サイコロを２つまたは３つ以上振る確率の問題は考え方がいくつかあります。
２つの場合は表をつくることですべて解決しますし、３つの場合も表があれば数えることで解決します。
しかし、ここでは重複試行の確率の確認を含めいろいろなパターンの問題を取り上げておきます。
２つのサイコロを振る問題の解き方
これは中学生の確率問題と同じで表を書けば良いだけです。
２つのサイコロを同時に投げたとき、目の和が８となる確率を求めよ。
そのまま中学生の問題です。
２つのサイコロを A､B とすると、これらの目の出方は
\( N=6\times 6=36\)
通りあり、これは同様に確からしい。
このうち目の和が８になるのは
\( (A,B)=(2,6),(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)\)
の場合で５通りあります。
よって求める確率は
\( p=\displaystyle \frac{5}{36}\)
表で答が出ます。
３つのサイコロを振る問題の考え方
「１つのサイコロを３回投げる」ことと「３個のサイコロを同時に投げる」というのは同じことです。
「２つの玉を同時に取り出す取りだし方」と考え方は同じです。
表だけで解決する単純な問題
１つのサイコロを３回投げたとき、出た目の和が１０となる確率を求めよ。
サイコロ３回の目の出方は全部で
\( N=6\times6 \times 6=216\)
通りあり、これらはすべて等しい確率で起こります。
このうち３回の目の和が１０になるのは、
１回目と２回目の目の出方で考えることができます。
例えば、
１回目、２回目のサイコロをA，Bとして
\( (\mathrm{A,B})=(1,3)\)
とすると３回目が６であれば和が１０になります。
和が１０に限定されているので１回目、２回目に対し３回目は１つだけ対応します。
ところでA,Bの組みに対し和が１０になる組とならない組みがあります。
\( (\mathrm{A,B})=(1,1)\)
の場合、３回目は何であろうと和が１０にはなれません。
このように和が１０にならない組みもあります。
ここではならない（なれない）組を探した方がはやそうです。
和が１０にならない組は３６組中９組あります。
逆に１０になるのは
\( r=36-9=27\)
となるので
求める確率は
\( p=\displaystyle \frac{27}{216}=\displaystyle \frac{1}{8}\)
ここまでは表で終わらせることができる問題の解き方です。
考え方がカギとなる問題
３個のさいころを投げたとき、出た目の最大値が４以下である確率を求めよ。
また、出た目の最大値が４である確率を求めよ。
「最大値が４以下」と「最大値が４」は違いますからね。
この手の問題はよく出ますが、後半の「最大値が４」って？と思った人が多いでしょう。
まずは前半です。
大 中 小 と３個のサイコロを投げたとき、
目の出方は全部で
\( N=6^3=216\)
通りあります。
「大は４以下の４通り」,「中も４以下の４通り」,「小も４以下の４通り」
であれば何でも良いということなので、
\( r=4\times4 \times 4=64\)
通りあることになり、求める確率は
\( p=\displaystyle \frac{r}{N}=\displaystyle \frac{4\cdot 4\cdot 4}{6\cdot 6\cdot 6}=\displaystyle \frac{8}{27}\)
これは容易です。
次の「最大値が４」とはどういうことかというと、
「大中小 のどれか１つは４であり、５以上の目は無い。」
ということです。
例えば、「大中小」が「３３３」でもダメ、「３３５」でもダメ、「２４１」なら○。
そこで、大を４とする、中を４とする、小を４とする、
と場合を分けることも出来るのですが、
「最大値が４以下であり、すべてが３以下でなければいい」、
と考えれば、
「すべてが４以下」であるのは
\( r_4=4\times4 \times 4=64\)
「すべてが３以下」であるのは、
\( r_3=3\times3 \times 3=27\)
通りであることから、
「最大値に４を持つ」のは
\( r_4-r_3=64-27=37\)
通りあることになります。
よって求める確率は
\( p=\displaystyle \frac{r_4-r_3}{N}=\displaystyle \frac{37}{216}\)
と出せるのです。
ちょっと難しめの考え方なので、図で示してみると、
「３つとも４以下」と「３つとも３以下」
この差を取ると、大中小のどれかは４を１つは含んでいることになります。
書き出して見るとすぐ分かりますが、
樹形図の \(4\times 4\times 4\) 通りから \(3\times 3\times 3\) 通りを引けば、
どこかに４を含む樹形図となりますので確認してみると良いです。
この問題はサイコロが何個でも同じです。
\(\,n\,\)個のサイコロを同時に投げるとき、
「出る目の最大値が５である」確率を求めよ。
\(\,n\,\)個のサイコロの目の出方は全部で
\( N=6^n\)
通りあって、これらは等しい確率で起こります。
このうち「出る目の最大値が５である」目の出方は、
「出る目のすべてが５以下である」
中から
「出る目のすべてが４以下である」
出方を除いて、
\( r=5^n-4^n\)
通りあるので求める確率は
\( p=\displaystyle \frac{r}{N}=\displaystyle \frac{5^n-4^n}{6^n}\)
この考え方はポイントになりますよ。
重複試行の確率
さて、これまで確率の基本定理にしたがって確率を求めて来ましたが、少し楽しましょう。
すでに知っているならどんどん使っていいですし、ここで理解してからでもいいので確率を求めるときに楽な計算を選びましょう。
ただ、誘導がある場合は誘導にしたがって計算を進めないと答が出ませんよ。
重複試行の定義
今までは確率を求めるとき、
\( p=\displaystyle \frac{r}{N}\)
のように「条件にあう出方」を「すべての出方」で割るという計算をしていましたが必要無くなります。
同じ試行を繰り返し行うことを、まとめて１つの試行とみなし、
もとの試行の重複試行という。
サイコロを何回も投げる試行のことです。
定義自体はこの際忘れてもかまいませんが、次の定理が重要です。
重複試行の定理
先ずは分かりにくい一般的な式で表しますが、
実際使うときはそれほど使いにくいわけではありません。
１回の試行で事象\(\,A\,\)の起こる確率が\(\,p\,\)であるとする。
このとき、\(n\) 回の重複試行において \(\,A\,\) がちょうど \(\,r\,\) 回起こる確率は
