３項間漸化式の特性方程式が重解を持つときの一般項の求め方です。
特性方程式の解が２つある場合と分けて考えても良いですが、同じ解き方ができます。
解が２つあるパターンの方が楽なとき方があるというだけですので、２項間漸化式の解き方をしっかりやっている場合は心配しなくても大丈夫です。
３項間漸化式の特性方程式
漸化式 \( a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n\) の特性方程式
\(t^2=pt+q\) の２つの解を \( \color{red}{\alpha }\hspace{7pt},\hspace{7pt}\color{blue}{\beta}\) とすると、
連立方程式
\( \begin{cases} \hspace{7pt} a_{n+2}-\color{red}{\alpha }a_{n+1}=\color{blue}{\beta }(a_{n+1}-\color{red}{\alpha }a_n)\\ \\
\hspace{7pt} a_{n+2}-\color{blue}{\beta }a_{n+1}=\color{red}{\alpha }(a_{n+1}-\color{blue}{\beta }a_n) \\
\end{cases}\)
を解くと「楽」といういうのは見たことがあるかもしれません。
でも、連立しなくても解けるというのも知ってますか？
だったら３項間漸化式を１つ変形できれば大丈夫です。
特性方程式が重解になるとき
特性方程式の解が重解の場合も同じです。
\(a_1=0 , a_2=2,\)
\( a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0 (n=1\,,\,2\,,\,\cdots\,)\)
とするとき、この数列 \( \{a_n\}\) の一般項を求めよ。
特性方程式は
\(\hspace{10pt} t^2-4t+4=0\\
\Leftrightarrow \hspace{5pt}(t-2)^2=0\)
となるのでこの解は\(\,t=\color{red}{2}\,\)の重解だけで、２つありません。
でも変形はできます。
\(\hspace{10pt} a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0\\ \\
\Leftrightarrow \underline{a_{n+2}-\color{red}{2}a_{n+1}=\color{red}{2}(a_{n+1}-\color{red}{2}a_n)} ･･･①\)
「え？連立できない。」
と心配しなくて大丈夫です。
漸化式を連立しなくて良い方法
２項間漸化式の解き方をいろいろやってきた中で知っているでしょう。
「置きかえ」すれば問題ありません。
\(\hspace{10pt} b_n=a_{n+1}-2a_n\)
とおくと
\(\hspace{10pt}b_{n+1}=a_{n+2}-2a_{n+1}\)
なのでもとの漸化式①は
\(\hspace{10pt} \underline{ b_{n+1}=2\,b_n} \)
と等比数列であることが分かります。
初心に返りましょう。
置きかえしたときはその数列に専念するんですよ。
すべてを切り離すということはできませんが、
\(\,a_n\,\)と\(\,b_n\,\)の両方は考えず一度\(\,b_n\,\)だけを考えます。
\(\hspace{10pt} b_{n+1}=2\,b_n\)
は等比数列で
初項は\(\hspace{10pt} b_1=a_2-a_1=2\)
なので
\(\begin{eqnarray}
\color{red}{b_n}&=&(b_1)\cdot 2^{n-1}\\
&=&2\cdot 2^{n-1}\\
&=&\color{red}{2^n}\end{eqnarray}\)
ここで\(\,\{a_n\}\,\)に戻ります。
\(\hspace{10pt} \color{red}{b_n}=a_{n+1}-2a_n\\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} \color{red}{2^n}=a_{n+1}-2a_n\\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} a_{n+1}-2a_n=2^n\)
これって見たことありません？
これです。
例題３－②と同じですよね。
ということで、トットと数列の一般項を求めましょう。
\(\hspace{10pt} a_{n+1}-2a_n=2^n\)
両辺を\(\,2^{n+1}\,\)で割ります。
\(\hspace{10pt} a_{n+1}-2a_n=2^n\\ \\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} \displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\displaystyle \frac{2a_n}{2^{n+1}}=\displaystyle \frac{2^n}{2^{n+1}}\\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} \displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\displaystyle \frac{a_n}{2^n}=\displaystyle \frac{1}{2}\)
ここで\(\,\displaystyle \color{magenta}{\frac{a_n}{2^n}=c_n}\,\)とおくと
\(\hspace{10pt} \displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\displaystyle \frac{a_n}{2^n}=\displaystyle \frac{1}{2}\\ \\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} c_{n+1}-c_n=\displaystyle \frac{1}{2}\)
これは数列\(\{\,c_n\,\}\)の階差が定数、
つまり、公差が\(\,\displaystyle \frac{1}{2}\,\)の等差数列であることを意味しています。
このことから\(\,a_1=0\,\)なので
\(\begin{eqnarray} \displaystyle
c_n&=&\frac{a_1}{2}+(n-1) \frac{1}{2}\\
&=&\frac{1}{2}(n-1)\end{eqnarray}\)
よって
\(\hspace{10pt} \displaystyle \frac{a_n}{2^n}=c_n\)
より
\(\begin{eqnarray}
a_n&=&2^n\cdot c_n\\
&=&2^n\cdot \displaystyle \frac{1}{2}(n-1)\\
&=&\underline{ 2^{n-1}(n-1) }\end{eqnarray}\)
連立線型漸化式の入り口
ところで、
「ズラして、引く」って漸化式では良く使います。
では３項間ではどうなるのか？
やってみましょう。
\(\hspace{10pt} a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\)
これをずらす（添え字を換える）と
\(\hspace{10pt} a_{n+1}=4a_n-4a_{n-1}\)
でも引きはしません。
（引いても良いですけど、、、使えないでしょう？）
ここで\(\,a_{\color{red}{n-1}}=b_n\,\)とすると
\( \begin{cases}
\hspace{7pt} a_{n+1}=4a_n-4b_n \\
\hspace{7pt} b_{n+1}=a_n \\
\end{cases}\)
という連立線型漸化式というものが作れるのですが、
後の例題に控えているのでここではまだ説明はしません。
⇒ 漸化式が連立されている（連立線型漸化式）一般項の求め方（例題１２）
先ずは３項間漸化式が２解を持つタイプが解けるようになりましょう。
特性方程式が解を（異なる）２つもつ普通の３項間漸化式です。
⇒ 漸化式の解き方パターン一覧と一般項の求め方まとめ（階差数列、分数、累乗など）
何よりも、２項間漸化式が解けなければ漸化式はすべて解けません。