漸化式が数列の積（掛け算混じり）となっているタイプの解き方（例題６）

漸化式が数列の積の項を持っているタイプの解き方です。anなどの掛け算の混じった形を持つものです。
このタイプは最初の処理のしかただけがポイントで、後の一般項を求めにいく計算処理は特殊ではありません。
最初の処理がポイントなのは漸化式全体で言えることなので、やってみるか、あきらめるかで大きな差となります。

漸化式の積とは？

漸化式の積って何？
と分かりづらい表現をしていますので例題から見ておきましょう。

初項\(\,a_1\,\)の具体的な値が決まっていませんが気にしなくて大丈夫です。
最後に一般項の中に残るというだけで、いつも通り進めましょう。
計算がややこしくならない分、楽かもしれませんよ。笑

　\( (2n-1)a_{n-1}a_n=na_{n-1}-(n-1)a_n\\
\hspace{7pt}(n=2\,,\,3\,,\,\cdots)\)

を見ると\(\,(n=2\,,\,3\,,\,\cdots)\,\)なので
階差をとっても場合分けは必要なさそうですね。

問題は
　\(\hspace{10pt}(2n-1)a_{n-1}a_n\,\)
です。

数列\(\,a_{n-1}\,\)と\(\,a_n\,\)が積になっているタイプはあまり見ません。
だったら見慣れた形に変えてしまえば良いんですよね。

割り算で漸化式の積を変形

　\( (2n-1)a_{n-1}a_n=na_{n-1}-(n-1)a_n\)

この両辺を\(\,a_{n-1}a_n\,\)で割ってしまいましょう。

割るのなら\( \,a_{n-1}a_n\neq 0\,\)ということをいわなくて良いのか？
　\(\hspace{10pt} a_n\,＞\,0\,\)
なので大丈夫です。

　\(\begin{eqnarray} \displaystyle
(2n-1)a_{n-1}a_n&=&na_{n-1}-(n-1)a_n\\ \\
\frac{(2n-1)\cdot (\color{red}{a_{n-1}a_n})}{(\color{red}{a_{n-1}a_n})}&=& \frac{n\cdot (\color{blue}{a_{n-1}})}{(\color{blue}{a_{n-1}})\cdot a_n}-\frac{(n-1)\cdot (\color{magenta}{a_n})}{a_{n-1}\cdot (\color{magenta}{a_n})}\\ \\
2n-1&=&\frac{n}{a_n}- \frac{n-1}{a_{n-1}}
\end{eqnarray}\)

このままじゃ見にくいので左辺と右辺を入れかえてみると
　\(\hspace{10pt} \displaystyle \frac{n}{a_n}-\displaystyle \frac{n-1}{a_{n-1}}=2n-1\)

今まで見たのと分母と分子が逆なだけで、
ある種の階差数列となっています。

このまま進めたいところですが置きかえましょう。

　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{n}{a_n}=b_n\)
とおくと
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{n-1}{a_{n-1}}=b_{n-1}\)
なので
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{n}{a_n}-\frac{n-1}{a_{n-1}}=2n-1\\ \\
\Leftrightarrow 　 b_n-b_{n-1}=2n-1　　･･･①\)

階差数列の利用

分かりやすくするために置きかえしておきますが、階差数列の復習をしておきます。
階差数列から一般項を求める公式は
　\( b_n=a_{n+1}-a_n\)　･･･②
とするとき
　\(\hspace{10pt} \displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k　(\color{red}{n≧ 2})\)
なので注意してください。

だから数列\(\,\{b_n\,\}\)の階差は
　\(\hspace{10pt} c_n=\color{magenta}{b_n-b_{n-1}}\)
ではなくて、
　\(\hspace{10pt} c_n=\color{red}{b_{n+1}-b_n}\)
とおくと
　\(\hspace{10pt}b_n-b_{n-1}=2n-1　･･･①\,\)
より　
　\(\begin{eqnarray} c_n&=&\color{red}{b_{n+1}-b_n}\\
&=&2(\color{red}{n+1})-1\\
&=&2n+1\\
\end{eqnarray}\)
です。

