シグマ（Σ）の使い方や表し方には注意点がいくつかありますが、それさえおさえておけばシグマはあなたの強い味方になります。
ここでは数列の和で用いるシグマの使い方を詳しく説明します。
計算方法はまた別に説明しますが表し方と注意点がありますので見ておいてください。
いろいろな例を出しておきますので慣れてください。
シグマの使い方
等差数列の場合
等差数列の和の問題を例に見ていきましょう。
初項１，公差３の等差数列の初項から第\(n\)項までの和 \( S_n\) を求めよ。
一般項が \( a_n=1+3(n-1)=3n-2\) の等差数列なので和の公式にあてはめて
\(\displaystyle S_n=\frac{1}{2}n\{2+3(n-1)\}=\frac{1}{2}n(3n-1)\) ・・・①
等差数列の和の公式は良いですよね。
ここでは詳しく書きませんが確認しておいて下さい。
また、例題１を「１＋４＋７＋・・・・＋(３n－２）を求めよ。」と見ることもできますよね。
第 \(k\) 項は \(a_k=3k-2\) と表されるので、
\(a_k=3k-2\) の「 \( k\) が１から \( n\) まで変化するときの和」となり、
\( \displaystyle S_n=1+4+7+\cdots+(3k-2)+\cdots+(3n-2)\\ \\
\displaystyle = \sum_{k=1}^n (3k-2)\\ \\
\displaystyle =3\sum_{k=1}^n k -\sum_{k=1}^n 2\)
と表すことができます。これを、
\( \displaystyle S_n=3\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-2n\\ \\
=\cdots \\ \\
\displaystyle =\frac{1}{2}n(3n-1)\)
と計算して①と同じ結果を導くこともできます。
逆に等差数列として、Σを使わなくても求まるということです。
ただし、公式利用した求め方より、Σを使った求め方の方が足している感じはしますね。
この問題を最も簡単な形にすると、
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n (3k-2)\) を計算せよ。
となります。
何が違うかというと、言葉の使い方だけです。
つまり、
○ 初項１，公差３の等差数列の初項から第 \( n\) 項までの和 \( S_n\) を求めよ。
○ １＋４＋７＋・・・・＋(３n－２）を求めよ。
○ \( \displaystyle \sum_{k=1}^n (3k-2)\) を計算せよ。
は三つとも同じ問題といえるので、Σは使えなくても求めることはできるということです。
少しだけ、Σを使って等差数列の表現を見てみましょう。
数列の一般項が求めることができるなら和の計算をする必要はありません。
練習１
「初項１，公差３の等差数列の最初の \( n\) 項の和。」
第 \( k\) 項が \(3k-2\) と表せるので、和を \( S\) とすると
（以後「和」＝ \( S\) と表記）
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^n (3k-2)\)
練習２
「初項１，公差３の等差数列の初項から第１０項までの和」
第 \( k\) 項が \( 3k-2\) と表せるので、
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^{10} (3k-2)\)
（上限「１０」に注意）
練習３
「初項１，公差が３の等差数列の第２項から第 \( n\) 項までの和」
第 \( k\) 項が \( 3k-2\) と表せるので、
\( \displaystyle S=\sum_{k=2}^n (3k-2)\)
（下限「２」に注意）
練習４
「初項１，公差が３の等差数列の初項から第 \( n-1\) 項までの和」
第 \( k\) 項が \( 3k-2\) と表せるので、
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^{n-1} (3k-2)\)
（上限「 \( n-1\) 」に注意）
練習５
「初項１，公差が３の等差数列の初項から第 \( 2n\) 項までの和」
第 \( k\) 項が \( 3k-2\) と表せるので、
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^{2n} (3k-2)\)
（上限「 \( 2n\) 」に注意）
練習６
「初項１，公差が３の等差数列の第 \( n+1\) 項から第 \( 2n\) 項までの和」
第 \( k\) 項が \( 3k-2\) と表せるので、
\( \displaystyle S=\sum_{k={n+1}}^{2n} (3k-2)\)
（下限，上限に注意）
一度にいろいろと変えると分からなくなり易いので数列は同じにしていますが、
数列が変わっても上限下限の変え方は同じです。
等比数列の場合
等比数列の場合は、同じように言葉を換えて問題にすることはできますが、計算の過程で事情が違ってきます。
等比数列の和をΣで表すことはできますが、
Σの計算公式
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k=\frac{1}{2} n(n+1)\) ・・・①
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)\) ・・・②
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\left\{\frac{1}{2} n(n+1)\right\}^2\) ・・・③
を使うことはできませんので、
等比数列の和の公式
\( \displaystyle S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\,\,\, (r\neq1)\)
を使うことになります。
数列にはいろいろなものがあり、和においてはすべてΣを使うことができるのですが、計算過程でΣの計算公式①②③がいつも使えるとは限らない、ということです。
等比数列についてもいくつか表し方の例を見ておきましょう。
