times _2C_1+_1C_1\times _2C_1+_2C_1\times _2C_1}\\
=2+2+4\\
=8\)
よって、\(\displaystyle \frac{8}{10}=\frac{4}{5}\)でも良いです。
または、\(\,2\,\)枚順番に取り出すとき、異なる取り出し方は、
\(\,1\,\)枚目「い」\(\,2\,\)枚目「ろ」
\(\displaystyle \frac{1}{5}\times \frac{2}{4}\)
\(\,1\,\)枚目「い」\(\,2\,\)枚目「は」
\(\displaystyle \frac{1}{5}\times \frac{2}{4}\)
\(\,1\,\)枚目「ろ」\(\,2\,\)枚目「い」
\(\displaystyle \frac{2}{5}\times \frac{1}{4}\)
\(\,1\,\)枚目「ろ」\(\,2\,\)枚目「は」
\(\displaystyle \frac{2}{5}\times \frac{2}{4}\)
\(\,1\,\)枚目「は」\(\,2\,\)枚目「い」
\(\displaystyle \frac{2}{5}\times \frac{1}{4}\)
\(\,1\,\)枚目「は」\(\,2\,\)枚目「ろ」
\(\displaystyle \frac{2}{5}\times \frac{2}{4}\)
なので、
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{2+2+2+4+2+4}{5\times 4}\\
\displaystyle =\frac{16}{20}=\frac{4}{5}\)
または、\(\,2\,\)枚が同じ文字である事象が余事象になるので、
「ろ」「ろ」または「は」「は」である確率が
\(\displaystyle \frac{\mathrm{_2C_2+_2C_2}}{\mathrm{_5C_2}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)
または\(\,1\,\)枚ずつ引くと考えて、
\(\displaystyle \frac{2}{5}\times \frac{1}{4}\times 2=\frac{1}{5}\)
となることから異なる取り出し方は
\(\displaystyle 1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
としても良いです。
いずれにしても確率は合っています。
答えは\(\,⓪\,\)と\(\,②\,\)なので\(\,③\,\)は計算する必要はありません。
③「ロボット\(\,2\,\)体で重ねてチェックする」場合で確率が\(\,1\,\)体のときより低くなるなら、
試験で見直しをすればするほど間違いが多くなると言うことになりますが、、、。
コインの面が「表」か「裏」か、
ロボット\(\,\mathrm{A,B}\,\)の\(\,2\,\)体が「オモテ」\(\,○\,\)と言うか「ウラ」\(\,×\,\)と言うかの場合は、
\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
& 面 & \mathrm{A} & \mathrm{B} \\ \hline
\color{red}{①} & 表 & \color{red}{○} & \color{red}{○} \\ \hline
② & 表 & ○ & × \\ \hline
③ & 表 & × & ○ \\ \hline
④ & 表 & × & × \\ \hline
\color{red}{⑤} & 裏 & \color{red}{○} & \color{red}{○} \\ \hline
⑥ & 裏 & ○ & × \\ \hline
⑦ & 裏 & × & ○ \\ \hline
⑧ & 裏 & × & × \\ \hline
\end{array}\)
の\(\,8\,\)通りあります。
それぞれの確率は、
表に対し「オモテ」と言うのが\(\,\displaystyle \frac{9}{10}\)
表に対し「ウラ」と言うのが\(\,\displaystyle \frac{1}{10}\)
裏に対し「オモテ」と言うのが\(\,\displaystyle \frac{1}{10}\)
裏に対し「ウラ」と言うのが\(\,\displaystyle \frac{9}{10}\)
なので
① \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{9}{10}\times \frac{9}{10}=\color{red}{\frac{81}{200}}\)
② \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{10}=\frac{9}{200}\)
③ \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}\times \frac{9}{10}=\frac{9}{200}\)
④ \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}\times \frac{1}{10}=\frac{1}{200}\)
⑤ \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}\times \frac{1}{10}=\color{red}{\frac{1}{200}}\)