階差数列を利用するときは\(\,n≧2\,\)として場合分けですが、
問題の漸化式は\(\, n=2\,,\,3\,,\,\cdots\,\)となっているのでしなくても良いですが、
やりたければ確認しておくと良いです。

　\( \begin{eqnarray}\displaystyle b_n&=&b_1+\sum_{k=1}^{n-1}c_k\\
&=&b_1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)\\
&=&b_1+2\sum_{k=1}^{n-1}k+\sum_{k=1}^{n-1}1\\
&=&b_1+2\cdot \frac{1}{2}n(n-1)+(n-1)\\
&=&b_1+n(n-1)+(n-1)\\
&=&b_1+n^2-1\end{eqnarray}\)

数列\(\,\{b_n\}\,\)の初項を求めておきます。

　\(\hspace{10pt} b_1=\displaystyle \frac{1}{a_1}\)

ここで\(\,a_1\,\)は決まっていませんのでこのままです。

　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{n}{a_n}=b_n\)
と置いていましたので
　\(\begin{eqnarray}\displaystyle
a_n&=&\frac{n}{b_n}\\
&=&\frac{n}{b_1+n^2-1}\\
&=& \frac{n}{\displaystyle \frac{1}{a_1}+n^2-1}\\
&=& \frac{n\cdot \color{red}{a_1}}{\left(\displaystyle \frac{1}{a_1}+n^2-1\right)\cdot \color{red}{a_1}}\\
&=& \frac{a_1n}{1+a_1(n^2-1)}\end{eqnarray}\)

となります。

上の途中で
　\(\hspace{10pt} b_n=a_{n+1}-a_n\)　　･･･②
としましたが、
　\(\begin{eqnarray}
b_n\hspace{5pt}-\hspace{5pt}\color{red}{b_{n-1}}&=&2\cdot n-1\\
\color{red}{b_{n-1}}-\color{blue}{b_{n-2}}&=&2\cdot (n-1)-1\\
\color{blue}{b_{n-2}}-b_{n-3}&=&2\cdot (n-2)-1\\
\cdots\hspace{10pt}&=&\hspace{10pt}\cdots\\
b_{n-k}-b_{n-k-1}&=&2(n-k)-1\\
\cdots\hspace{10pt}&=&\hspace{10pt}\cdots\\
b_3\hspace{5pt}-\hspace{5pt}\color{magenta}{b_2}&=&2\cdot 3-1\\
\color{magenta}{b_2}\hspace{5pt}-\hspace{5pt}b_1&=&2\cdot 2-1\end{eqnarray}\)

これらを辺ごとにすべて加えると　
　\(\begin{eqnarray}
b_n\color{blue}{-b_1}&=&2(2+3+\cdots +n)-(n-1)\\
b_n&=&\color{blue}{b_1}+2(\underline{\color{red}{2+3+\cdots +n}})-(n-1)\end{eqnarray}\)

これから自然数の和を利用出来るように変形して
　\(\begin{eqnarray}\displaystyle
b_n&=&b_1+2\{\underline{\color{red}{(1+2+3+\cdots +n)-1}}\}-(n-1)\\
&=&b_1+2\left\{\underline{\color{red}{\frac{1}{2}n(n+1)-1}}\right\}-(n-1)\\
&=&b_1+n(n+1)-2-(n-1)\\
&=&b_1+n^2+n-2-n+1\end{eqnarray}\)

　　\(　∴　b_n=b_1+n^2-1\)

と求めることもできます。

階差数列をつくって一般項を求める分数タイプはもっと基本的なものがありました。

⇒　分数型から階差数列タイプに変わる漸化式の解き方（例題２）

変形さえうまくできれば、結局は同じ、というのも今までと同じですよ。

⇒　漸化式の解き方パターン一覧と一般項の求め方まとめ（階差数列、分数、累乗など）

漸化式パターンの例題順に来た人はそろそろ上級者入りした頃でしょう。笑
最後まで行くと達人、とまでは行かないけど漸化式は単なる計算問題になっています。