３項間漸化式とよばれるものの代表的な解き方（一般項の求め方）をいくつか紹介します。
２項間の場合もそうですが、３項間漸化式でも解き方は１つではありません。
漸化式にタイプがあるというのではなく、１つの漸化式でもいくつか解法はあるということですよ。
３項間漸化式とは
\(\hspace{10pt} \color{red}{a_{n+2}}=p\,\color{blue}{a_{n+1}}+q\,\color{magenta}{a_n}\)
のように
\(\hspace{10pt}\,a_{n+2}\hspace{5pt},\hspace{5pt}a_{n+1}\hspace{5pt},\hspace{5pt}a_n\,\)
の３つの項で成り立つ漸化式を３項間漸化式といいます。
３項間漸化式の解き方はいくつかあります。
代表的なものは、
\(\hspace{10pt} a_{n+2}=\color{red}{p}a_{n+1}+\color{blue}{q}a_n\)
において
\(\hspace{10pt}t^2=\color{red}{p}t+\color{blue}{q}\,\)
の２つの解を\(\color{red}{\alpha}\,,\,\color{blue}{\beta}\,\)としたとき、
\( \begin{cases}
\hspace{7pt} a_{n+2}-\color{red}{\alpha }\,a_{n+1}=\color{blue}{\beta}\,(a_{n+1}-\color{red}{\alpha }\,a_n) \\
\hspace{7pt} a_{n+2}-\color{blue}{\beta }\,a_{n+1}=\color{red}{\alpha}\,(a_{n+1}-\color{blue}{\beta }\,a_n) \\
\end{cases}\)
とするものです。
これは使えた方が良いので後で具体的に説明します。
しかし、
今まで例題を通して２項間漸化式の解き方をいろいろとみてきたはずです。
え？見てない？
そうですか。
では、残念ですが３項間漸化式を別物として解法を見ておくと良いでしょう。
「いや、２項間の扱いはいろいろとみて慣れてきた。」、というのであれば、
３項間漸化式は怖くありません。
センター試験で３項間漸化式がでた？
確かに３項間で成り立つ漸化式でましたね。
でも、あれって３項間の解き方を知らなくても解けたでしょう？
さすがの誘導でしたよね。
それくらい解法は１つではないということです。
特性方程式を解いて３項間漸化式を解く方法
数列 \( \{a_n\}\) は \(a_1=1 , a_2=3\) で次の関係を満たしている。
\( a_{n+2}=3a_{n+1}-2{a_n}\hspace{7pt}(n=1\,,\,2\,,\,\cdots\,)\)
この数列 \( \{a_n\}\) の一般項を求めよ。
２項間漸化式で特性方程式って解いたでしょう？
あれと同じように３項間では
\( a_{n+2}=\color{red}{t^2}\hspace{7pt},\hspace{7pt}a_{n+1}=\color{blue}{t}\hspace{7pt},\hspace{7pt}a_n=\color{magenta}{1}\)
とおいて解を求めます。
\(\hspace{10pt} a_{n+2}=3a_{n+1}-2{a_n}\)
では
\(\hspace{10pt} t^2=3t-2\)
となります。
これを解くと、
\(\hspace{10pt} t^2=3t-2\\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} t^2-3t+2=0\\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} (t-1)(t-2)=0\\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} t=1\hspace{7pt},\hspace{7pt}2\)
係数比較を利用して漸化式を連立する方法
特性方程式を利用しなくても変形できれば良いんですよ。
\(\hspace{10pt} a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n\\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)\)
となる\(\,\alpha\hspace{7pt},\hspace{7pt}\beta \,\)を係数比較でも求めれば良いのです。
\(\hspace{10pt} a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n\)
と
\(\hspace{10pt} a_{n+2}=(\alpha+\beta)a_{n+1}-\alpha\beta a_n\)
の係数を比較して、
\( \begin{cases}
\hspace{7pt} \alpha+\beta=3\\ \\
\hspace{7pt} \alpha\beta=2\\
\end{cases}\)
結局は\(\,t^2-3t+2=0\,\)の解を求めることと同じですけど、
２項間のときと同じで「～～と変形できるので」で良いです。
\(\, t=\color{red}{1}\,,\,\color{blue}{2}\,\)を参考に漸化式を変形すると、