練習７
「初項８、公比２の等比数列の初項から第 \(n\) 項までの和。」
第 \( k\) 項が \(8\cdot2^{k-1}\) と表せるので、
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^n 8\cdot2^{k-1}\)
練習８
「初項８、公比２の等比数列の初項から第 \( 2n\) 項までの和。」
第 \( k\) 項が \( 8\cdot2^{k-1}\) と表せるので、
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^{2n} 8\cdot2^{k-1}\)
（上限「 \( 2n\) 」に注意）
練習９
「初項８、公比２の等比数列の初項から第 \( n-1\) 項までの和。」
第 \( k\) 項が \( 8\cdot2^{k-1}\) と表せるので、
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^{n-1} 8\cdot2^{k-1}\)
（上限「 \( n-1\) 」に注意）
練習10
「初項８、公比２の等比数列の初項から第 \( n+1\) 項までの和。」
第 \( k\) 項が \( 8\cdot2^{k-1}\) と表せるので、
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^{n+1} 8\cdot2^{k-1}\)
（上限「 \( n+1\) 」に注意）
練習11
「初項８、公比２の等比数列の第１１項から第 \(n\) 項までの和。」
第 \( k\) 項が \(8\cdot2^{k-1}\) と表せるので、
\( \displaystyle S=\sum_{k=11}^{n} 8\cdot2^{k-1}\)
（下限「１１」に注意）
練習12
「初項８、公比２の等比数列の初項から第 \(n+1\) 項から第 \( 2n\) 項までの和。」
第 \( k\) 項が \(8\cdot2^{k-1}\) と表せるので、
\( \displaystyle S=\sum_{k=n+1}^{2n} 8\cdot2^{k-1}\)
（下限，上限に注意）
いろいろな数列のΣを使った表し方
次からは一般項 \(\{a_n\}\) が \( n\) で表されている場合をやってみましょう。
一般項が求まれば、上の練習もすべて同じです。
\(\{a_n\}\) の \( n\) は変数 \( k\) に置き換えてΣに入れます。
ここまで来れば表現はできるでしょう。
計算練習に入る前に見慣れておきましょう。
※
混乱を防ぐために書いていなかったのですが、
第 \( n\) 項までの和を \( S_n\) と表現することもあります。
このとき添字の性質を利用して第 \( n+1\) 項までの和を \( S_{n+1}\) ，
第 \( 2n\) 項までの和を \( S_{2n}\) と表したりしますが、漸化式の単元で扱いましょう。
練習13
「 \(a_k=k\) の初項から第 \( n\) 項までの和。」
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^n k\)
練習14
「 \( a_k=k\) の初項から第 \( n-1\) 項までの和。」
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^{n-1} k\)
（上限「 \( n-1\) 」に注意）
練習15
「 \(a_k=k\) の初項から第 \( 2n\) 項までの和。」
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^{2n} k\)
（上限「 \( 2n\) 」に注意）
練習16
「 \( a_k=k\) の第 \( n\) 項から第 \( 2n\) 項までの和。」
\( \displaystyle S=\sum_{k=n}^{2n} k\)
（下限，上限に注意）
練習17
「 \( a_k=5k\) の初項から第 \( n\) 項までの和。」
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^{n} 5k=5\sum_{k=1}^{n} k\)
（『Σの線型性』\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^{n} ck=c\sum_{k=1}^{n} k\)（ \( c\) は定数）より）
⇒ 数列のシグマ（Σ）の意味と公式と計算方法参照
練習18
「 \( a_k=nk\) の初項から第 \( n\) 項までの和。」
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^n nk=n\sum_{k=1}^n k\)
（ \( n\) は \( k\) に関係無い定数なのです。要注意！）
「 \( a_k=4k\) の第 \( 4\) 項までの和」、
みたいにたまたま数値が一致したというだけですよ。
練習19
「 \( a_k=k^2\) の初項から第 \( n\) 項までの和。」
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^n k^2\)
練習20
「 \( a_k=k^2\) の初項から第 \( n-1\) 項までの和。」
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^{n-1} k^2\)
（上限に注意）
練習21
「 \( a_k=(k+1)^2\) の初項から第 \( n\) 項までの和。」
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^n (k+1)^2\\ \\
\displaystyle =\sum_{k=1}^n (k^2+2k+1)\\ \\
\displaystyle =\sum_{k=1}^n k^2+2\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n 1\)
練習22
「 \( a_k=(k+1)^2\) の初項から第 \(n-1\) 項までの和。」
