剰余の定理は余りの定理ともいいます。
基本になる「割り算の基本定理」から、因数定理までの問題を取り上げて解き方、定理の使い方を説明しますので見ておいてください。
分かりにくいところは商と余りのおきかただと思いますが、分かってしまえば難しいことはありませんよ。
割り算の基本定理
整式の除法です。
【定理】
\( f\,,\,g\) を \( x\) の整式とする。
\(f\) を \( g\) で割ったときの商を \( Q\)、余りを \( R\) とすれば、
「 \( f=gQ+R\) , \( R\) は \(g\) より低次 」
が成り立つ。
普通の数で行う割り算同様に、整式の割り算でも基本定理が成り立ちます。
例えば、
２５を３で割ったときの商は８、余りは１です。
このとき \( 25=3\times 8+1\) が成り立ちます。
余りの１は割る数の３より小さいです。
整式の除法だと、
例えば、
\( x^4+3\) を \( x^2-x\) で割ったとき、
商は \( x^2+x+1\) , 余りは \( x+3\) です。
このとき
\( x^4+3=(x^2-x)(x^2+x+1)+(x+3)\)
となり余りの \( x+3\) は、割る式 \( x^2-x\) より低次です。
整式の割り算はできるものとして省略します。
割り算をするとき、余りとの関係を
\( 25\div 3=8…1\)
と算数時代の悪い習慣が残っている人がいますが、割り算の基本が分からなくなるのでやめましょう。
剰余の定理（余りの定理）
【定理】
整式 \( P(x)\) を一次式 \( x-\alpha\) で割り算したときの余りは、
\( x=\alpha\) のときの整式の値 \( P(\alpha)\) に等しい。
これは簡単に証明できます。
（証明）
整式 \( P(x)\) を \( x-\alpha\) で割り算したときの
商を \( Q(x)\) , 余りを \( R\) とすると \( R\) は定数となり、
\( P(x)=(x-\alpha)Q(x)+R\) ･･･①
が成り立ち、これは任意の \( x\) に対して成り立つ。
①に \( x=\alpha\) を代入すれば
\( P(\alpha)=0\cdot Q(x)+R=R\)
（証明終わり）
一次式で割った場合、余りは０次以下、つまり定数であることがポイントです。
整式 \( P(x)\) を一次式 \( ax+b\) で割ったときの余り \( R\) は
\(\displaystyle P\left(-\frac{b}{a}\right)\)
となります。
もちろん \( a\neq 0\) ですよ。
\( \color{red}{ax+b=0}\) となる値を代入するということです。
因数定理と整方程式の解
【定理】
整式 \( P(x)\) が \( x-\alpha\) で割り切れる
\( \Leftrightarrow \hspace{10pt} P(\alpha)=0\)
割り切れる、つまり余りが０のときに使える便利な定理です。
同値関係にあることから、
\( x=\alpha\) を代入して値が０なら \(\color{red}{ x-\alpha}\) で割り切れる
ということなので因数分解に応用されます。
【定理】
\( P(x)\) を \( x\) の整式とすると、
\( x=\alpha\) が方程式 \( P(x)=0\) の解である
\( \Leftrightarrow \hspace{10pt} P(x)\) は \(\color{red}{ x-\alpha}\) で割り切れる
\( \Leftrightarrow \hspace{10pt} P(x)\) は \(\color{red}{ x-\alpha}\) を因数にもつ
例えば、\( x^3+2y^3-3xy^2\) を
\( P(x)=x^3+2y^3-3xy^2\)
と \( x\) の整式と見たとき、
\( P(y)=y^3+2y^3-3y^3=0\)
なので \( x^3+2y^3-3xy^2\) は \( x-y\) で割り切れることが分かります。
因数分解すると
\( x^3+2y^3-3xy^2=(x-y)(x^2+xy-2y^2)\)
ですが、\( (x-y)\) を因数にもつことがすぐに分かるということです。
整式に使う場合はもっと簡単なのでバンバン使って下さい。
剰余の定理と因数定理の問題と解き方
さて実践です。
（１）
整式 \(3x^3-ax^2+x-6\) が
\(x-2\) で割り切れるとき、\( a\) の値を求めよ。
（２）
\( x\) の整式 \( x^3+6x^2+px+q\) が
\( x^2+3x+2\) で割り切れるための条件を求めよ。
実際に割り算しても良いですが定理を利用した解き方で進めます。
（１）は \(x-2\) で割り切れることから剰余の定理より、
\( P(x)=3x^3-ax^2+x-6\) とおくと \(P(2)=0\) が成り立ちます。
よって、
\( P(2)=24-4a+2-6=20-4a=0 \)
から \( \underline{a=5}\)
これは基本定理なので必ず覚えておきましょう。
もちろん割算も出来なければならないので、実際に割り算して確認してみてください。
（２）は割算の原理から始めましょう。
\( P(x)=x^3+6x^2+px+q\) とおき、
「 \( x^2+3x+2\) で割り切れる」ことから
\( P(x)=x^3+6x^2+px+q=\underline{(x^2+3x+2)}Q(x)\) （余りが０）
となり、\( x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\) と因数分解出来るので
\( P(x)=x^3+6x^2+px+q=\underline{(x+1)(x+2)}Q(x)\)
\( \color{red}{P(-1)=0\,,\,P(-2)=0}\) であることから
\( P(-1)=-1+6-p+q=0 \hspace{5pt}\Leftrightarrow \hspace{5pt} p-q=5 \) ･･･①
\( P(-2)=-8+24-2p+q=0 \hspace{5pt}\Leftrightarrow \hspace{5pt} 2p-q=16\) ･･･②
①②から \( \underline{p=11\,,\,q=6}\)
（１）（２）ともに「割り切れる」ことから、「余りが０」です。
整式 \( f(x)\) を \( x-2\) で割ると余りは７となり、
\( x+1\) で割るとあまりは１になる。
\( f(x)\) を \( (x-2)(x+1)\) で割ったときの余りを求めよ。
整式の余りの問題では条件を検討することより、割算の原理から進めます。
『２次式で割ったあまりは１次式以下』（高々１次ともいう）
なので、
\(f(x)\) を２次式 \( (x-2)(x+1)\) で割ったときのあまりは \( ax+b\) とおけます。
このとき商を \( Q(x)\) とすると、
\( f(x)=(x-2)(x+1) Q(x)\color{red}{+ax+b}\)
であり、条件（剰余の定理）より、
\( \color{red}{f(2)=7\,,\,f(-1)=1}\) なので、
\( f(2)=2a+b=7\)
\( f(-1)=-a+b=1\)
から \( a=2\,,\,b=3\) となり求める余りは \( \underline{2x+3}\)
二次式で割った余りが一次以下で
\( f(x)=(x-2)(x+1)Q(x)\color{red}{+ax+b}\)
とおけるかどうかだけの問題です。
３次式で割ったときは、余りは２次以下で \( ax^2+bx+c\) とおくことになりますが、
１次式になっても定数になっても良いのです。
もちろん割り切れて、余りが０でもかまいません。
因数定理を使うと因数分解も楽になりますよ。
高次方程式は因数定理が使えないと厳しくなります。