\( _n\mathrm{C}_r\cdot p^r\cdot (1-p)^{n-r}\)
である。
ここに、\(\,n\,\)は自然数、\(\,r\,\)は \(\,0≦\,r\,≦\,n\) を満たす整数である。
この定理に出てくる確率
\( 1-p\)
は A が起こらない、つまり A の余事象の確率です。
\( _n\mathrm{C}_r\)
は \(\,n\,\) 回の試行のうち、A が起こる \(\,r\,\) 回がどこ（何回目）で起こるかを表しています。
独立試行の乗法定理
この定理の前に「独立試行の乗法定理」を復習しておいて下さい。
【独立試行の乗法定理】
２つの独立な試行を行ったとき、
「事象 A と B が起こる」事象の確率は
\( P(A)\times P(B)\) である。
これは試行回数は何回でも関係ありません。
例えば、サイコロを３回振るとき、
「１回目奇数」「２回目偶数」「３回目奇数」
となる確率は、
\( p=\displaystyle \frac{1}{2}\times \displaystyle \frac{1}{2}\times \displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{1}{8}\)
と求めることができるということです。
おそらく普通につかっていると思いますので気にせず先に進みましょう。
基本問題を解いて終わりにします。
１つのサイコロを６回投げるとき、次の確率を求めよ。
（１）２回目と４回目の２回だけ１の目が出る。
（２）１の目がちょうど２回出る。
（３）１の目が２回以上出る。
サイコロを１回投げるとき
１の目が「出る（○）確率」は \(\displaystyle \frac{1}{6}\) ,
「出ない（×）確率」は \(\displaystyle \frac{5}{6}\) です。
（１）
６回のサイコロの出方は
×-○-×-○-×-×
だけなので順番はそのままで、求める確率は
\( p_1=\displaystyle \frac{5}{6}\times \displaystyle \frac{1}{6}\times \displaystyle \frac{5}{6}\times \displaystyle \frac{1}{6}\times \displaystyle \frac{5}{6}\times \displaystyle \frac{5}{6}\\ \\
=\displaystyle \frac{625}{46656} \)
重複定理の置き場所が固定された、１通りだけをかけていることと同じです。
（２）
今度は置き場所が固定されていません。
○-○-×-×-×-×
○-×-○-×-×-×
○-×-×-○-×-×
….
×-○-×-○-×-×
….
６回中どこで１が２回出るか、を数えなくてはなりません。
\( _6\mathrm{C}_2=\displaystyle \frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=15\)
通りあります。
この１つひとつの確率は
「１が２回、１以外が４回」で \(\displaystyle \left( \frac{1}{6} \right)^2\left( \frac{5}{6} \right)^4\) と、どれも同じです。
よって求める確率は
\( p_2=_6\mathrm{C}_2\times \left( \displaystyle \frac{1}{6} \right)^2\left( \displaystyle \frac{5}{6} \right)^4\\ \\
=\displaystyle \frac{3125}{15552}\)
（３）
これは見た目たいへんそうですよ。
「２回以上」とは「２回」「３回」「４回」「５回」「６回」の場合があります。
（１）（２）を見ても分かるように数字が大きいのでできるだけ計算は少なくしたいです。
そこで余事象ですね。
「１の目が２回以上出る」の余事象は、
「１の目が出る回数が０回か１回」です。
明らかに余事象の方が楽でしょう。
０回出るときの確率は \(\displaystyle \left(\frac{5}{6}\right)^6\)
１回出るときの確率は \(\displaystyle _6\mathrm{C}_1 \left(\frac{1}{6}\right) \left(\frac{5}{6}\right)^5\)
これらから余事象の確率は
\( q =\left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)^6+_6\mathrm{C}_1 \left(\displaystyle \frac{1}{6}\right) \left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)^5\\ \\
=\left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)^6+6\times \left(\displaystyle \frac{1}{6}\right) \left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)^5\\ \\
=\left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)^6+\left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)^5\\ \\
=\left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)^5 \cdot \left(\displaystyle \frac{5}{6}+1\right)\\ \\
=\left(\displaystyle \frac{5}{6}\right)^5 \cdot \left(\displaystyle \frac{11}{6}\right)\\ \\
=\displaystyle \frac{34375}{46656}\)
よって求める確率は
\( p_3=1-q\\ \\
=1-\displaystyle \frac{34375}{46656}\\ \\
=\displaystyle \frac{12281}{46656}\)
サイコロを投げる回数を減らしておけば良かったですね。
しかし、余事象に考えがいくように大きいままにしておきます。
求めたい確率は１から余事象の確率\(\,\color{red}{q}\,\)を引けば良いんですよ。
\( p=1-\color{red}{q}\)
ここまで来れば少しは確率も何とか対応できるでしょう。
後は
苦手な分野から対策していきましょう。