複素数の計算２０２７年入試予想問題（その２）

複素数の計算２０２７年入試予想問題その２です。
以前の複素数の計算予想問題でも書いておきましたが２０２７年に限った話ではありません。
今回は１の三乗根についての問題で本当によく出る問題で、よく使われる定理でもあります。
せめてこれくらいは、ということなので見直しておきましょう。

複素数である１の三乗根を利用して求める計算問題

問題はいくらでも考えられますがこの２問を一題とします。

１の三乗根についての定理と利用法

１の３乗根は
　\(\begin{eqnarray}
x^3&=&1\\
(x-1)(x^2+x+1)&=&0
\end{eqnarray}\)
から
\(\hspace{10pt}\displaystyle x=1\,,\,\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}\)
となります。
ここでは虚数解の１つを\(\,\omega\,\)とおいた問題です。

(1)
　\(\begin{eqnarray}
\,\omega^{2027}\,&=&(\,\omega^3\,)^{675}\cdot \omega^2\\
&=&(\,1\,)^{675}\cdot \omega^2\\
&=&\omega^2\\
&=&\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}
\end{eqnarray}\)

もちろん\(\,\omega\,\)の値を代入しても求まります。
ただ、定理により１の３乗根のうち虚数であるものを\(\,\omega\,\)とすると、
もう一つの虚数解は\(\,\omega^2\,\)となります。

だから計算するまでもなく答えが出てくるわけです。

(2)
\(\hspace{10pt}\,\omega^{1000}+\omega^{500}+1\\
=(\,\omega^3\,)^{333}\cdot \omega+(\,\omega^3\,)^{166}\cdot \omega^2+1\\
=\omega^2+\omega+1\\
=0
\,\)
これも\(\,\omega\,\)が１の３乗根であることをから\(\,\omega^3=1\,\)を利用しています。

加えて\(\,(x-1)(x^2+x+1)=0\,\)の解である\(\,\omega\,\)には重要な関係式があります。
\(\hspace{4pt}\color{red}{\omega^3=1}\,,\,\color{blue}{\omega^2+\omega+1=0}\,\)
これらの関係から派生した問題はいくらでも作られます。
\(\hspace{10pt}1+\omega=-\omega^2\)
\(\hspace{10pt}1+\omega^2=-\omega\)
を利用する問題もそうです。

それと１の３乗根は
\(\hspace{10pt}1\,,\,\omega\,,\,\omega^2\,\)
つまり一方を\(\,\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\,\)とすると、
他方は\(\,\displaystyle \omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\,\)であることは覚えておくと良いです。

⇒　１の立方根（３乗根）のω（オメガ）の性質と関係式の使い方

いつになってもこの事実は変わりません。