センター試験過去問2018年度数学ⅠＡ第3問（確率）の解答と解説

2018年、平成30年度のセンター試験過去問、数学ⅠＡ第3問（確率）の解答と解説になります。
場合の数と確率という範囲ですが、今年は確率のみに見えます。
ただ、場合の数で行う基本的なことは含まれているので、確率だけだったというのは限定しすぎです。

2018年（平成30年）度センター試験問数学ⅠAの問題

センター試験の問題は大学入試センターにもありますので確認してください。
ここでの解説はちょっと変わっているかもしれませんが、得点を優先しているのでご了承下さい。

⇒　2018年（平成30年）度センター試験問数学ⅠAの問題

第３問（選択）確率の解説

第３問～第５問までは２問選択なのでどの２つを選ぶかで少し得点が変わってくるでしょうか。

確率です。

同時に投げても一つずつ２回投げても同じ

２個のサイコロなので表が使えますね。

（１）各事象を見ておきましょう。

サイコロの出目は１から６まであるので、４がでる確率は、
　\( P(A)=\displaystyle \frac{\fbox{1}}{\fbox{6}}\)

２個のさいころの和は３６通りの出方がありますが、
そのうち「和が７」になるのは赤字の６通り、
よって、
　\( P(B)=\displaystyle \frac{6}{36}=\displaystyle \frac{\fbox{1}}{\fbox{6}}\)

「和が９」になるのは青字の４つなので
　\( P(C)=\displaystyle \frac{4}{36}=\displaystyle \frac{\fbox{1}}{\fbox{9}}\)

ア：１　イ：６　　ウ：１　エ：６　　オ：１　カ：９

条件付き確率は公式が無くても出せる

（２）

表を書き出しているので公式は使う必要はありません。

　C　が起こるのは和が９の（4通り）、
「そのうち」大きいさいころが４というのは（1通り）です。

よって、
　\( P_C(A)=\displaystyle \frac{\fbox{1}}{\fbox{4}}\)

一応公式で解くとどうなるかは見ておきましょう。

公式で表すと

　\( P_C(A)=\displaystyle \frac{P(A\cap C)}{P(C)}\)

です。

　\( A\cap C\)　は大きいさいころが４で、かつ、和が９という事象です。

つまり、大：４　小：５　のときだけ。
これは一通りしかありません。

表の上の数字が大きいさいころの出目だとすると、
４の列を縦に見て合計が９になるのは横の小さいさいころが５のときだけ。

　\( P(A\cap C)=\displaystyle \frac{1}{36}\)
よって
　\( P_C(A)=\displaystyle \frac{P(A\cap C)}{P(C)}\\ \\
=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{36}}{\displaystyle \frac{1}{9}}=\displaystyle \frac{1}{36}\div \displaystyle \frac{1}{9}=\displaystyle \frac{1}{36}\times \displaystyle \frac{9}{1}=\displaystyle \frac{\fbox{1}}{\fbox{4}}\)

キ：１　ク：４

これも表を書き出しているので公式は必要ありません。

　A　が起こるだけなら、
和が何でも良いので小さいさいころの目の出方の（６通り）あって、
「そのうち」和が９になるのは小さいさいころが５の（１通り）なので、
（表で見ると４列目の六通りのうち、５行目が「和が９」）

　\( P_A(C)=\displaystyle \frac{\fbox{1}}{\fbox{6}}\)

公式で解いてみると

　\( P_A(C)=\displaystyle \frac{P(A\cap C)}{P(A)}\\ \\
=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{36}}{\displaystyle \frac{1}{6}}=\displaystyle \frac{1}{36}\div \displaystyle \frac{1}{6}=\displaystyle \frac{1}{36}\times \displaystyle \frac{6}{1}=\displaystyle \frac{\fbox{1}}{\fbox{6}}\)

ケ：１　コ：６

条件付き確率はベン図で解いても公式は必要無い

条件付き確率はベン図で解くのも簡単で良いですよ。

交わり部分を条件のつく方で割れば求まります。

（３）

確率の大小関係を表せといっています。

これはそれぞれを求めて比較します。

この「メンドクサイ」と思われがちな計算は、
省いてはいけません。

これは簡単に公式だけでは求まらない、
場合をすべて考えて、という問題の意図です。

この大切な「場合を調べる」作業は共通テストになっても変わらないでしょう。
確率、場合の数の基本ですからね。

　\( A\cap B\)　は大きいさいころの出目が４で、和が７という事象なので、
「大が４、小が３」の一通りだけです。

　\( P(A\cap B)=\displaystyle \frac{1}{36}\)

積事象として計算すると

　\( P(A\cap B)=\displaystyle \frac{1}{6}\times \displaystyle \frac{1}{6}=\displaystyle \frac{1}{36}\)

