空間図形では平面の方程式を扱うことが普通となりますし、良く出てきます。
点と平面との距離を求めることは重要な作業となるのでヘッセの公式を求めておきます。
点と直線の距離の公式（ヘッセの公式）はよく知っているでしょう。
ここでは広い範囲でのヘッセの公式、空間編です。
ヘッセの公式とその求め方
点と直線の距離の公式としてヘッセの公式を知っていると思います。
ここではさらに広い範囲でのヘッセの公式です。
問題
点\(\,\mathrm{A}(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\,)\,\)から
平面\(\,\alpha\,:\,ax+by+cz+d=0\,\)
に引いた垂線\(\,\mathrm{AH}\,\)の長さを求めよ。
垂線の長さ、つまり点と平面との距離を求めます。ベクトルの内積を用いた証明だともう少し簡潔にできますが、
（正射影を知らないと言われるとややこしいので）
ここでは座標を用いて証明しておきます。
ヘッセの公式の求め方
垂線の足を\(\,\mathrm{H}(x_1\,,\,y_1\,,\,z_1\,)\,\)とすると、
\(\hspace{10pt}\overrightarrow{\mathrm{AH}}=(x_1-x_0\,,\,y_1-y_0\,,\,z_1-z_0)\)
平面\(\,\alpha\,\)の法線ベクトルは\(\,\vec{n}=(a\,,\,b\,,\,c)\,\)なので
\(\hspace{10pt}\overrightarrow{\mathrm{AH}}\,\)∥\(\,\vec{n}\)
であるから
\(\hspace{10pt}\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k\,\vec{n}=k(a\,,\,b\,,\,c)\)
とおける。
これより
\(\hspace{10pt}x_1-x_0=ka\,,\,y_1-y_0=kb\,,\,z_1-z_0=kc\)
書き換えると
\(\hspace{10pt}x_1=ka+x_0\,,\,y_1=kb+y_0\,,\,z_1=kc+z_0\)
\(\,\mathrm{H}\,\)が平面\(\,\alpha\,\)上にあることから
\(\hspace{10pt}ax_1+by_1+cz_1+d=0\)
\(\hspace{10pt}a(ka+x_0)+b(kb+y_0)+c(kc+z_0)+d=0\)
これから
\(\hspace{10pt}\displaystyle k=\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+v^2+c^2}\)
と\(\,k\,\)の値が求まる。
一方で
\(\hspace{10pt}\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k\,\vec{n}=k(a\,,\,b\,,\,c)\)
より
\(\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|&=&\sqrt{k^2(a^2+b^2+c^2)}\\
&=&|k|\sqrt{a^2+b^2+c^2}
\end{eqnarray}\)
これに\(\,k\,\)の値を代入して
\(\hspace{10pt}\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{|\,ax_0+by_0+cz_0+d\,|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)（答)
これがヘッセの公式です。
点と直線の距離の公式で見慣れた形でしょうからすぐに使えると思います。
もちろん点と直線の距離の公式もヘッセの公式ですよ。
これを使う問題はたくさんあります。
もちろん使わなくても点と平面の距離は求まりますが、
垂直なベクトルを求めるのに普通は苦労するでしょう？
簡単に求める方法を知らないなら覚えておくと良いです。
⇒ 空間ベクトルで点から下ろした垂線と平面との交点を求める方法
２点間の距離で求めるのもありですね。
ヘッセの公式を利用するちょっとした応用です。