場合の数 順列と組み合わせの違いと並べ方問題の解き方

場合の数は随分前の課程から重要視されています。
順列と組み合わせは基本的な見分け方は簡単ですが、問題のパターンも多いので少し時間が必要な単元だと覚悟した方が良いです。
先ずは順列、並べ方の問題の解き方考え方から少し見ておきましょう。

順列と組み合わせの見分け方

順列か組み合わせか、これを見分けるのは実は簡単ではありません。
考えたら分かるでしょう？
基本問題なら教科書にあるんだから、
入試などの問題で
「簡単に見分けられる問題つくるかよ！」
って作成者は思いながら問題をつくるでしょう。

単純な問題での見分け方を書いておくと、
問題に、
「並べ方はいくつあるか」と聞かれれば順列、
「組み合わせは何通りあるか」と聞かれれば組み合わせ、
という単純なことです。

日本語の表現が変わることで分かりにくくしてありますが、
「順番や位置が関係する」場合は順列、
「順番は関係しない」という場合は組み合わせ、
ということもできます。

例えば、\( a,b,c,d,e\)　の５つもの（人）があったとします。
「５つの中から３つを選び並べる方法は何通りか？」
という場合は順番が関係するので順列です。

リレーの選手を選び走順まで決める問題ですね。
これは３人を選んで、その後並べる、とするより、
第１走者、第２走者、第３走者、と順番に決めた方がはやいです。

第１走者は５人から選べるので「５通り」
第２走者は残り４人から選べるので「４通り」
第３走者は残り３人から選べるので「３通り」
の選び方ができるので、\( \mathrm{_5P_3=5\times 4\times 3}\)　となります。

一方、「５人から３人を選ぶ」だけなら組み合わせです。
順番も位置も用意されていませんので、

　\(\displaystyle\mathrm{_5C_3=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}}\)

「５人の中から体育係を３人選ぶ」
という場合は体育係３人に区別はありませんから組み合わせです。

でも、
「５人の中から、委員長、副委員長、書記の３人を選ぶ方法は何通りあるか。」
という場合は、「３人を選ぶ」と考えてはダメです。
選んだ後に順番、位置がある場合は「順列」になります。

これを見分けるのが苦手だという人が多いので、ちょっと方法を変えて見ましょう。
実は簡単に見分けられないように問題はつくられるので、見分けにくくて当然なのです。

方法は簡単で、順列組み合わせでは「置き場」をつくるのです。

３人を選ぶなら置き場は３つです。
　○　○　○
この３つに区別はあるのかないのかを考えることで、順列か組み合わせを考えなくて良くなります。

この「置き場をつくる」というのは場合の数の問題すべてで役に立つので利用してみてください。

順列、並べる方法について問題で見てみましょう。
（組み合わせは別に説明します。）

同じ色のある玉の並べ方問題

『同形同大』と書いてあるので、「玉に見分けはつきませんよ」、といっています。

「場合の数」はどのような場合があるか書き出さないと答えまでたどり着けない問題が多いです。
センター試験では「場合」を書き出さないと最終の答えまでたどり着かない問題が、『期待値』も求めさせるときから続いていました。
というか昔からずっとで、期待値が戻れば今後も続きます。

公式や定理に頼ってばかりではなく、
この単元で『書き出す』という数学の基本作業を徹底的に鍛え上げると良いですよ。

例題１のような「順列」問題は基本的には樹形図です。
しかし数が多くなると試験時間内に書ききれません。

なので、何とか計算で処理したいところです。
もちろん「どのような場合があるか」は書き出すことが前庭です。

そこで、いろいろな場合を書き出して規則性を見つけていけば良いのですが、なかなか簡単ではありません。

ここでのポイントは、先ず「同じ色の球を区別する」ということです。

同じ色の球でも区別する

区別の仕方は人それぞれで構いません。
赤球３個を、赤１、赤２、赤３としても良いですし、赤を１，２，３と単なる数字としても構いません。

筆者は書くのに時間がかかるので、
「赤球を１，２，３､青玉を４，５、白玉を６，７とする」
とします。
※
数字に置きかえる場合、問題用紙や解答用紙に
「赤は１，２，３」や「１，２，３は赤」（色分けはできませんが）

のように大きく囲んで目立つようにしておくと確認が散りやすいです。

この七個の数字から６個を取り出して並べる方法は、

　①赤３個、青２個、白１個
　②赤３個、青１個、白２個
　③赤２個、青２個、白２個

の並べる「場合の数」は３通りしかありません。
（青と白を合わせても４個しかないので赤球１個の場合はありません。）

頭の中で想像するといろいろな場合がありそうでややこしそうに見えますが、書き出して見るとすっきりすることが多いのです。

①の場合
「１，２，３，４，５，６」
か
「１，２，３，４，５，７」
の６つの数字の順列になりますが、白はどちらを選んでも同じ白なので
「１，２，３，４，５，白」
で、６！です。