　\( P(A)\,,\,P(B)\)　はそれぞれ求めてあるので、

　\( P(A)P(B)=\displaystyle \frac{1}{6}\times \displaystyle \frac{1}{6}=\displaystyle \frac{1}{36}\)

よって

　\( P(A\cap B)\hspace{5pt} \fbox{＝} \hspace{5pt}P(A)P(B)\)

　\( A\cap C\)　は大きいさいころの出目が４で、和が９という事象なので、
これも「大が４、小が５」の一通りだけです。

　\( P(A\cap C)=\displaystyle \frac{1}{36}\)

また

　\( P(A)P(C)=\displaystyle \frac{1}{6}\times \displaystyle \frac{1}{9}=\displaystyle \frac{1}{54}\)

よって
　
　\( P(A\cap C)\hspace{5pt} \fbox{＞}\hspace{5pt}P(A)P(C)\)

サ：①　　シ：②

（４）

１回目の　\( A\cap B\)　の確率は

　\( P(A\cap B)=\displaystyle \frac{1}{36}\)

でした。

２回目に　\( \bar{A}\cap C\)　が起こる確率は

「大きいさいころが４ではなく、和が９」

になる確率ですが、
大きいさいころが１のときと２のときは和が９にはなりません。

（大,小）＝(3，6)，(5，4)，(6，3)

の三通りしかないので
　\( P(\bar{A}\cap C)=\displaystyle \frac{3}{36}=\displaystyle \frac{1}{12}\)

よって、１回目　\( A\cap B\)　,　２回目　\( \bar{A}\cap C\)　となる確率は
　\( \displaystyle \frac{1}{36}\times \displaystyle \frac{1}{12}=\displaystyle \frac{\fbox{1}}{\fbox{432}}\)

ス：１　　セソタ：４３２

続いて

２回の試行で事象 A , B , C が１回ずつ起こるということは、
　\( A\,,\,\bar{A}\,,\,B\,,\,C\)
が１回ずつ起こるということです。

ただ、\( A\,,\,\bar{A}\)　と　\( B\,,\,C\)　は同時には起こらないので、
（１回目）→（２回目）が

　\( A\cap B \rightarrow \bar{A}\cap C　･･･①\)

　\( A\cap C \rightarrow \bar{A}\cap B　･･･②\)

　\( \bar{A}\cap B \rightarrow A\cap C　･･･③\)

　\( \bar{A}\cap C \rightarrow A\cap B　･･･④\)

となる４つの場合があり、
求める確率は①～④の確率の和になります。

①と④は同じ確率で
　
　\( P(A\cap B)\cdot P(\bar{A}\cap C)=\displaystyle \frac{1}{36}\times \displaystyle \frac{1}{12}\)

　\( P(\bar{A}\cap C)\cdot P(A\cap B)=\displaystyle \frac{1}{12}\times \displaystyle \frac{1}{36}\)

②と③は同じ確率で、

　\( P(\bar{A}\cap B)\)

は「大きいさいころので目が４ではなく、和が７」という事象の確率なので、
　（大,小）＝(1，6)，(2，5)，(3，4)，(5，2)，(6，1)
の五通りがあることを考えて

　\( P(\bar{A}\cap B)=\displaystyle \frac{5}{36}\)

このことから

　\( P(A\cap C)\cdot P(\bar{A}\cap B)=\displaystyle \frac{1}{36}\times \displaystyle \frac{5}{36}\)
　\( P(\bar{A}\cap B)\cdot P(A\cap C)=\displaystyle \frac{5}{36}\times \displaystyle \frac{1}{36}\)

以上のことから求める確率は
　
　\( \displaystyle \frac{1}{36}\times \displaystyle \frac{1}{12}\times 2+\displaystyle \frac{1}{36}\times \displaystyle \frac{5}{36}\times 2\\ \\
=\displaystyle \frac{1}{36}\times \displaystyle \frac{3}{36}\times 2+\displaystyle \frac{1}{36}\times \displaystyle \frac{5}{36}\times 2\\ \\
=\displaystyle \frac{6+10}{36\times 36}=\displaystyle \frac{16}{36\times 36}=\displaystyle \frac{\fbox{1}}{\fbox{81}}\)

チ：１　　ツテ：８１

この問題は場合の数ではないですが、
「場合はすべて書き出す」というのは基本にしたいですね。

続いて数学ⅠＡ第４問です。

⇒　センター試験過去問2018年度の数学ⅠＡ第4問（整数）の解答と解説

別の問題の解説は

⇒　センター試験と共通テスト数学1Aの過去問解説

センター試験過去問解説まとめです。