シグマ（Σ）の計算公式は３つだけです。
他は単に和を表しているだけでしたよね。
ここでは教科書や問題集などでもよく見る公式利用の練習問題を応用も含めて取り上げて説明しておきます。
シグマはいつでも計算公式が利用出来るわけではありませんよ。
ここまでで、おおよそのΣの使い方から計算は分かるようになっていると思います。
後はΣの計算公式や特別な形のパターン化された計算方法を覚えていきましょう。
Σの計算公式が使える問題
すべての問題を書き出すことはかなり厳しいです。
パッと思い浮かぶだけでもかなりの数になりますし、特に数学ⅢにつながるΣで表されるものなどを考えればきりがありません。
ということで、『数列』という単元でよく見られるシグマの計算公式が使えるパターンをいくつかやっておきましょう。
シグマの計算公式（再再確認）
シグマの計算公式は３つです。
それ以外には公式というものではなく「和」という意味があるだけですので間違えないでくださいね。
何度も出てきていますが３つの計算公式をもう一度確認しておきます。
\(\displaystyle \color{red}{\displaystyle \sum_{k=1}^n k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)}\) ･･･①
\(\displaystyle \color{red}{\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}\) ･･･②
\( \displaystyle \color{red}{\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\left\{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2}\) ･･･③
今回はこれらを使い倒す練習をしましょう。
素直な問題
「 \( a_k=k\) の初項から第 \( n\) 項までの和を求めよ。」
\( S=1+2+3+\cdots+n\)
これは教科書にもあるので計算公式として覚えておいて下さい。
上の公式の３つのうちの１つ、自然数の和です。
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^n k=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\)
証明は、『自然数の和』なので、初項１、公差１の等差数列の和として求めても良いですし、数学的帰納法を使っても簡単に証明できます。
余程意地の悪い問題で無い限り、証明なしで使って良い計算公式として扱われます。
「 \( a_k=k\) の初項から第 \( n-1\) 項までの和を求めよ。」
これは添え字の扱い方の練習のために出しましたが、これまでにも少し書いておいたので問題は無いでしょう。
計算公式①の \( n\) の代わりに \( \color{red}{n-1}\) を代入すれば良いだけです。
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{2}(n-1)\{(n-1)+1\}\\ \\
=\displaystyle \frac{2}{2}n(n-1)\)
一般項 \(a_n\) が分かっている場合、
第 \( n\) 項までの和を求めて、
第 \( n\) 項を引けば良いので
\( \displaystyle S=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n-(a_n)\\ \\
=\displaystyle \sum_{k=1}^n k-a_n\)
とできることも、もう分かっている頃ではないでしょうか。
\( \displaystyle S=\{1+2+3+\cdots+(n-1)+n\}-(n)\\ \\
=\displaystyle \sum_{k=1}^n k -n\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)-n\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)\)
いろいろ試しながら覚えていって下さい。
どっちでもいいんですよ。
「 \(a_k=k\) の初項から第 \( 2n\) 項までの和を求めよ。」
練習14と同じでように計算公式①の \( n\) の代わりに \(2n\) を代入すれば、
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} k\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{2}(2n)\{(2n)+1\}\\ \\
=n(2n+1)\)
となります。
自然数の和は、等差数列の和でもあるので、初項と末項および項数が分かれば求まります。
この場合も、初項１，末項 \( 2n\) ，項数 \( 2n\) の等差数列の和として、
\( \displaystyle S=\displaystyle \frac{2n}{2}(1+2n)\\ \\
=n(2n+1)\)
とすぐに求まるのですが、慣れるためにΣの計算公式を利用しました。
ちょっと「？」と思う問題
「 \( a_k=k\) の第 \( n\) 項から第 \( 2n\) 項までの和を求めよ。」
これは、第 \( n+1\) 項からではなく、わざと第 \( n\) 項からとしました。
計算に関係はないのですが、項数確認のためにそうしました。
１～１００までの自然数は「百」あります。当たり前です。
しかし、５から１００までの自然数を９５とする人が多いのです。
１００－５＝９５
ですがこれは間隔を求めたにすぎません。
１～１００までの自然数を
１００－１＝９９
としていないのに何故？
１からの数は、最後の数までの数だけある、というのを覚えているんですよね。
実際には、
１００－１＋１＝１００
と間隔に最後の１を足しているのです。
だから、
５から１００までは、
１００－５＋１＝９６ あります。
\( (1,2,3,4),5,\cdots,98,99,100\)
（ ↑ 100個から最初の4個を減らせばいい。）
同じように \(n\) から \(2n\) までの数は、
