２次方程式の解が三角関数で表される定数決定問題の解き方

２次方程式の２解が三角関数で表されているときの問題の解き方です。
解と係数の関係を使うことになりますがその形から２倍角の公式をつなげて使うことが多いです。
倍角の公式は覚えるか、加法定理からその場で導くかになりますので、加法定理そのものは覚えておく必要があります。

ここはとりわけ新しいことをするわけではありません。
三角関数で表された解を２次方程式の解と係数の関係に利用するだけです。

「解と係数の関係」と「倍角の公式」を確認しておきます。

２次方程式の解と係数の関係

解と係数の関係は３次方程式にもあります。
⇒　解と係数の関係　２次方程式と３次方程式

確認ができたら早速問題を解いてみましょう。

「２次方程式の２解が」と問題にあったら、「解と係数の関係」に気が向くでしょう。
それで良いですよ。解の公式は後回しで良いです。

　\(2x^2-\sqrt{3}x+k=0\)　の２解が
　\(\sin\theta　,　\cos\theta　(0≦ \theta≦\pi)\)　なので、
解と係数の関係より、

　\( \begin{cases}
\hspace{7pt}\sin\theta+\cos\theta=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\
\hspace{7pt}\sin\theta\cos\theta=\displaystyle \frac{k}{2}
\end{cases}\)

条件はこれだけです。
上の式を両辺２乗すると、

　\( (\sin\theta+\cos\theta)^2=\displaystyle \frac{3}{4}\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt}\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta +\cos^2\theta=\displaystyle \frac{3}{4}\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} 1+2\sin\theta\cos\theta=\displaystyle \frac{3}{4}\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} 2\sin\theta\cos\theta=\displaystyle \frac{3}{4}-1\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} 2\sin\theta\cos\theta=-\displaystyle \frac{1}{4}\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} \sin\theta\cos\theta=-\displaystyle \frac{1}{8}\)

この２乗するところがポイントになります。
これに下の式を代入すると、

　\( \sin\theta\cos\theta=\displaystyle \frac{k}{2}\)

だから

　\( \displaystyle \frac{k}{2}=-\displaystyle \frac{1}{8}\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} \underline{k=-\displaystyle \frac{1}{4}}\)

となります。

　\( (\sin\theta+\cos\theta)^2=\displaystyle \frac{3}{4}\)

を展開した途中の

　\( 1+2\sin\theta\cos\theta=\displaystyle \frac{3}{4}\)

が出たところで、下の式を代入して

　\( 1+2\times \displaystyle \frac{k}{2}=\displaystyle \frac{3}{4}\)

から　\( k\)　を求めても良いですよ。

　\( \underline{k=-\displaystyle \frac{1}{4}}\)

次に　\( \cos 2\theta\)　の値です。

加法定理と倍角の公式の導き方

倍角（２倍角）の公式の導き方について触れておきます。
　加法定理

　\( \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta\)　･･･①

において、\( \beta=\color{red}{\alpha}\)　を代入すると、

　\( \sin(\alpha+\color{red}{\alpha})=\sin\alpha \cos\color{red}{\alpha}+\cos\alpha \sin\color{red}{\alpha}\\ \\
\Leftrightarrow 　\sin 2\alpha =2\sin\alpha\cos\alpha　･･･②\)

コサインの倍角は３通りの使い方

同様に加法定理

　\( \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)　･･･③

から

　\( \cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha\\ \\
\Leftrightarrow 　\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha　･･･④\)

これを　\( \sin\alpha\)　と　\( \cos\alpha\)　のどちらか一方で表すことができます。

　\( \color{red}{\sin\alpha }\)　だけで表すと

　\( \cos2\alpha=\color{red}{\cos^2\alpha}-\sin^2\alpha\\ \\
　　　= (\color{red}{1-\sin^2\alpha})-\sin^2\alpha\\ \\
　　　=1-2\sin^2\alpha 　･･･⑤\)

　\( \color{red}{\cos\alpha}\)　だけで表すと

　\( \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\color{red}{\sin^2\alpha}\\ \\
　　　= \cos^2\alpha-(\color{red}{1-\cos^2\alpha})\\ \\
　　　=2\cos^2\alpha-1　･･･⑥\)

これらが　\( \sin\,,\,\cos\)　の倍角の公式です。

覚えなくても加法定理さえあればそれほど時間を必要とせず導けるでしょう。
　\( \cos\)　の倍角は３通りの使い方があるので導いた方が使い道多いです。

　\( \tan2\alpha\)　についても

　\( \tan(\alpha+\beta)=\displaystyle \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)