\(\hspace{10pt} a_{n+2}-\color{red}{1}a_{n+1}=\color{blue}{2}(a_{n+1}-\color{red}{1}a_n)\) ･･･①
または
\(\hspace{10pt} a_{n+2}-\color{blue}{2}a_{n+1}=\color{red}{1}(a_{n+1}-\color{blue}{2}a_n)\) ･･･②
と変形できます。
ここまでくれば後の処理方法はいろいろあります。
等比数列として漸化式の一般項を求める
①の数列\(\,\{a_{n+1}-a_n\}\,\)は等比数列です。
\(\begin{eqnarray}
a_{n+1}-a_n&=&(a_2-a_1)\cdot 2^{n-1}\\
&=&(3-1)\cdot 2^{n-1}\\
&=&2^n\end{eqnarray}\)
これは階差数列になっているので \( n≧2\) において
\(\begin{eqnarray} \displaystyle
a_n&=&a_1+\sum_{k=1}^{n-1}2\cdot 2^{k-1}\\
&=&1+\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}\\
&=&1+2^n-2\\
&=&2^n-1\end{eqnarray}\)
これは\(\,n=1\,\)のときも成り立つので
\( \underline{ a_n=2^n-1 }\hspace{7pt}(n\,≧\,1)\)
定数数列として漸化式の一般項を求める
また②は定数数列と見ることができるので
\(\begin{eqnarray} a_{n+2}-2a_{n+1}&=&a_{n+1}-2a_n\\
&=&\cdots=(a_2-2a_1)\\
&=&3-2\cdot 1\\
&=&1\end{eqnarray}\)
つまり
\(\hspace{10pt} a_{n+1}-2a_n=1\)
です。
これって見たことありませんか？
⇒ ２項間漸化式から一般項を求める問題の解き方の基本パターン
\(\hspace{10pt} a_{n+1} =2a_n+1\\ \\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)
と変形するか
\(\hspace{10pt} \displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\displaystyle \frac{2a_n}{2^{n+1}}=\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}\\ \\
\Leftrightarrow \hspace{5pt} \displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\displaystyle \frac{a_n}{2^n}=\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}\)
⇒ 定数部分が指数関数になっている漸化式のタイプ（例題３の別解）
こちらの解法も使えますよね。
変形すれば等比数列や階差数列として解ける単なる２項間漸化式です。
当然どちらも
\(\hspace{10pt} \underline{ a_n=2^n-1 }\hspace{7pt}(n\,≧\, 1)\)
連立した漸化式の処理方法
しかし、普通なら①②を連立させます。
\(\hspace{10pt} a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\) ･･･①
\(\hspace{10pt} a_{n+2}-2a_{n+1}=(a_{n+1}-2a_n)\) ･･･②
①を公比２の等比数列、
②を公比１の定数数列とみて、
\(\hspace{10pt}a_2-a_1=3-1=2\)
\(\hspace{10pt}a_2-2a_1=3-2=1\)
がそれぞれの初項なので
\( \begin{cases}
\hspace{7pt} a_{n+2}-1a_{n+1}=2(a_{n+1}-1a_n)\\
\hspace{7pt} a_{n+2}-2a_{n+1}=1(a_{n+1}-2a_n)\\
\end{cases}\\
\Leftrightarrow \hspace{5pt}\\ \\
\begin{cases}
\hspace{7pt} a_{n+1}-a_{n}=2^n\\
\hspace{7pt} a_{n+1}-2a_{n}=1\\
\end{cases}\)
ここで\(\,a_{n+1}\,\)を消すように上から下の式を引けば
\(\hspace{10pt} \underline{ a_n=2^n-1 }\)
と答が見つかります。
見て分かるように２つの解が存在するなら連立するのが一番楽です。
しかし、漸化式の式変形が１つできれば求め方はどれでも良いですよ。
言っている意味分かりますか？
重解の場合も同じように一般項は求まると言っているのです。
２解を持つ場合と重解の場合を分けると解法は増えるかもしれませんが、
分けて考えなくても良いということです。
例題９は重解の場合に変更しましたので、
確認しておくと良いですよ。
⇒ 漸化式の解き方パターン一覧と一般項の求め方まとめ（階差数列、分数、累乗など）
漸化式のパターンはほとんどカバーできます。