図形数とは（三角形数、正方形数とパスパルの三角形）

図形数とは図形の形に小石を並べたときに必要な小石の総数のことです。
三角形数と正方形数から派生してパスカルの三角形までを簡単に説明しておきます。
パスカルの三角形は二項定理でも使うので重要なものです。

三角形数の一般形と証明および自然数の和の公式

三角形数とは小石（碁石と考えていいです）を三角形状に並べるのに要する石の総数です。

三角形数の一般形

三角形数、その数は、１、３、６、１０、１５，\(\cdots\)となっています。これらは、
\(\displaystyle \hspace{4pt}1\times 2\times \frac{1}{2}\,,\,2\times 3\times \frac{1}{2}\,,\,3\times 4\times \frac{1}{2}\,\cdots\)
のように連続する２つの整数の\(\displaystyle \frac{1}{2}\)という形でかけます。
これを一般化したものが三角形数の一般形です。

三角形数の証明

証明は簡単です。
上の図の三角形を逆さまにもう一つ並べ長方形の形にします。これは縦に\(\,n\,\)個、横に\(\,n+1\,\)個並んだものと同じです。
（横に\(\,\color{red}{n+1}\,\)個並んだ石が\(\,\color{blue}{n}\,\)段あるのと同じ。）元の石はその半分なので
\(\displaystyle \hspace{10pt}n(n+1)\times \frac{1}{2}\)

ところで、
三角形数を横の一段ずつの個数の和と見ると\(\hspace{10pt}1+2+3+4＋\cdots\)
となっています。
これは自然数の和と同じです。

このとことから自然数の和の公式が求まります。

正方形数の一般形と奇数の和の公式

正方形数とは石を正方形状に並べるのに要する石の総数です。

正方形数の一般形

正方形数は、１、４、９、１６、\(\cdots\)となっています。正方形数の一般形は次のように表せます。

奇数の和の公式

正方形数の表し方は図からも明らかですが、
ちょっと違う見方をして見ます。図のように区切ると正方形数は、
\(\hspace{4pt}1+3+5+7+\cdots\)と奇数の和になっていることが分かります。

このことから公式が出てきます。

むか～しの記憶ですがギリシャ時代の証明だったと何かで読んだ気がします。

パスカルの三角形

整数を次の規則で三角形状に並べていきます。
\(\color{black}{\fbox{規則１}}\)
始めに１を２つ横に並べて書く。
\(\color{black}{\fbox{規則２}}\)
始めに書いた２つの１の下の段に、
「両端に１を書き、間に上の２数の和を書く。」（操作）
\(\color{black}{\fbox{規則３}}\)
規則２で書いた段の下に規則２での「（操作）」を繰り返す。この数の配列をパスカルの三角形といいます。

パスカルの三角形で横に並んだ上から\(\,n\,\)段目の数は、
\(\hspace{4pt}(a+b)^n\,\)の展開式の係数になっています。
\(\hspace{4pt}(a+b)^1=a+b\)
\(\hspace{4pt}(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\(\hspace{4pt}(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\(\hspace{4pt}(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\)

二項定理で詳しく学んでいると思うのでくどい説明はやめておきます。

⇒　二項定理（公式）の一般項や２項展開係数の求め方

ここでの目的はパスカルの三角形では無く、
図形数というものが何なのかを知って、
名前だけでも覚えておこうという話です。