に　\(\beta=\alpha\)　を代入するだけで簡単に導けます。

では　\( \cos 2\theta\)　を求めましょう。

　\( \cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta\)

　\( \color{red}{\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta }\)　･･･④

　\( \color{red}{\cos2\theta=1-2\sin^2\theta }\)　･･･⑤

　\( \color{red}{\cos2\theta=2\cos^2\theta-1 }\)　･･･⑥

のどれかを使います。

⑤と⑥を使う場合は　\( \sin\theta\,,\,\cos\theta\)　の値を具体的に求める必要が出てくるので④を利用してみましょう。

因数分解して、

　\( \cos2\theta = \cos^2\theta-\sin^2\theta= (\cos\theta+\sin\theta)(\cos\theta-\sin\theta)\)

とすれば、\( (\cos\theta+\sin\theta)\)　は解と係数の関係そのまま使えます。

問題は　\( (\cos\theta-\sin\theta)\)　ですが、何度もやってきたでしょう。
２乗します。

　\( (\cos\theta-\sin\theta)^2\\ \\
=1-2\sin\theta\cos\theta\\ \\
=1-2\times \displaystyle \frac{k}{2}\\ \\
=1-2\times \left(-\displaystyle \frac{1}{8}\right)\\ \\
=1+\displaystyle \frac{1}{4}=\displaystyle \frac{5}{4}\)

ここで平方根をとりますが　\( 0≦ \theta ≦\pi\)　であることと、

　\( \sin\theta\cos\theta=\displaystyle \frac{k}{2}=-\displaystyle \frac{1}{8}＜ 0\)

であることから　\( \sin\,,\,\cos\)　のどちらかが「－」なので　\( \theta\)　は第２象限と分かります。

　\( \sin\theta >0\,,\,\cos\theta ＜ 0\)

だから、\( (\cos\theta-\sin\theta)< 0\)　となるので、
　
　\( (\cos\theta-\sin\theta)=-\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}\)

したがって、

　\( (\sin\theta+\cos\theta)=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)

だったので

　\( \cos 2\theta=(\cos\theta+\sin\theta)(\cos\theta-\sin\theta)\\ \\
=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\times \left(-\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}\right)=\underline{-\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}\)　

　\( \cos\)　の倍角の公式は使い方がいろいろあります。
半角の公式も　\(\cos\)　の倍角からです。

覚えにくいときは公式を覚える必要はありませんが、使い方を覚えておきましょう。

ところで、\(\displaystyle k=-\frac{1}{4}\)　とわかった時点で

　\( 2x^2-\sqrt{3}x-\displaystyle \frac{1}{4}=0\)

と２次方程式が定まったときにこの２次方程式を解くと、

　\( 2x^2-\sqrt{3}x-\displaystyle \frac{1}{4}=0\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} 8x^2-4\sqrt{3}x-1=0\)

これに解の公式を使って

　\( x=\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pm \sqrt{(2\sqrt{3})^2-8\times (-1)}}{8}\\ \\
=\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pm \sqrt{12+8}}{8}\\ \\
=\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pm \sqrt{20}}{8}\\ \\
=\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pm 2\sqrt{5}}{8}\\ \\
=\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pm \sqrt{5}}{4}\)

となり　\(\sin\theta>0\,,\,\cos\theta< 0\)　から

　\( \sin\theta=\displaystyle \frac{\sqrt{3}+ \sqrt{5}}{4}\,,\,\cos\theta=\displaystyle \frac{\sqrt{3}- \sqrt{5}}{4}\)

と求めることができるので、公式に代入して

　\( \cos 2\theta=2\cos^2\theta-1\\ \\
=2\left(\displaystyle \frac{\sqrt{3}- \sqrt{5}}{4}\right)^2-1\\ \\
=2\left(\displaystyle \frac{3-2\sqrt{15}+5}{16}\right)-1\\ \\
=\displaystyle \frac{8-2\sqrt{15}}{8}-1\\ \\
=\displaystyle \frac{4-\sqrt{15}}{4}-1\\ \\
=\displaystyle \frac{4-\sqrt{15}-4}{4}\\ \\
=\displaystyle \frac{-\sqrt{15}}{4}\)

などのように別の２倍角の形でも求めることもできます。
しかし、これはいくら何でも２倍角を限定しすぎでしょう。

⇒　三角関数の２倍角と３倍角の公式と三角方程式、不等式の解き方

３倍角の公式までを導いておきますが、

⇒　三角関数の加法定理と計算問題の解き方

何より、加法定理を使いこなすことを優先しましょう。