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^{n-1} (k+1)^2\\ \\
\displaystyle =\sum_{k=1}^{n-1} (k^2+2k+1)\\ \\
\displaystyle =\sum_{k=1}^{n-1} k^2+2\sum_{k=1}^{n-1} k+\sum_{k=1}^{n-1} 1\)
（すべての上限に注意）
ここで、「おや？」と思った君は鋭い！
練習19の末項が \(n^2\) ，練習22の末項も \( n^2\) 、どちらも平方数の和であることは同じです。
結果は同じか？
Σは何だったのか思い出して、書き出してみると分かりますが、、、
ここではスルーして『計算方法』の項目で確認してみることにしましょう。
ちなみに、Σの上限は下限より小さくなることは普通ありませんので、
練習22のような場合は \( n\geq2\) と考えてかまいませんが、
上限下限が同じ場合はあります。
普通には求まらない数列の和の表し方
まだまだΣを使っての表現は続きます。
最後までの計算は改めてしますので、表し方だけでも慣れておきましょう。
計算はできるようになりますよ。
練習23
「 \(S=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\) をΣ使って表せ。」
\( \displaystyle S=1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}\\ \\
\displaystyle =\sum_{k=1}^n kx^{k-1}\)
（定数 \(n\) を変数 \( k\) に変えてΣを使う。）
練習24
「１から始まる連続する \( n\) 個の奇数の平方の和。」
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^n (2k-1)^2\)
（ \( k\) 番目の奇数は \(2k-1\) ）
練習25
「 \( 1\cdot n+2\cdot (n-1)+3\cdot (n-2)+\cdots+(n-1)\cdot 2+n\cdot 1\) この和。」
\( \displaystyle S=1\cdot n+2\cdot (n-1)+3\cdot (n-2)+\cdots+k(n+1-k)+\cdots+(n-1)\cdot 2+n\cdot 1\\ \\
\displaystyle = \sum_{k=1}^n k(n+1-k)\)
第 \( k\) 項は
\( k\{n-(k-1)\}=k(n+1-k)\)
となっているので途中の計算を省いているだけです。
いきなり綺麗な一般項が見つかるわけではありませんので、いろいろと規則性を見つけて自分で探すのです。
練習26
「 １･３，２･４，３･５，・・・の第 \( n\) 項までの和。」
\( \displaystyle S=1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+\cdots+n(n+2) \\ \\
\displaystyle =\sum_{k=1}^n k(k+2)\)
（第 \( k\) 項は \( k(k+2)\) となっている）
練習27
「 \( 11^3,12^3,13^3,14^3,\cdots\) の第 \( n\) 項までの和。」
\( \displaystyle S=11^3+12^3+13^3+\cdots+(k+10)^3+\cdots+(n+10)^3 \\ \\
\displaystyle =\sum_{k=1}^n (k+10)^3\)
（第 \( k\) 項を \( (k+10)^3\) と見ている）（要展開）
または、\( 11^3\) から始まっているので、
「 \( 1^3\) から \( (n+10)^3\) までの和」
から
「 \( 1^3\) から \( 10^3\) までの和」を引いたもの、
とみて、
\( \displaystyle S=11^3+12^3+13^3+\cdots+(n+10)^3 \\ \\
=\{1^3+2^3+\cdots+10^3+11^3+12^3+\cdots+(n+10)^3\}-(1^3+2^3+3^3+\cdots+10^3)\\ \\
\displaystyle =\sum_{k=1}^{n+10} k^3-\sum_{k=1}^{10} k^3\)
と表すこともできます。
ただ、３乗の展開はしなくて良くなりますが、、、計算のところで確認してみましょう。
この方法を使えば、練習19「 \(a_k=(k+1)^2\) の第 \( n\) 項までの和。」は、
「 \( a_k=k^2\) の \( k=1 \sim n+1\) の和」
から
\( k=1\) の場合だけを引いたものなので
\( \displaystyle S=2^2+3^2+\cdots+n^2+(n+1)^2\\ \\
=\{1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2+(n+1)^2\}-1^2\\ \\
\displaystyle =\sum_{k=1}^{n+1} k^2-\sum_{k=1}^{1} k^2\)
（下限と上限が同じ場合もありです）
とすることもできますね。
計算は別のところでやりましょう。
Σの使い方はまだまだあります。
が、そろそろ分かってきたと思うので、
（というより飽きてきた？笑）
終わりにしましょうか。
『\(\color{red}{一般項を k を使って表し、定数 n までの和をΣで表す。}\)』
ということですね。
表し方より計算が難しいと思うでしょうがそうでもないんですよ。
Σの計算公式は３つだけしかなく、（３つしか覚えておく必要は無いということ）
後は等比数列の和であったりするだけです。
公式が通用しない「階差型」
公式が通用しない場合もあります。
それが次に出てくる『階差型』です。（「階差数列」とは違います。）
いわゆる「部分分数」などを使って計算するものですが、今は表し方だけやって、計算は別のところでやりましょう。
練習28
「 \( \displaystyle S=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)\cdot (2n+1)}\) をΣを使って表せ。」
分母は奇数の積になっています。