⑥ \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{1}{10}\times \frac{9}{10}=\frac{9}{200}\)
⑦ \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{9}{10}\times \frac{1}{10}=\frac{9}{200}\)
⑧ \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{9}{10}\times \frac{9}{10}=\frac{81}{200}\)
です。
ロボット\(\,2\,\)体が「オモテ」という確率は①と⑤の場合があるので、
\(\displaystyle \frac{81+1}{200}=\frac{82}{200}\)
そのうち、表に対し「オモテ」と言う確率は
\(\displaystyle \frac{81}{200}\)
よって、ロボット\(\,2\,\)体が「オモテ」と言ったときの実際に表が出ている確率は
\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{\frac{81}{200}}{\frac{82}{200}}=\frac{81}{82}\\
=0.9878\cdots\)
となります。
〔２〕最大で５回コインを投げるゲーム
ルールは、
初めの持ち点は\(\,0\,\)点。
\(\,1\,\)回投げて表が出たら\(\,+2\,\)点、裏が出たら\(\,-1\,\)点を加える。
持ち点が\(\,0\,\)点になったら終了。
持ち点が\(\,0\,\)点にならなくても\(\,5\,\)回投げ終わったら終了。
最大で\(\,5\,\)回投げるだけなので、
考え方が分からなくなったらすべての場合を\(\,32\,\)通り書き出した方が確実です。
(1)
\(\,2\,\)回投げて持ち点が\(\,-2\,\)になるのは、
\(\,1\,\)回目が裏で、\(\,2\,\)回目も裏の場合
なので、
\(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\color{black}{\fbox{ 1 }}}{\color{black}{\fbox{ 4 }}}\)
\(\,2\,\)回投げて持ち点が\(\,1\,\)点になるのは
\(\,1\,\)回目で表、\(\,2\,\)回目が裏
か
\(\,1\,\)回目で裏、\(\,2\,\)回目で表
なので
\(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times 2=\frac{\color{black}{\fbox{ 1 }}}{\color{black}{\fbox{ 2 }}}\)
(2)
コインの出た面が表の場合を\(\,○\,\)\(\,(+2点)\,\)、裏の場合を\(\,×\,\)\(\,(-1点)\,\)とすると、
持ち点が\(\,0\,\)になるのは\(\,○\,\)が出た回数の\(\,2\,\)倍\(\,×\,\)が出るときで、
\(\,○\,\)が\(\,1\,\)回、\(\,×\,\)が\(\,2\,\)回
の\(\,\color{black}{\fbox{ 3 }}\,\)回ときしかありません。
\(\,○\,\)が\(\,2\,\)回出たら\(\,×\,\)は\(\,4\,\)回出なければならないので、
\(\,5\,\)回以内で\(\,0\,\)点になることはありません。
キ \(\,\underline{ 3 }\,\)
コインを\(\,3\,\)回投げて持ち点が\(\,0\,\)になるのは、
\(\begin{array}{|c|c|c|} \hline
1回目 & 2回目 & 3回目 \\ \hline
○ & × & × \\ \hline
× & ○ & × \\ \hline
× & × & ○ \\ \hline
\end{array}\)
の\(\,3\,\)通りだけで、それぞれの確率は
\(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)
だから\(\,3\,\)回投げて持ち点が\(\,0\,\)になる確率は
\(\displaystyle \frac{1}{8}\times 3=\frac{\color{black}{\fbox{ 3 }}}{\color{black}{\fbox{ 8 }}}\)
持ち点が\(\,0\,\)になるのは\(\,3\,\)回投げたときだけだから回数は関係ないけど。
(3)
持ち点が\(\,0\,\)点になったらゲームは終了するから、
ゲームが終了して持ち点が\(\,4\,\)点になるのは\(\,5\,\)回投げ終わった後です。
持ち点が\(\,4\,\)点になるのは\(\,5\,\)回投げて
\(\,○\,\)が\(\,3\,\)回で\(\,+2\times 3\,=\,+6\,\)点
\(\,×\,\)が\(\,2\,\)回で\(\,-1\times 2\,=\,-2\,\)点
が加点された場合です。
ただし、途中で\(\,0\,\)点になったらゲームは終わるので、
\(\,3\,\)回で\(\,0\,\)点になる場合を除かなくてはなりません。
\(\,○\,\)を\(\,3\,\)個、\(\,×\,\)を\(\,2\,\)個並べと、
\(_5\mathrm{C}_3\,=\,_5\mathrm{C}_2\,=\,10\,\)通りあります。
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
