三角関数の和と積の関係と行列（１次変換の合成）による加法定理

三角関数の和と積の関係を見直しておきます。
公式としてありますが導き方はいろいろです。
正弦、余弦の加法定理は行列（１次変換）を使ってもすぐに導けますので、
積を和に変える公式と、逆の和を積に変える公式を三角関数として導いておきます。

三角関数の積と和(差）の関係

\(\hspace{10pt}\displaystyle \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}　･･･①\)

\(\hspace{10pt}\displaystyle \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\{\,\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}　･･･②\)

\(\hspace{10pt}\displaystyle \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\{\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}　･･･③\)

\(\hspace{10pt}\displaystyle \sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\{\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}　･･･④\)

これらは正弦の加法定理と余弦の加法定理を足し引きすれば良い。

⇒　三角関数と加法定理の要点

意味があるのは左辺にある積を右辺に書き換えるところにあります。

和または差を積に変える公式を求める問題

これは簡単で、
\(\hspace{10pt}\displaystyle \alpha+\beta=A\,,\,\alpha-\beta=B\)
とおけば
\(\hspace{10pt}\displaystyle \alpha=\frac{A+B}{2}\,,\,\beta=\frac{A-B}{2}\)
となるので積を和に変える式において
　\(\hspace{10pt}\displaystyle \alpha+\beta=A\,,\,\alpha-\beta=B\)
とおくだけで終わりです。
※
４番目の右辺は符号注意です。

これは試験中導く時間がもったいないので（特に理系の人は）覚えておいた方が良いですね。
導く事が問題になることは何度もありました。
チラッと見ただけでしたけど確か共通テストで出てた様な気がします。

これが何の役に立つか？
いずれ分かります。

１つだけ図形がらみの公式が導けることを紹介しておきます。

\(\,\mathrm{△ABC}\,\)の外接円の半径を\(\,R\,\)、内接円の半径を\(\,r\,\)とすると
\(\hspace{10pt}\displaystyle r=4\,R\,\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\)
という公式が成り立ちます。

証明には内接円の中心と半径から正弦定理を用いても求まります。
ただ、内接円の半径については、
三角形の面積と３辺の長さとの関係を利用するのが通常の技法なので、
和を積に変える公式を使う流れが普通でしょう。

少なくとも加法定理は覚えておかないと話にならないということです。
加法定理を覚えていなくても行列計算が出来るなら時間はかかりませんが、
今の高校数学の中に行列は入っていない？予定はありそうですね。

どこまで予定されているかわかりませんが１次変換を視野に入れて、
ちょっと行列の入力練習しておこうかな。

行列計算による加法定理の導き方

原点を中心に回転角\(\,\theta\,\)を表す行列は
\(\begin{pmatrix}
\cos\,\theta & -sin\,\theta \\
\sin\,\theta & \cos\,\theta \\
\end{pmatrix}\)

原点中心に\(\,(\,\alpha+\beta\,)\,\)回転する行列は
　\(\begin{pmatrix}
\cos(\alpha+\beta) & -sin(\alpha+\beta) \\
\sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \\
\end{pmatrix}\)

回転角\(\,(\,\alpha+\beta\,)\,\)は、
\(\,\alpha\,\)回転のあと\(\,\beta\,\)回転するのと同じだから

\(\hspace{10pt}
\begin{pmatrix}\color{blue}{\cos(\alpha+\beta)} & -\color{red}{sin(\alpha+\beta)} \\
\color{red}{\sin(\alpha+\beta)} & \color{blue}{\cos(\alpha+\beta)} \end{pmatrix}\\
=\begin{pmatrix} \cos\,\beta & -\sin\,\beta \\ \sin\,\beta & \cos\,\beta \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \cos\,\alpha & -sin\,\alpha \\ sin\,\alpha & \cos\,\alpha \end{pmatrix}\\
=\begin{pmatrix}
\color{blue}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cos\beta} & -(\,\color{red}{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}\,) \\
\color{red}{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta} & \color{blue}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cos\beta}\\
\end{pmatrix}
\)

あれ？と思えばこの計算をしています。
回転行列なんて知りません、って人は普通に覚えておいてください。

⇒　三角関数の加法定理と計算問題の解き方

少し練習しておいた方が定着早いです。
ただ、利用が限定的になるので忘れるのも早いので、
しっかり効率的な復習しておきましょう。

今日の一題は、
個人的にかなり役に立つ情報を使った一題でした。