\( 2n-n\color{red}{+1}=n+1\) あります。
練習16の計算をするのには必要ないことなんですけどね。
「なんだ、関係ないのか！」って？
だから最初に、「計算には関係ない」といったでしょう？
柱の確認ですよ。
１０ｍの幅に１ｍ間隔で柱を立ててロープをはります。
「柱は１１本必要です。」
というクイズに答えられるようにしておきました。笑
では、計算に入りましょう。
\(\displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=n}^{2n}\\ \\
=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2n-1}+a_{2n}\\ \\
=\{(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})+a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{2n-1}+a_{2n}\}\\ \\
-(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})\)
つまり
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^{2n} k-\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k\)
（↑ 下限が \( k=1\) になっていることに注意！）
もうこのやり方にも慣れてきたでしょう？計算を進めます。
\( \displaystyle S=\displaystyle \frac{1}{2}(2n)\{(2n)+1\}-\displaystyle \frac{1}{2}(n-1)\{(n-1)+1\}\)
ここからの計算の進め方は人によって変わって来ると思います。
ミスがないならどちらでも良いです。
\( \displaystyle S=\displaystyle \frac{1}{2}(2n)\{(2n)+1\}-\displaystyle \frac{1}{2}(n-1)\{(n-1)+1\}\\ \\
=n(2n+1)-\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ \\
=n\left\{(2n+1)-\displaystyle \frac{1}{2}(n-1)\right\}\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{2}n\{2(2n+1)-(n-1)\}\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{2}n(3n+3)\\ \\
=\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)\)
と、普通に計算できそうなところから進める、でもいいです。
または、次のように分母が残りそうと思ったら（残るとわかった時点で）分母の最小公倍数でくくり出すというのも１つの方法です。
私は計算が速い方だとは思いませんけど、こちらでやっていますがセンターでも時間は余ります。
\( \displaystyle S=\displaystyle \frac{1}{2}(2n)\{(2n)+1\}-\displaystyle \frac{1}{2}(n-1)\{(n-1)+1\}\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{2}\{2n(2n+1)-n(n-1)\}\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{2}n\{2(2n+1)-(n-1)\}\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{2}n(4n+2-n+1)\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{2}n(3n+3)\\ \\
=\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)\)
共通因数の抜き出し順序はどちらでも自分に合っていると思える方でいいですよ。
ややこしそうに見える問題
「 \( a_k=5k\) の初項から第 \(n\) 項までの和を求めよ。」
これは何故練習問題に入れたんだろう？いまさら？
と自分でも思えるほどだけど、次につながる問題なので計算しておきます。
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^n 5k=5\cdot1+5\cdot2+5\cdot3+\cdots+5\cdot n\)
初項５，公差５（末項 \( 5n\) ），項数 \( n\) の等差数列の和として
\( S=\displaystyle \frac{n}{2}(5+5n)=\displaystyle \frac{5}{2}n(n+1)\)
のように求めることもできるけど、
シグマを分けて使って解くこともできます。
『 Σ について』で線型性
（部分的に足したり引いたりはしても良い）
については説明してありますので、
完全には理解できていなくても「使える」、
ということでシグマの計算公式を使ってみましょう。
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^n 5k=5\displaystyle \sum_{k=1}^n k\)
\( k\) 以外の定数は前に出せるんでしたよね。
よって、
\( S=5\cdot\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ \\
=\displaystyle \frac{5}{2}n(n+1)\)
「 \(a_k=nk\) の第 \(n\) 項までの和を求めよ。」
これは少し紛らわしいです。
普通は一般項を \( a_n\) と \( n\) を使って表すので、
\( n\) が添字として変化すると思いがちですが、
\(\Sigma\) の添字は \( k\) です。