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\)
分母のかけてある前の数と後ろの数を別々に見ることが大切です。
「・」を打ってくれているところが親切ですよね。笑
計算は部分分数にできれば簡単ですが別でやります。
今はとにかくΣに慣れましょう。
練習29
「 \( \displaystyle S=\frac{1}{\sqrt1 + \sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+ \sqrt3}+\cdots+ \frac{1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}\) をΣで表せ。」
これは単純に
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt k+\sqrt {k+1}}\)
練習28以上にこのままではダメだというのは感じるでしょうが、今はこのままで進めましょう。
あと少しです。
練習30
「 \( S=1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+(2n-1)^2-(2n)^2\) をΣで表せ。」
何となくでもいいですよ。
奇数の平方数から偶数の平方数が引かれています。
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n \{(2k-1)^2-(2k)^2\}\)
当然{ }の中から処理しますが、そのままΣで表しました。
さて、絞りに絞ってこれくらいでやめておきます。
変形パターンから数えればこの数倍はあるだろうけど、Σに慣れるという意味からすればこれくらいで良いのではないか？と楽させてもらいました。笑
ここまで読んでくれたあなたはΣに関して、というより数列に強くなっている、と言っておきます。
ここでは問題として例をあげていますが、この解答としての「Σの計算方法」で計算練習すればそこそこの域に到達していると思いますよ。
意味はわからないけど計算できて答えは出せる、
という状態でしょうか？笑
別にそれで良いんですよ。（よくない？）
数学を主力に進む人はもっと練習して、
さらに、理系に進む人は数学Ⅲでたくさんの、見事な級数（数列の和）に出会えることを楽しみにしておいて下さい。
ここからは番外編となりますので苦手な人はここまでで結構です。
ちょっと進んだΣの使い方と間違った使い方（難易度高）
ということで追加で２つあげておきますが、こういうのもあるということで軽く見ておいてください。
パスして良いですよ。
練習31（難易度高）
「 \( 1,2,3,\cdots ,n\) の中から異なる２数の積を作る。
それらの積の総和 \( S\) を求めよ。」
「求めよ」だけど、Σを使って表すだけで良いです。
例えば
\( (a+b+c)^2\\=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\\=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\)
のように
\( (1+2+3+\cdots+n)^2=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2+2S\)
となるので
\( \displaystyle S=\frac{1}{2}\{(1+2+3+\cdots+n)^2-(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)\}\\ \\
\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2-\sum_{k=1}^n k^2\right\}\)
別解もありますが計算のページで紹介します。
ここまで来れば十分でしょう。
あと一つは数学Ⅲで登場するんだけど、Σの使い方でよくある誤解を解くために用意しました。
練習32
「 \( \displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\) の和 \( S\) 。」
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\)
とΣで表すのは簡単ですが、、、計算はできません。
Σの使い方のページ
⇒ 数列のシグマ（Σ）の意味と公式と計算方法
で「線型性」について触れましたが、Σ計算においてかけ算については成り立つとは限りません。
割り算についても逆数のかけ算なので同様です。
だから、
\( \displaystyle S=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\)
を
\( S=\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \sum_{k=1}^n k}=\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)}\)
とすることはできませんので注意してくださいね。
解説は『計算方法』でじっくりやります。
このページでは『Σの使い方』の問題を並べてありますので方針を立てる練習に使えると思います。
答えまで出さなくて良いから、繰り返してΣでの表し方に慣れましょう。
答えまでたどり着くための数列の計算は別物です。
「この計算にどういう意味があるんだろう？」
「ものすごくややこしいしメンドウなんだけど。」
「こんなに時間かかってて実際の試験中に終わるんだろうか？」
と疑問に思うことも、嫌になることもたくさん経験すると思います。
しかし、
このページのここまでたどり着いたあなたなら、
きっと計算も克服出来るし答えまで出せるようになりますよ。
あきらめないで、少しでも前進してください。
慣れてくれば、等差数列の和を公式を使って求めたり、等比数列の和を公式を使って求めたりするように、シグマを使わずに計算に入れるようになるかもしれない。
後で待っている面倒な計算は気にせずに、先ずはシグマを使って表すことからはじめてください。
では、『Σの計算方法』でまた会いましょう。
上の練習を順番にすべて解いておきます。
きっと、「シグマに関しては苦手だ」、などあり得ません。