○ & ○ & ○ & × & × \\ \hline
○ & ○ & × & ○ & × \\ \hline
○ & ○ & × & × & ○ \\ \hline
○ & × & ○ & ○ & × \\ \hline
○ & × & ○ & × & ○ \\ \hline
\color{red}{○} & \color{red}{×} & \color{red}{×} & \color{magenta}{○} & \color{magenta}{○} \\ \hline
× & ○ & ○ & ○ & × \\ \hline
× & ○ & ○ & × & ○ \\ \hline
\color{red}{×} & \color{red}{○} & \color{red}{×} & \color{magenta}{○} & \color{magenta}{○} \\ \hline
\color{red}{×} & \color{red}{×} & \color{red}{○} & \color{magenta}{○} & \color{magenta}{○} \\ \hline
\end{array}\)
赤色の場合は\(\,3\,\)回で持ち点が\(\,0\,\)点になっていて、
\(\,4\,\)回目\(\,5\,\)回目の\(\,\color{magenta}{○}\,\)は投げてはいません。
持ち点が\(\,4\,\)点となるこの\(\,7\,\)回はそれぞれ確率が、
\(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^5=\frac{1}{32}\)
なので
\(\displaystyle \frac{\fbox{ ク }}{\fbox{ ケ }}=\frac{1}{32}\times 7=\frac{\color{black}{\fbox{ 7 }}}{\color{black}{\fbox{ 32 }}}\)
(4)
条件付き確率ですが(3)ですでに表にしてあるので利用します。
ゲームが終了して持ち点が\(\,4\,\)点の場合は、
\(\,○\,\)が\(\,3\,\)回で、\(\,×\,\)が\(\,2\,\)回の場合ですが、
\(\,3\,\)回で持ち点\(\,0\,\)点になる場合を除いて\(\,7\,\)通りあります。
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
○ & ○ & ○ & × & × \\ \hline
○ & ○ & × & ○ & × \\ \hline
○ & ○ & × & × & ○ \\ \hline
○ & × & ○ & ○ & × \\ \hline
○ & × & ○ & × & ○ \\ \hline
× & ○ & ○ & ○ & × \\ \hline
× & ○ & ○ & × & ○ \\ \hline
\end{array}\)
このうち、\(\,2\,\)回投げ終わった時点で持ち点が\(\,1\,\)点なのは、
最初の\(\,2\,\)回で\(\,○\,\)が\(\,1\,\)回、\(\,×\,\)が\(\,1\,\)回となる
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline
○ & × & ○ & ○ & × \\ \hline
○ & × & ○ & × & ○ \\ \hline
× & ○ & ○ & ○ & × \\ \hline
× & ○ & ○ & × & ○ \\ \hline
\end{array}\)
この\(\,4\,\)通りだけです。
\(\,5\,\)回投げたときのそれぞれの確率は等しいので求める条件付き確率は、
\(\,7\,\)通り中\(\,4\,\)通りなので、
\(\displaystyle \frac{\fbox{ ス }}{\fbox{ セ }}=\frac{\fbox{ 4 }}{\fbox{ 7 }}\)
確率で計算すると、
\(\,2\,\)回投げた時点で\(\,1\,\)点（事象\(\,\mathrm{A}\,\)）で、
かつ\(\,5\,\)回投げ終わったとき\(\,4\,\)点（事象\(\,\mathrm{B}\,\)）である確率は、
\(\displaystyle \mathrm{P(A\cap B)}=\frac{1}{32}\times 4=\frac{4}{32}\)
\(\,5\,\)回投げ終わったとき持ち点が\(\,4\,\)点である確率は
\(\displaystyle \mathrm{P(A)}=\frac{7}{32}\)
だったから
\(\begin{eqnarray}\displaystyle
\mathrm{P_A(B)}&=&\frac{\mathrm{P(A\cap B})}{\mathrm{P(A)}}\\
&=&\frac{\frac{4}{32}}{\frac{7}{32}}\\
&=&\frac{4}{32}\times \frac{32}{7}\\
&=&\frac{\fbox{ 4 }}{\fbox{ 7 }}
\end{eqnarray}\)
ベン図を書いて確率を書き込んでも良いですよ。
第\(\,3\,\)問は以上です。
⇒ 2020年度センター試験数学1A(第4問)整数問題の解説
第\(\,4\,\)問は整数です。
循環小数の良くある問題と、\(\,7\,\)進法ですが整数\(\,7\,\)個を扱うだけなので調べれば終わります。
選択問題を選択ミスしたと言うことはこの年に限ってはありませんね。