\(\color{red}{ k 以外の文字は定数}\) なのです。
練習17の係数5と同じように \(\Sigma\) の前に出して、
係数として \(\Sigma\) 計算にかけることになります。
たとえば、
\( \displaystyle \displaystyle \sum_{k=1}^5 5k=5\displaystyle \sum_{k=1}^5 k\)
のように上限の定数が係数と同じでも気にせず前に出せますよね？
この場合の \( n\) も定数なので同じなんです。
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^n nk\\ \\
=n\displaystyle \sum_{k=1}^n k\\ \\
=n(1+2+3+\cdots+n)\\ \\
=n\cdot\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{2}n^2(n+1)\)
ここはわかっていない高校生が割と多いので要注意です。
ちょっと計算がややこしい問題
「 \(a_k=k^2\) の第 \( n\) 項までの和を求めよ。」
\( \Sigma\) の計算公式②です。
記憶しておくべき公式で、
「知っている」として問題が出されるので知らなければ先へは進めません。
証明は教科書にあると思いますけど、「数学的帰納法」を使えば簡単に証明できますよ。
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
（ ↑ 計算公式② ）
証明よりもまずはこの公式が使えるようになることです。
十分使えるようになれば導き方も見ておいて下さい。
一応帰納法以外の証明を示しておきます。（後回しで構いません。）
<公式②の証明>
恒等式 \(k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1\) において
\(\displaystyle \displaystyle \sum_{k=1}^n (3k^2-3k+1)=\displaystyle \sum_{k=1}^n \{k^3-(k-1)^3\} ･･･④\)
が成り立つ。
④の左辺は、
\(\displaystyle 3\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2-3\displaystyle \sum_{k=1}^n k+\displaystyle \sum_{k=1}^n 1\)
\(\displaystyle =3\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2-\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)+n ･･･⑤\)
であり、右辺は、
\(\displaystyle \displaystyle \sum_{k=1}^n \{k^3-(k-1)^3\}\\ \\
=\small {(1^3-0^3)+(2^3-1^3)+(3^3-2^3)+\cdots+\{(n-1)^3-(n-2)^3\}+\{(n^3-(n-1)^3\}}\\ \\
=n^3 ･･･⑥\)
となる。
⑤⑥を④に代入すると、
\(\displaystyle 3\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2-\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)+n=n^3\\ \\
\Leftrightarrow \hspace{7pt}\displaystyle 3\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=n^3+\displaystyle \frac{3}{2}n(n+1)-n\\ \\
\Leftrightarrow \hspace{7pt}\displaystyle \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
といった感じです。
一番最初の等式
\( k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1\)
を利用するというところがポイントになります。
「 \(a_k=k^2\) の第 \(n-1\) 項までの和を求めよ。」
添え字の性質を利用して計算公式②の \( n\) の代わりに \(n-1\) を代入すれば良いだけです。
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^2\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{6}(n-1)\{(n-1)+1\}\{2(n-1)+1\}\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)\)
もちろん、「初項から第 \( n-1\) 項までの和」は、
「 \(\color{red}{初項から第 n 項までの和から第 n 項を引く}\)」
でも良いです。
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2-n^2\)
計算して求めることはできますが、
公式に \(n-1\) を代入した方が早いでしょう。
ここまで読んでくれている人にはお知らせしておきます。
教科書や学校のプリントや問題集にある方法だけが正解ではありませんよ。
あなたが「これでやって見よう」、でたどり着いたものも答えとして正しい可能性は十分にあります。
特に問題集にあるものはかっこよく見せるための解答が多いので気にしなくて良いですからね。
たまには思いついた方法で突っ走ってみてください。
普通の問題集は作り方（目的）が違うので、違った解法は存在して当然なのです。
「 \(a_k=(k+1)^2\) の初項から第 \(n\) 項までの和をもとめよ。」
\( \Sigma\) の計算公式①②③は、
\( \Sigma\) の後の \(k\) の関係式が \(k,k^2,k^3\) のままでなければ使えません。
この練習では \((k+1)^2\) になっているので展開が必要です。