ところが、１，２，３と４，５は同じ色なのでどこに並んでも同じものです。
例えば、
　\(\hspace{4pt}\color{red}{1}-\color{red}{2}-\color{red}{3}-\color{blue}{4}-\color{blue}{5}-6\)
　（赤-赤-赤-青-青-白）
と
　\(\hspace{4pt}\color{red}{2}-\color{red}{3}-\color{red}{1}-\color{blue}{5}-\color{blue}{4}-6\)
　（赤-赤-赤-青-青-白）
は同じ色の並びになります。
つまり、同じ色の並びを考えて、赤は３！、青は２！で割って重なりを消します。

　\(\displaystyle \mathrm{\frac{6!}{\color{red}{3!\cdot2!}}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1}=60}\)

これが①の順列です。
これは基本的な教科書レベルの同じものを含む順列なので細かい説明は不要でしょう。

②も同様に
　\(\displaystyle \mathrm{\frac{6!}{\color{red}{3!\cdot2!}}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1}=60}\)

③は赤２個、青２個、白２個の６個の順列になり、赤、青、白２個の入替が可能なので、

　\(\displaystyle\mathrm{\frac{6!}{\color{red}{2!\cdot 2!\cdot2!}}=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot1 \cdot 2\cdot 1\cdot 2\cdot 1}=90}\)

①～③より、\( 60+60+90=\underline{　210　}\)　通り
となります。

ところで、７個の数字から６個の数字を選んで並べるということは、
「７個の数字を並べて、一番端のどちらかの数字を消す」
ということと同じだと思いませんか？

例えば、
１２４５３６７　の左端１を消せば　２４５３６７　と６つの数字の並びになります。
よって、７つとも並べて、左端か右端かのどちらかを消せば良いので、

　\(\hspace{10pt} \displaystyle \frac{7!}{\color{red}{3!}\cdot \color{blue}{2!}\cdot \color{magenta}{2!}}\\
=\displaystyle \frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{\color{red}{3\cdot 2\cdot 1} \cdot \color{blue}{2\cdot 1}\cdot \color{magenta}{2\cdot 1}}\\
=210\)

と「同じ色を持つ７個を並べる順列」を計算しても同じですよね。
今の段階でここまで考えを広げようとは言いませんが、
考え方としては頭の隅にでも置いておくといいでしょう。

いずれにしても、
　「一旦区別　→　区別をなくす」、
という順序で考えた方が組み合わせを考えるよりミスは確実に減ります。

数字の並べ方問題の解き方

今度は数字そのものを並べます。

この問題は、書き出しがすべてだといってもいい位なので、具体的に書き出して書き出して書き出しまくってください。
小学生でも出来ます。

これが順列組み合わせには必要な作業なのです。
いや、数学全体でいえることですね。

順列では、先ず置き場所を作っておくと考えやすいです。
この場合４桁の整数なので　○　○　○　○　としておくのです。

小さい方は考えなくて良いので、５３１０より大きい数字を書き出して見ましょう。

５３１０　より大きな整数は、
（４桁の整数中に同じ数字は使えないので）
「５３１０台」は
５３１２　,　５３１４　,　５３１６　の３つ
「５３２０台」は
５３２０　,　５３２１　,　５３２４　,　５３２６　の４つ
「５３４０台」は
５３４０　,　５３４１　,　５３４２　,　５３４６　の４つ
ここまで来れば少しは見えてくるでしょう。
５３６０台も４つあります。
ここまでを合わせて５３００台で５３１０より大きい数字は

　\( 3+4\times 3=15\)　個。

５４００台と５６００台は、下二桁が何であろうと５３１０よりは大きいので、
７つの数字のうち残り５つの数字から２つの数字を並べればいいので

　\( \mathrm{_5P_2\times 2=5\times 4\times 2=40}\)　個。

６０００台は下３桁が何であっても５３１０よりは大きいので、
残りの６つの数字から３つの数字を並べて

　\( \mathrm{_6P_3=6\times 5\times 4=120}\)　個。

以上から５３１０より大きい整数は、

　\( 15+40+120=\underline{　175　}\)　個。

問題は５３１０より大きい数字を書き出すか書き出さないか、です。

４つの数字の置き場の
「５３○○　，５４○○　，５６○○　，６○○○　」
の場合を数えれば良いということですが、
５３○○の場合を書き出せれば後はそれほどやっかいではないです。

解き方としては
「５３○○　，５４○○　，５６○○　，６○○○　」
の場合しか無い、と「場合」を書き出すことですよ。

組み合わせについても同じことですが、
「場合の数」ではどのような「場合」があるかを書き出すことが大切なのです。

公式は１つひとつの計算方法にすぎないということですよ。

⇒　組み合わせの考え方と公式（組み分けと道順を求める問題の解き方）

組合せも同じ方法でいけますが公式も確認しておきましょう。