指数関数を係数に含んでいる分数型２項間漸化式の変形（例題４）

２項間漸化式ですが、ｎの指数関数を係数に持ち、漸化式が分数の形を取っているタイプです。
分数型は逆数を取ると上手くいくことがありますが、果たしてどうでしょう。
ここでは漸化式のタイプというより、漸化式を自分の解けるタイプに変形することを目的にしましょう。

指数係数を持つ漸化式の解き方

日本語で説明しても漸化式がどのような形をしているかがわかりにくいので、
先に問題を見ておきましょう。

右辺の分子が単項式、分母が多項式なので逆数を取ると上手くいくことがありました。
実は、これも同じです。

ただね、やりもしないで難しいという人いるじゃないですか？
まあ、普通は誘導がつくから良いんですけど、
「試しにやってみるか」
これって数学には大切なことですよ。

与えられた漸化式
　\(\hspace{10pt} a_{n+1}=\displaystyle \frac{a_n}{1+2^{n-1}a_n}\)
の両辺の逆数をとって見ると
　\(\hspace{10pt} \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle \frac{1+2^{n-1}a_n}{a_n}\\ \\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle \frac{1}{a_n}+2^{n-1}\)

これって見たことありませんか？

　\(\hspace{10pt}\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}\)
とおくと
　\(\hspace{10pt}\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}}\)

なので漸化式は、

　\(\hspace{10pt} b_{n+1}=b_n+2^{n-1}\\
\hspace{5pt} \Leftrightarrow \hspace{5pt} b_{n+1}-b_n=2^{n-1}\)

やってみるとおなじみの階差数列になりました。

ということで計算処理します。

　\(b_{n+1}-b_n=2^{n-1}\)
から\(\,n\,≧\,2\,\)において
　\(\begin{eqnarray} \displaystyle
b_n&=&b_1+\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}\\
&=&\displaystyle \frac{1}{a_1}+\displaystyle \frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1}\\
&=&1+2^{n-1}-1=2^{n-1}
\end{eqnarray}\)

これは　\(n=1\) のときも成り立つので、
　\(\hspace{10pt} b_n=2^{n-1}\hspace{7pt}(n\,≧\, 1)\)

このことから
　\( a_n=\displaystyle \frac{1}{b_n}=\underline{　\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}　}\hspace{7pt}(n\,≧\, 1)\)

階差数列について注意することや公式はすでに十分だと思います。

階差数列の分解と意味

ちょっと公式使わず原点に戻ってやってみましょう。

　\(\hspace{10pt} \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\displaystyle \color{red}{\frac{1}{a_n}}+2^{n-1}\)

添え字を1つ下げると
　\(\hspace{10pt} \displaystyle \color{red}{\frac{1}{a_{n}}}=\displaystyle \frac{1}{a_{n-1}}+2^{n-2}\)

同じ要領で順次入れていくと
　\(\begin{eqnarray}\displaystyle
\frac{1}{a_n}&=&\color{red}{\frac{1}{a_{n-1}}}　+2^{n-2}\\
&=&\color{red}{\frac{1}{a_{n-2}}+2^{n-3}}　+2^{n-2}\\
&=&\color{red}{\frac{1}{a_{n-3}}+2^{n-4}　+2^{n-3}}+2^{n-2}\\
&=&\cdots\\
&=&\frac{1}{a_1}+(2^0+2^1+\cdots +2^{n-3}+2^{n-2})\\
&=&1+\frac{2^{n-1}-1}{2-1}=2^{n-1}
\end{eqnarray}\)

となっているということです。

階差数列が分かり易い足し算

次のようにすることもできます。

　\(\begin{eqnarray}\displaystyle
\frac{1}{a_n}-\color{red}{\frac{1}{a_{n-1}}}&=&2^{n-2}\\
\color{red}{\frac{1}{a_{n-1}}}-\color{blue}{\frac{1}{a_{n-2}}}&=&2^{n-3}\\
\color{blue}{\frac{1}{a_{n-2}}}-\frac{1}{a_{n-3}}&=&2^{n-4}\\
\,\cdots\hspace{20pt}&=&\,\cdots\,\\
\frac{1}{a_{3}}\hspace{7pt}-\hspace{7pt}\color{magenta}{\frac{1}{a_{2}}}&=&2^{1}\\
\color{magenta}{\frac{1}{a_{2}}}\hspace{7pt}-\hspace{7pt}\frac{1}{a_{1}}&=&2^{0}
\end{eqnarray}\)

この両辺をすべて足すと　
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_1}=2^{n-2}+2^{n-1}+\cdots +2^1+2^0\\
\displaystyle\Leftrightarrow 　\frac{1}{a_n}=\color{red}{\frac{1}{a_1}}+2^{n-2}+2^{n-1}+\cdots +2^1+2^0\\
\displaystyle \hspace{38pt}=\,\color{red}{1}　+(2^{n-1}-1)\\
\displaystyle \hspace{38pt}=2^{n-1}\)

　\(\displaystyle ∴　 a_n=\frac{1}{2^{n-1}}\)

どれも階差数列の利用ですので公式ばかりでなくても良いですよ。
ここまで理解できたらもう一度もどってみると良いかもしれませんね。

⇒　漸化式の一般項の求め方（階差数列、分数、累乗などのパターン）

きっと今までと漸化式が違って見えているのではないでしょうか。