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^n (k+1)^2\\ \\
=\displaystyle \sum_{k=1}^n (k^2+2k+1)\\ \\
=\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2+2\displaystyle \sum_{k=1}^nk+\displaystyle \sum_{k=1}^n 1\)
後は計算を進めるだけです。
\( \displaystyle S=\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+2\cdot\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)+n\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{6}n\{(n+1)(2n+1)+6(n+1)+6\}\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{6}n(2n^2+3n+1+6n+6+6)\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{6}n(2n^2+9n+13)\)
展開をしない方法もあります。
\( S=2^2+3^2+\cdots+n^2+(n+1)^2\)
なので
\( k+1=m\) と置換して、\( m\) を２から \(n+1\) まで変化させて、
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{m=2}^{n+1} m^2\)
を計算するのです。
もう十分自分でできるレベルになっていると思いますのでやってみて下さい。
下限を \(m=1\) にするのをお忘れ無く。
\( S=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2+(n+1)^2-(1^2)\)
とすれば良いだけですよね。
「 \( a_k=(k+1)^2\) の初項から第 \( n-1\) 項までの和を求めよ。」
これも練習21と同様に展開してから \(\Sigma\) の計算公式を利用します。
さて、
『Σの使い方』でも書いておきましたが、
末項が \( n^2\) で同じになるので練習19と同じなのか、違うのか、
実際に計算して見比べてみましょう。
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (k+1)^2\\ \\
=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (k^2+2k+1)\\ \\
=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k^2+2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} k+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} 1\hspace{7pt}(n≧ 2)\)
ここまでは機械的に進めていいですよ。
後はひたすら計算処理ですが、ここをメンドウに感じないように普段から等式処理などの練習はしておきましょう。
ここが出来る人と出来ない人の差は、ちょっとしたやる気だけなんです。
\( \displaystyle S=\displaystyle \frac{1}{6}(n-1)\{(n-1)+1\}\{2(n-1)+1\}+2\cdot\displaystyle \frac{1}{2}(n-1)\{(n-1)+1\}+(n-1)\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)+2\cdot\displaystyle \frac{1}{2}(n-1)n+(n-1)\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{6}(n-1)\{n(2n-1)+6n+6\}\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{6}(n-1)(2n^2-n+6n+6)\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{6}(n-1)(2n^2+5n+6)\)
明らかに練習19とは違いますね。
もう分かってくれていると思うけど、
練習19
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\)
練習22
\( \displaystyle S=\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (k+1)^2=\ 2^2+3^2+\cdots+n^2\)
となっているのです。初項と項数が違いますね。
\(\Sigma\) の上限と下限は、上限が大きい場合しか普通考えなくて良いので、
練習22のような問題の場合は、\( n\,≧\,2\) で考えて構いません。
ただし、上限と下限が同じ場合はあり得ます。
もちろん問題に断り書きがあったり、
階差数列などの条件から \( n\,≧\,2\) と分かるようになっていますので解答するときは気をつけて下さい。
ここまでシグマの計算公式が使える問題を並べてみましたが、少しは慣れましたか？
\( \displaystyle \displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\left\{\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\)
を使う問題がないと思ったかもしれませんが、
あんまりでないし覚えやすい公式でもあるし、
このページのここまでができていればたやすいと思いますので安心して良いですよ。
できればもう一度
から見ておくと良いですけどね。
次はシグマの公式計算ができない「和」の計算です。
これができればシグマと数列の「和」計算は中級以上です。